Multivalued function

수학(mathematics)에서, 다중값 함수(multivalued function)는, 역시 다중함수(multifunction), 많은-값 함수(many-valued function), 집합-값 함수(set-valued function)라고 불리며, 함수(function)와 유사하지만, 각 입력에 여러 값을 결합할 수 있습니다. 보다 정확하게, 도메인(domain) $X$ 에서 코도메인(codomain) $Y$ 로의 다중값 함수는 $X$ 에서 각 $x$ 를 $Y$ 에서 하나 이상의 값 $y$ 에 결합합니다; 그것은 따라서 직렬 이항 관계(serial binary relation)입니다.^{[citation needed]} 일부 저자는 다중-값 함수를 일부 입력에 대해 값을 갖지 않는 것을 허용합니다 (이 경우에서, 다중값 함수는 단순히 이항 관계입니다).^{[citation needed]}

어쨌든, 복소 해석학(complex analysis) (X = Y = ℂ)에서 처럼 일부 문맥에서, 저자는 그것들이 보통의 (단일-값) 함수의 개념을 확장하기 때문에 함수 이론을 모방하는 것을 선호합니다. 이러한 맥락에서, 보통의 함수(function)는 혼동을 피하기 위해 단일-값 함수(single-valued function)라고 종종 불립니다.

용어 다중-값 함수는, 복소 해석학(complex analysis)에서, 해석적 연속(analytic continuation)으로부터 유래했습니다. 그것은 우리가 점 $z=a$ 의 일부 이웃(neighbourhood)에서 복소수 해석 함수(analytic function) $f(z)$ 의 값을 알고 있는 경우에 종종 발생합니다. 이것은 암시적 함수 정리(implicit function theorem) 또는 $z=a$ 주위의 테일러 급수(Taylor series)에 의해 정의된 함수에 대한 경우입니다. 그러한 상황에서, 우리는 $a$ 에서 시작하는 복소 평면에서 곡선을 따라 단일-값 함수 $f(z)$ 의 도메인을 확대할 수 있습니다. 그렇게 하면, 우리는 점 $z=b$ 에서 확대된 함수의 값이 $a$ 에서 $b$ 로의 선택된 곡선에 의존함을 발견합니다; 왜냐하면 새로운 값 중 어느 것도 다른 값보다 자연스럽지 않기 때문에, 그들의 모두는 다중-값 함수로 통합됩니다. 예를 들어, $f(z)={\sqrt {z}}$ 를 양의 실수에 대한 보통의 제곱근(square root) 함수라고 놓습니다. 우리는 복소 평면에서 $z=1$ 의 이웃으로 그것의 도메인을 확대하고, 그런-다음 주어진 곡선을 따른 값이 ${\sqrt {1}}=1$ 에서부터 연속적으로 변하도록, $z=1$ 에서 시작하는 곡선을 따라 나아갑니다. 음의 실수로 확대하면, 우리는 ${\sqrt {-1}}=\pm i$ 와 같은 제곱근의 두 개의 반대 값을 얻고, 도메인이 복소 평면의 위쪽 또는 아래쪽 절반의 어느 것으로 확대되었는지 여부에 따라 달라집니다. 이 현상은 $n$ 번째 근( $n$ th roots), 로그(logarithm), 및 역 삼각 함수(inverse trigonometric function)에 대해 매우 자주 발생합니다.

복소수 다중-값 함수로부터 단일-값 함수를 정의하기 위해, 우리는 다중 값 중 하나를, 특정 경계 곡선을 따라 불연속적인 전체 평면에 단일-값 함수를 생성하는, 주요 값(principal value)으로 구별할 수 있습니다. 대안적으로, 다중-값 함수를 다루는 것이, 닫힌 경로 (모노드로미(monodromy))를 따를 때, 가능한 값 변경을 희생하면서, 모든 곳에서 연속적인 어떤 것을 가짐을 허용합니다. 이들 문제는 리만 곡면(Riemann surface)의 이론에서 해결됩니다: 임의의 값을 버림없이 보통의 함수로써 다중-값 함수 $f(z)$ 를 고려하기 위해, 우리는 도메인을 많은-계층 덮는 공간(covering space), $f(z)$ 와 결합된 리만 곡면인 매니폴드(manifold)에 곱합니다.

