Monotonic function

수학(mathematics)에서, 단조로운 함수(monotonic function) (또는 단조의 함수(monotone function))는 주어진 순서(order)를 유지하거나 역으로 뒤집는 순서 집합(ordered sets) 사이의 함수(function)입니다.^[1]^[2]^[3] 이 개념은 미적분학(calculus)에서 처음 생겨났고, 나중에 순서 이론(order theory)의 보다 추상적인 설정으로 일반화되었습니다.

Monotonicity in calculus and analysis

미적분학(calculus)에서, 실수 값을 가진 실수(real numbers)의 부분-집합(subset) 위에 정의된 함수 $f$ 는 단조적으로 불리는 것과 그것이 전적으로 비-증가 또는 전적으로 비-감소인 것은 필요충분 조건입니다.^[2] 즉, 그림 1에서 처럼, 단조적으로 증가하는 함수는 배타적으로 증가할 필요는 없고, 그것은 간단히 절대 감소하지 않습니다.

함수가, 만약 모든 $x$ 와 $y$ 에 대해 $x\leq y$ 를 만족하면, 우리가 $f\!\left(x\right)\leq f\!\left(y\right)$ 를 가지므로, $f$ 가 순서를 보존하는 것을 단조적으로 증가함^[3]) (역시 증가함 또는 비-감소함)이라고 불립니다 (그림 1을 참조하십시오). 마찬가지로, 함수가, 만약, $x\leq y$ 일 때마다, $f\!\left(x\right)\geq f\!\left(y\right)$ 이므로, 그것은 순서를 뒤집는 것을 단조적으로 감소함^[3] (역시 감소함 또는 비-증가함)이라고 불립니다 (그림 2를 참조하십시오).

만약 단조성의 정의에서 순서 $\leq$ 가 엄격한 순서 $<$ 로 대체되면, 우리는 더 강한 요구사항이 생깁니다. 이 속성을 갖는 함수는 엄격하게 증가함이라고 불립니다.^[3] 다시, 순서 기호를 반대로 함으로써, 우리는 엄격하게 감소함이라고 불리는 대응하는 개념을 찾습니다.^[3] 함수가, 만약 그것이 엄격하게 증가함 또는 엄격하게 감소함이면, 엄격하게 단조적인 것으로 불릴 수 있습니다. 엄격하게 단조적인 함수는 일-대-일(one-to-one)입니다 (왜냐하면 $y$ 와 같지 않은 $x$ 에 대해, $x<y$ 또는 $x>y$ 중 하나이므로, 단조성에 의해, $f\!\left(x\right)<f\!\left(y\right)$ 또는 $f\!\left(x\right)>f\!\left(y\right)$ 중 하나이고, 따라서 $f\!\left(x\right)\neq f\!\left(y\right)$ 이기 때문입니다.)

만약 "증가함" 및 "감소함"이 연속적인 인수에서 같은 값을 반복하는 가능성을 포함하도록 취해지는 것이 분명하지 않으면, 우리는 이 가능성을 강조하기 위해 용어 약하게 단조적인, 약하게 증가함 및 약하게 감소함을 사용할 수 있습니다.

용어 "비-감소함" 및 "비-증가함"은 (훨씬 약한) 부정적인 제한 "감소하지 않는" 및 "증가하지 않는" 것과 절대 혼동해서는 안됩니다. 예를 들어, 그림 3의 함수는 처음에 떨어지고, 그런-다음 증가하고, 그런-다음 다시 떨어집니다. 그것은 그러므로 감소하지 않는 및 증가하지 않는 것이지만, 그것은 비-감소함 및 비-증가함 둘 다는 아닙니다.

함수 $f\!\left(x\right)$ 는, 만약 $f$ 의 모든 차수의 도함수가 구간 위의 모든 점에서 비-음수(nonnegative) 또는 비-양수(nonpositive)이면, 절대적으로 단조적인 것이라고 말합니다.

Inverse of function

단조적이지만, 엄격하게 단조적이지 않고, 따라서 구간에서 상수인 함수는 역을 가지지 않습니다. 이것은 함수에 대해 역을 가지려면 이미지에서 함수의 도메인으로 일-대-일 매핑이 필요하기 때문인데, 왜냐하면 단조 함수는 그것의 도메인에서 상수인 어떤 값을 가지며, 이것은 이 상수 값에 매핑되는 이미지에서 하나보다 많은 값이 있기 때문입니다.

