Monomial

수학에서, 단항식(monomial)은, 대략 말해서, 오직 하나의 항을 갖는 다항식입니다. 단항식의 두 가지 정의가 마주칠 수 있습니다:

(1): 거듭제곱 곱(power product)이라고 역시 불리는, 단항식은 음수가 아닌 정수 지수, 또는 반복이 가능한 변수의 곱을 가진 변수(variables)의 거듭제곱의 곱입니다. 상수 1은, 비어있는 곱과 같고 어떤 변수 $x$ 에 대해서 $x$ ⁰인, 단항식(monomial)입니다. 만약 오직 한 변수 $x$ 가 고려된다면, 이것은 단항이 1 또는 양의 정수 $n$ 을 가진 $x$ 의 거듭제곱 $x n$ 임을 의미합니다. 만약 여러 변수가 고려된다면, 예를 들어, $x,y,z,$ 는 각각 지수를 부여할 수 있으므로, 임의의 단항식은 비-음의 정수 $a,b,c$ 를 갖는 $x^{a}y^{b}z^{c}$ 형태입니다 (임의의 지수 0을 취하는 것은 해당하는 인수를 1로 만들어 버리는 것에 주목하십시오).
(2): 단항식은 첫 번째 의미에, 단항식의 계수라고 불리는, 영이 아닌 상수가 곱해진 단항식입니다. 첫 번째 의미의 단항식은 두 번째 의미의 단항식 중에서 계수가 1인 특별한 경우입니다. 예를 들어, 이런 해석에서 $-7x^{5}$ 및 $(3-4i)x^{4}yz^{13}$ 은 단항식입니다 (두 번째 예제에서, 변수는 $x,y,z,$ 이고 계수는 허수 복소수입니다).

로랑 다항식(Laurent polynomials)와 로랑 급수(Laurent series)의 문맥에서, 단항식의 지수는 음수일 수 있고, 그리고 퓌죄 급수(Puiseux series)의 문맥에서, 지수는 유리수일 수 있습니다.

단어 "다항식" 뿐만 아니라 단어 "다항식"은 후기 라틴어 단어 "binomium" (이항식)에서 접두사 "bi" (라틴어에서 둘)를 변경함으로써 유래되며, 단항식은 이론적으로 "mononomial"로 불려야 합니다. "Monomial"은 "mononomial"의 중음 탈락(haplology)에 의한 어중음 소실(syncope)입니다.^[1]

Comparison of the two definitions

어느 쪽의 정의를 사용하든, 단항식의 집합은 곱셈 아래에 닫혀 있는 모든 다항식의 부분집합입니다.

이 개념의 두 가지 용도는 모두 찾아질 수 있고, 많은 경우에서 구별이 단순히 무시되는데, 예를 들어 첫 번째^[2] 및 두 번째^[3] 의미의 예제를 참조하십시오. 비공식 논의에서, 구별은 거의 중요하지 않고, 경향은 더 넓은 두 번째 의미를 향합니다. 다항식의 구조를 연구할 때, 어쨌든, 누군가는 종종 첫 번째 의미의 개념이 분명히 필요합니다. 이것은 예를 들어 다항식 링(polynomial ring)의 단항식 기저(monomial basis), 또는 그 기저의 단항식 순서(monomial order)화를 고려할 경우입니다. 첫 번째 의미를 찬성하는 주장은 또한, 명백한 다른 개념이 이들 값을 지정하기 위해 유용하지 않은 반면에 (용어 거듭제곱 곱이 사용 중인데, 특히 단항식이 첫 번째 의미와 함께 사용될 때지만, 상수의 부재가 분명하지 않은 경우입니다), 다항식의 개념 용어는 모호하지 않은 단항식의 두 번째 의미와 일치한다는 것입니다.

이 기사의 나머지 부분은 "단항식"의 첫 번째 의미를 가정합니다.

Monomial basis

(첫 번째 의미에서) 단항식에 대한 가장 명백한 사실은 임의의 다항식은 그들의 선형 조합(linear combination)이므로, 그들은 단항식 기저라고 불리는 모든 다항식의 벡터 공간(vector space)의 기저(basis)를 형성한다는 것입니다 – 이는 수학에서 지속적으로 암묵적으로 사용됩니다.

Number

n 변수에서 차수 d의 단항식의 개수는 n 변수 중에서 선택된 d 원소의 중복조합(multicombination)의 숫자습니다 (변수는 두 번 이상 선택할 수 있지만, 순서는 중요하지 않습니다). 이는 중복집합 계수(multiset coefficient) $\textstyle {\left(\!\!{n \choose d}\!\!\right)}$ 에 의해 제공됩니다. 이 표현은 이항 계수(binomial coefficient)의 형태, d의 다항식 표현(polynomial expression), 또는 d + 1의 올라가는 팩토리얼 거듭제곱(rising factorial power)을 사용하여 역시 주어질 수 있습니다:

\left(\!\!{n \choose d}\!\!\right)={\binom {n+d-1}{d}}={\binom {d+(n-1)}{n-1}}={\frac {(d+1)\times (d+2)\times \cdots \times (d+n-1)}{1\times 2\times \cdots \times (n-1)}}={\frac {1}{(n-1)!}}(d+1)^{\overline {n-1}}.