Examples

영보다 큰 모든 각 실수(real number)는, 제곱근(square root)이 다중-값 함수로 여길 수 있도록, 두 개의 실수 제곱근을 가집니다. 예를 들어, 우리는 ${\sqrt {4}}=\pm 2=\{2,-2\}$ 를 쓸 수 있습니다; 영이 오직 하나의 제곱근을 가질지라도, ${\sqrt {0}}=\{0\}$ 입니다.
각 비-영 복소수(complex number)는 두 개의 제곱근, 세 개의 세제곱 근(cube root), 및 일반적으로 n 개의 n번째 근(nth roots)을 가집니다. 오직 0의 n번째 근이 0입니다.
복소 로그(complex logarithm) 함수는 다중-값입니다. 실수 $a$ 와 $b$ 에 대해 $\log(a+bi)$ 로 가정된 그 값은 모든 정수(integer) $n$ 에 대해 $\log {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+i\arg(a+bi)+2\pi ni$ 입니다.
역 삼각 함수(Inverse trigonometric function)는 다중-값인데 왜냐하면 삼각 함수는 주기적이기 때문입니다. 우리는 다음을 가집니다:

\tan \left({\textstyle {\frac {\pi }{4}}}\right)=\tan \left({\textstyle {\frac {5\pi }{4}}}\right)=\tan \left({\textstyle {\frac {-3\pi }{4}}}\right)=\tan \left({\textstyle {\frac {(2n+1)\pi }{4}}}\right)=\cdots =1.

결과로써, arctan(1)은 여러 값:

π

/4, 5

π

/4, −3

π

/4, 및 계속 이런 식의 값과 직관적으로 관련됩니다. 우리는 아크탄젠트를 tan x의 도메인을 −

π

/2 < x <

π

/2로 제한함으로써 단일-값 함수로 취급할 수 있습니다 – 그 도메인에 걸쳐 tan x는 단조적으로 증가합니다. 따라서, arctan(x)의 치역은 −

π

/2 < y <

π

/2가 됩니다. 제한된 도메인으로부터 이들 값은 주요 값(principal value)이라고 불립니다.

부정 적분(indefinite integral)은 다중-값 함수로 여길 수 있습니다. 함수의 부정 적분은 그것의 도함수가 해당함수인 함수의 집합입니다. 적분의 상수(constant of integration)는 상수 함수의 도함수가 0이라는 사실에서 비롯됩니다.
argmax는 다중-값이며, 예를 들어 $\operatorname {argmax} _{x\in \mathbb {R} }\cos(x)=\{2\pi k\;|\;k\in \mathbb {Z} \}$ 입니다.

이들은 모두 비-단사 함수(injective function)에서 나오는 다중-값 함수의 예제입니다. 원래 함수가 그들 입력의 모든 정보를 보존하지 않으므로, 그것들은 역-가능이 아닙니다. 종종, 다중-값 함수의 제한은 원래 함수의 부분 역(partial inverse)입니다.

복소 변수의 다중-값 함수는 가지 점(branch point)을 가집니다. 예를 들어, n번째 근과 로그 함수에 대해, 0은 가지 점입니다; 아크탄젠트 함수에 대해, 허수 단위 i와 −i는 가지 점입니다. 가지 점을 사용하면, 이들 함수는 치역을 제한함으로써 단일-값 함수로 다시-정의될 수 있습니다. 적절한 구간은 가지 자름(branch cut), 가지 점의 쌍을 연결하는 일종의 곡선의 사용을 통해 찾아질 수 있으며, 따라서 함수의 여러-층 리만 곡면(Riemann surface)을 단일 층으로 줄입니다. 실제 함수의 경우에서 처럼, 제한된 치역은 함수의 주요 가지(principal branch)라고 불릴 수 있습니다.

Set-valued analysis

집합-값 해석학(Set-valued analysis)은 수학적 해석학(mathematical analysis)과 일반 토폴로지(general topology)의 정신으로 집합에 대한 연구입니다.

오직 점의 모음을 고려하는 것 대신에, 집합-값 해석학은 집합의 모음을 고려합니다. 만약 집합의 모음이 토폴로지로 부여되거나, 놓여-있는 토폴로지 공간에서 적절한 토폴로지를 상속하면, 집합의 수렴은 연구될 수 있습니다.