어쨌든, 엄격하게 단조적인 함수 y=g(x)는 함수의 이미지에서 도메인으로의 일-대-일 맵핑이 항상 보장되기 때문에, x=h(x)를 만족하는 역함수를 가집니다. 역시, 함수는 값의 이미지에서 엄격하게 단조로운 것으로 말할 수 있고, 따라서 값의 해당 이미지에 역을 가집니다. 예를 들어, 만약 y=g(x)가 이미지 [a,b] 위에 엄격하게 단조적이면, 그것은 이미지 [g(a), g(b)] 위에 역 x=h(y)를 가지지만, 우리는 함수의 전체 범위에서 역을 가진다고 말할 수는 없습니다.

일부 교과서는 단조 함수에 대해 역이 존재한다고 잘못 말하고 있으며, 그들은 실제로 엄격하게 단조 함수에 대해 역이 존재함을 의미한다는 것에 주목하십시오.

Monotonic transformation

용어 단조적 변환 (또는 단조의 변환)은 역시 아마도 약간의 혼동을 일으킬 수 있는데 왜냐하면 그것은 엄격하게 증가하는 함수에 의한 변환을 참조하기 때문입니다. 이것은 단조 변환을 교차하여 보존되는 효용 함수(utility function)의 순서-숫자 속성에 관한 경제학에서 경우입니다 (역시 단조적 선호도(monotone preferences)를 참조하십시오).^[4] 이 문맥에서, 우리가 "단조적 변환"으로 부르는 것은 숫자의 순서를 반대로 바꾸는 "음의 단조적 변환"과 그것을 구별하기 위해, 보다 정확하게, "양의 단조적 변환"으로 불립니다. ^[5]

Some basic applications and results

다음 속성은 단조 함수 $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 에 대해 참입니다:

$f$ 는 그것의 도메인(domain)의 모든 각 점에서 왼쪽으로부터 및 오른쪽으로부터 극한(limits)을 가집니다;
$f$ 는 어느 한 쪽 실수, $\infty$ , 또는 $\left(-\infty \right)$ 의 양의 또는 음의 무한대 ( $\pm \infty$ )에서 극한을 가집니다.
$f$ 는 오직 점프 불연속(jump discontinuities)을 가질 수 있습니다;
$f$ 는 오직 그것의 도메인에서 셀-수-있게(countably) 많은 불연속(discontinuities)을 가질 수 있습니다. 불연속은, 어쨌든, 반드시 분리된 점으로 구성될 필요는 없고 구간 (a, b)에서 심지어 조밀할 수 있습니다.

이들 속성은 단조 함수가 해석학(analysis)에서 기술적인 작업에서 유용한 이유입니다. 이들 함수에 대한 일부 추가 사실은 다음입니다:

만약 $f$ 가 구간(interval) $I$ 위에 정의된 단조 함수이면, $f$ 는 $I$ 위에 거의 모든 곳(almost everywhere)에서 미분-가능(differentiable)입니다. 즉, $f$ 가 $x$ 가 미분-가능이지 않은 것을 만족하는 $I$ 에서 숫자 $x$ 의 집합은 르베그(Lebesgue) 측정 영(measure zero)을 가집니다. 게다가, 이 결과는 셀-수-있는 것을 개선될 수 없습니다: 칸토어 함수(Cantor function)를 참조하십시오.
만약 이 집합이 셀-수-있으면, $f$ 는 절대적으로 연속입니다.
만약 $f$ 가 구간 $\left[a,b\right]$ 위에 정의된 단조 함수이면, $f$ 는 리만 적분-가능(Riemann integrable)입니다.

단조 함수의 중요한 적용은 확률 이론(probability theory)에 있습니다. 만약 $X$ 가 확률 변수(random variable)이면, 그것의 누적 분포 함수(cumulative distribution function) $F_{X}\!\left(x\right)={\text{Prob}}\!\left(X\leq x\right)$ 는 단조적으로 증가하는 함수입니다.

함수가 만약 그것이 어떤 점 (최빈값(mode))까지 단조적으로 증가하고 그런-다음 단조적으로 감소하면, 단일-봉우리(unimodal)입니다.

$f$ 가 엄격하게 단조적 함수일 때, $f$ 는 그것의 도메인 위에 단사(injective)이고, 만약 $T$ 가 $f$ 의 치역(range)이면, $f$ 에 대해 $T$ 위에 역함수(inverse function)가 있습니다. 대조적으로, 각각의 상수 함수는 단조적이지만, 단사가 아니고,^[6] 따라서 역을 가질 수 없습니다.

Monotonicity in topology

맵 $f:X\rightarrow Y$ 는 만약 그것의 섬유의 각각이 연결되면, 즉, $Y$ 에서 각 원소 $y$ 에 대해 (가능한 빈) 집합 $f^{-1}(y)$ 가 연결되면 단조라고 말합니다.