후자의 형태는 변수의 숫자를 고정하고 차수가 변할 때 특히 유용합니다. 이들 표현식으로부터, 고정된 n에 대해, 차수 d의 단항식의 숫자는 선행 계수 ${\tfrac {1}{(n-1)!}}$ 를 갖는 차수 $n-1$ 의 d의 다항식 표현임을 알 수 있습니다.

예를 들어, 차수 d의 세 변수 ( $n=3$ )에서 단항식의 숫자는 $\textstyle {\frac {1}{2}}(d+1)^{\overline {2}}=\textstyle {\frac {1}{2}}(d+1)(d+2)$ ; 이들 숫자는 삼각형 숫자(triangular number:삼각수)의 수열 1, 3, 6, 10, 15, ...을 형성합니다.

힐베르트 급수(Hilbert series)는 주어진 차수의 단항식의 숫자를 표현하는 간결한 방법입니다; $n$ 변수에서 차수 $d$ 의 단항식의 숫자는 다음의 형식적 거듭제곱 급수(formal power series) 전개의 차수 $d$ 의 계수입니다:

{\frac {1}{(1-t)^{n}}}.

$n$ 변수에서 최대 차수 $d$ 의 단항식의 숫자는 ${\binom {n+d}{n}}={\binom {n+d}{d}}$ 입니다. 이것은 $n +1$ 변수에서 차수 $d$ 의 단항식과 $n$ 변수에서 최대 차수 $d$ 사이의 일-대-일 대응으로 이어지는데, 이것은 여분의 변수에 1을 대체함으로써 구성됩니다.

Notation

단항식에 대해 표기법은 부분 미분 방정식(partial differential equation)과 같은 필드에서 끊임없이 요구됩니다. 만약 사용되는 변수가 $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , ...과 같은 인덱스된 가족을 형성하면, 다중 인덱스 표기법(multi-index notation)이 도움이 됩니다: 만약 다음과 같이 쓴다면

\alpha =(a,b,c)

매우 간결하게 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

x^{\alpha }=x_{1}^{a}\,x_{2}^{b}\,x_{3}^{c}

.

Degree

단항식의 차수는 지수없이 표시되는 변수에 대한 암시적 지수 1을 포함하여, 변수의 모든 지수의 합으로 정의됩니다; 예를 들어, 위의 섹션의 예제에서, 차수는 $a+b+c$ 입니다. $xyz^{2}$ 의 차수는 1+1+2=4입니다. 비-영 상수의 차수는 0입니다. 예를 들어 –7의 차수는 0입니다.

단항식의 차수는, 주로 급수의 문맥에서, 때때로 등급(order)이라고 불립니다. 차수는 변수 중 하나의 차수로부터 그것을 구별할 필요가 있을 때 전체 차수라고 역시 불립니다.

단항식은 일변수 및 다변수 다항식 이론의 기본입니다. 명시적으로, 그것은 다항식의 차수(degree of a polynomial)와 동차 다항식(homogeneous polynomial)의 개념을 정의하는 데 사용되고, 뿐만 아니라 그뢰브너 기저(Gröbner bases)의 공식화 및 계산에 사용되는 등급화된 단항식 순서화(monomial ordering)에 대해 사용됩니다. 암시적으로, 그것은 여러 변수에서 테일러 급수(Taylor series in several variables)의 항을 그룹화하는 데 사용됩니다.

Geometry

대수적 기하학[(algebraic geometry)에서, α의 일부 집합에 대해 단항 방정식 $x^{\alpha }=0$ 에 의해 정의된 다양체는 동차성에 대한 특별한 속성을 가집니다. 이것은 대수적 원고리(algebraic torus) (동등하게 대각 행렬(diagonal matrices)의 곱셈 그룹에 의해)의 그룹 동작(group action)의 존재의 관점에서 대수적 그룹(algebraic group)의 언어에서 표현될 수 있습니다. 이 영역은 원고리 삽입(torus embedding)의 이름 아래에서 연구됩니다.

Notes

^ American Heritage Dictionary of the English Language, 1969.
^ Cox, David; John Little; Donal O'Shea (1998). Using Algebraic Geometry. Springer Verlag. p. 1. ISBN 0-387-98487-9.
^ "Monomial", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] American Heritage Dictionary of the English Language, 1969.

[2] Cox, David; John Little; Donal O'Shea (1998). Using Algebraic Geometry. Springer Verlag. p. 1. ISBN 0-387-98487-9.

[3] "Monomial", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

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