집합-값 해석학의 대부분은, 부분적으로 볼록 해석학(convex analysis)의 일반화로서, 수학적 경제학(mathematical economics)과 최적 제어(optimal control)의 연구를 통해 발생했습니다; 용어 "변동 분석(variational analysis")은 R. Tyrrell Rockafellar과 Roger J-B Wets, Jonathan Borwein과 Adrian Lewis, 및 Boris Mordukhovich와 같은 저자에 의해 사용됩니다. 최적화 이론에서, 부분도함수(subdifferential)에 대한 근사 부분도함수의 수렴은 임의의 최소화 점에 대해 필요 또는 충분 조건을 이해하는 데 중요합니다.

점-값 해석의 따라오는 개념에 대한 집합-값 확장이 존재합니다: 연속성(continuity), 미분(differentiation), 적분(integration),^[1] 암시적 함수 정리(implicit function theorem), 수축 매핑(contraction mapping), 측정 이론(measure theory), 고정-점 정리(fixed-point theorem),^[2] 최적화(optimization), 및 토폴로지 차수 이론(topological degree theory).

방정식(Equation)은 포함(inclusions)으로 일반화됩니다.

Types of multivalued functions

우리는 닫힌 그래프(closed graph) 속성과 위쪽 및 하위쪽 반-연속성(upper and lower hemicontinuity)과 같이 연속성(continuity)을 일반화하는 여러 개념을 구분할 수 있습니다.^[a] 다중-함수에 대한 측정(measure)의 다양한 일반화가 역시 있습니다.

Applications

다중-함수는 최적 제어 이론(optimal control theory), 특히 미분 포함(differential inclusion)과 게임 이론과 같은 관련된 주제에서 발생하며, 여기서 다중-함수에 대해 가쿠타니 고정-점 정리는 내쉬 평형(Nash equilibria)의 존재를 입증하기 위해 적용되어 왔습니다 (게임 이론의 맥락에서, 다중-값 함수는 보통 대응(correspondence)으로 참조됩니다). 이것은 연속 함수를 통한 위쪽 반-연속 다중-함수의 근사성과 느슨하게 연관된 많은 다른 속성 중에서 위쪽 반-연속성이 아래쪽 반-연속성보다 더 선호되는 이유를 설명합니다.

그럼에도 불구하고, 아래쪽 반-연속 다중-함수는 보통 파라컴택트(paracompact) 공간의 또 다른 특성을 제공하는 미케일 선택 정리(Michael selection theorem)에 말한 것처럼 연속 선택을 보유합니다.^[3]^[4] 브리산-콜롬보(Bressan-Colombo) 방향 연속 선택, 쿠르탑스키 및 롸일-나드스키 측정-가능 선택 정리(Kuratowski and Ryll-Nardzewski measurable selection theorem), 아우만(Aumann) 측정-가능 선택, 및 분해-가능 맵에 대한 프리스콥스키(Fryszkowski) 선택과 같은 다른 선택 정리는 최적 제어(optimal control)와 미분 포함(differential inclusion)의 이론에서 중요합니다.

물리학에서, 다중-값 함수는 점점 더 중요한 역할을 합니다. 그것들은 결정에서 결함(defect)의 이론과 재료의 가소성(plasticity), 초유체(superfluid)와 초전도체(superconductor)의 와류(vortices), 및 이들 시스템의 상 전이(phase transition), 예를 들어 용해(melting) 및 쿼크 구속(quark confinement)에 대한 디랙(Dirac)의 자기 단극(magnetic monopole)에 대해 수학적 기초를 형성합니다. 그것들은 물리학의 많은 분야에서 게이지 필드(gauge field) 구조의 기원입니다.^{[citation needed]}

Contrast with

References

^ Aumann, Robert J. (1965). "Integrals of Set-Valued Functions". Journal of Mathematical Analysis and Applications. 12 (1): 1–12. doi:10.1016/0022-247X(65)90049-1.
^ Kakutani, Shizuo (1941). "A generalization of Brouwer's fixed point theorem". Duke Mathematical Journal. 8 (3): 457–459. doi:10.1215/S0012-7094-41-00838-4.
^ Ernest Michael (Mar 1956). "Continuous Selections. I" (PDF). Annals of Mathematics. Second Series. 63 (2): 361–382. doi:10.2307/1969615. hdl:10338.dmlcz/119700. JSTOR 1969615.
^ Dušan Repovš; P.V. Semenov (2008). "Ernest Michael and theory of continuous selections". Topology Appl. 155 (8): 755–763. arXiv:0803.4473. doi:10.1016/j.topol.2006.06.011.

Notes

^ Some authors use the term ‘semicontinuous’ instead of ‘hemicontinuous’.