Monotonicity in functional analysis

토폴로지적 벡터 공간(topological vector space) $X$ 위에 함수형 해석학(functional analysis)에서, (가능한 비-선형) 연산자 $T:X\rightarrow X^{*}$ 는 만약 다음이면 단조 연산자라고 말합니다:

(Tu-Tv,u-v)\geq 0\quad \forall u,v\in X.

카추로브스키의 정리(Kachurovskii's theorem)는 바나흐 공간(Banach space) 위에 볼록 함수(convex function)는 그들의 도함수로 단조 함수를 가짐을 보입니다.

$X\times X^{*}$ 의 부분-집합 $G$ 는 만약 $G$ 에서 모든 각 쌍 $[u_{1},w_{1}]$ 및 $[u_{2},w_{2}]$ 에 대해, 다음이면, 단조 집합이라고 말합니다:

(w_{1}-w_{2},u_{1}-u_{2})\geq 0.

$G$ 는 만약 그것이 집합 포함의 의미에서 모든 단조 집합 사이의 최대이면 최대 단조라고 말합니다. 단조 연산자 $G(T)$ 의 그래프는 단조 집합입니다. 단조 연산자는 만약 그것의 그래프가 최대 단조 집합이면 최대 단조라고 말합니다.

Monotonicity in order theory

순서 이론은 실수의 일반화로 임의의 부분적으로 순서화된 집합(partially ordered set) 및 이전-순서화된 집합(preordered sets)을 다룹니다. 단조성의 위의 정의는 마찬가지로 이들 경우에서 관련됩니다. 어쨌든, 용어 "증가함" 및 "감소함"은 피해지게 되는데, 왜냐하면 전통적인 그림 표시가 전체(total)가 아닌 순서에 적용되지 않기 때문입니다. 게다가, 엄격한(strict) 관계 < 및 >는 많은 비-전체 순서에서 거의 사용되지 않고 따라서 추가적인 용어가 그들에 대해 도입되지 않습니다.

≤를 임의의 부분적으로 순서화된 집합의 부분 순서 관계로 놓으면, 단조함수는, isotone, 또는 순서-보존함(order-preserving)으로 역시 불림, 그것의 도메인에서 모든 x와 y에 대해 다음 속성을 만족시킵니다:

x ≤ y implies f(x) ≤ f(y).

두 단조 매핑의 합성은 역시 단조입니다.

이중(dual) 개념은 종종 역-단조(antitone, anti-monotone), 또는 순서-역전(order-reversing)으로 불립니다. 그러므로, 역-단조 함수 f는 그것의 도메인에서 모든 x와 y에 대해 다음 속성을 만족시킵니다:

x ≤ y implies f(y) ≤ f(x).

상수 함수(constant function)는 단조 및 역-단조 둘 다입니다; 반대로, 만약 f가 단조 및 역-단조 둘 다이면, 및 만약 f의 도메인이 격자(lattice)이면, f는 반드시 상수여야 합니다.

단조 함수는 순서 이론의 핵심입니다. 그것들은 주제에 관한 대부분의 기사에 나타나고 특수 응용 프로그램의 예제는 이들 장소에서 찾을 수 있습니다. 일부 주목할만한 특수 단조 함수는 순서 삽입(order embedding) (x ≤ y인 것과 f(x) ≤ f(y)인 것은 필요충분(iff) 조건인 함수) 및 순서 동형(order isomorphism) (전사(surjective) 순서 삽입)입니다.

Monotonicity in the context of search algorithms

검색 알고리듬(search algorithm)의 문맥에서, 단조성 (역시 일관성으로 불림)은 휴리스틱 함수(heuristic function)에 적용되는 조건입니다. 휴리스틱 h(n)은 만약, 임의의 동작 a에 의해 생성된 모든 각 노드 n과 n의 후임 n'에 대해, n으로부터 목표에 도달하는 것으로 추정된 비용이 n' 에 도달하는 단계 비용 더하기 n' 으로부터 목표에 도달하는 추정된 비용보다 크지 않으면, 단조적입니다:

h(n)\leq c(n,a,n')+h(n').

이것은 n, n', 및 n에 가장-가까운 목표 G_n을 갖는 삼각형 부등식(triangle inequality)의 형식입니다. 모든 각 단조 휴리스틱은 역시 허용되는(admissible) 것이기 때문에, 단조성은 허용-가능성보다 더 엄격한 요구조건입니다. A*와 같은 일부 휴리스틱 알고리듬(heuristic algorithm)은 그들이 사용하는 휴리스틱이 단조적이라는 조건으로 최적(optimal)임을 입증될 수 있습니다.^[7]

Boolean functions

부울 대수(Boolean algebra)에서, 단조 함수는 {0,1}에서 모든 a_i와 b_i에 대해 만약 a₁ ≤ b₁, a₂ ≤ b₂, ..., a_n ≤ b_n이면 (즉, 데카르트 곱 {0, 1}ⁿ이 좌표별(coordinatewise)로 순서화되면), f(a₁, ..., a_n) ≤ f(b₁, ..., b_n)임을 만족하는 하나입니다. 다시 말해, 부울 함수는 만약 모든 입력 조합에 대해, 입력 중 하나를 거짓에서 참으로 전환하면 출력을 참에서 거짓이 아닌 거짓에서 참으로 전환하기 위한 오직 원인이 되면 단조입니다. 그래픽적으로, 이것은 n-항 부울 함수가 참 값을 갖는 n-큐브(n-cube) 레이블된 표시가 참에서 거짓으로 위로-향한 가장자리를 가지지 않을 때 단조임을 의미합니다. (이 레이블된 하세 다이어그램(Hasse diagram)은 함수의 레이블된 벤 다이어그램(Venn diagram)의 이중(dual)이며, 이것은 n ≤ 3에 대한 보다 일반적인 표시입니다.)

단조 부울 함수는 오직 연산자 그리고(and) 및 또는(or) (특히 부정(not)은 금지) 사용하여 입력 (한번보다 많이 나타날 수 있음)을 결합하는 표현에 의해 정의될 수 있는 정확히 그들입니다. 예를 들어 "a, b, c의 적어도 둘은 유지됨"은 a,b,c의 단조 함수인데, 왜냐하면 그것은 예를 들어 ((a 그리고 b) 또는 (a 그리고 c) 또는 (b 그리고 c))으로 쓸 수 있기 때문입니다.

n 변수에 대한 그러한 함수의 숫자는 n의 데데킨트 숫자(Dedekind number)로 알려져 있습니다.

Notes

^ Clapham, Christopher; Nicholson, James (2014). Oxford Concise Dictionary of Mathematics (5th ed.). Oxford University Press.
^ ^a ^b Stover, Christopher. "Monotonic Function". Wolfram MathWorld. Retrieved 2018-01-29.
^ ^a ^b ^c ^d ^e "Monotone function". Encyclopedia of Mathematics. Retrieved 2018-01-29.
^ See the section on Cardinal Versus Ordinal Utility in Simon & Blume (1994).
^ Varian, Hal R. (2010). Intermediate Microeconomics (8th ed.). W. W. Norton & Company. p. 56. ISBN 9780393934243.
^ if its domain has more than one element
^ Conditions for optimality: Admissibility and consistency pg. 94-95 (Russell & Norvig 2010).

Bibliography

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Grätzer, George (1971). Lattice theory: first concepts and distributive lattices. ISBN 0-7167-0442-0.
Pemberton, Malcolm; Rau, Nicholas (2001). Mathematics for economists: an introductory textbook. Manchester University Press. ISBN 0-7190-3341-1.
Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). An introduction to partial differential equations. Texts in Applied Mathematics 13 (Second ed.). New York: Springer-Verlag. p. 356. ISBN 0-387-00444-0. {{cite book}}: Unknown parameter |lastauthoramp= ignored (|name-list-style= suggested) (help)
Riesz, Frigyes; Béla Szőkefalvi-Nagy (1990). Functional Analysis. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-66289-3. {{cite book}}: Unknown parameter |lastauthoramp= ignored (|name-list-style= suggested) (help)
Russell, Stuart J.; Norvig, Peter (2010). Artificial Intelligence: A Modern Approach (3rd ed.). Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-604259-4. {{cite book}}: Invalid |ref=harv (help)
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External links

"Monotone function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Convergence of a Monotonic Sequence by Anik Debnath and Thomas Roxlo (The Harker School), Wolfram Demonstrations Project.
Weisstein, Eric W. "Monotonic Function". MathWorld.

[1] Clapham, Christopher; Nicholson, James (2014). Oxford Concise Dictionary of Mathematics (5th ed.). Oxford University Press.

[:1-2] Stover, Christopher. "Monotonic Function". Wolfram MathWorld. Retrieved 2018-01-29.

[:0-3] "Monotone function". Encyclopedia of Mathematics. Retrieved 2018-01-29.

[4] See the section on Cardinal Versus Ordinal Utility in Simon & Blume (1994).

[5] Varian, Hal R. (2010). Intermediate Microeconomics (8th ed.). W. W. Norton & Company. p. 56. ISBN 9780393934243.

[6] ts domain has more than one element

[7] Conditions for optimality: Admissibility and consistency pg. 94-95 (Russell & Norvig 2010).

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