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Net (polyhedron)

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Original article: w:Net (polyhedron)
A net of a regular dodecahedron
The eleven nets of a cube

기하학(geometry)에서, 다면체의 전개도(net)는 다면체의 면(faces)이 되기 위해 (가장자리를 따라) 접힐 수 있는 평면(plane)에서 겹치지 않는 가장자리(edge)-접합된 다각형(polygons)의 배열입니다. 다면체 전개도는 얇은 판지와 같은 재료로 다면체의 물리적 모델을 구성할 수 있기 때문에 일반적으로 다면체와 입체 기하학(solid geometry) 연구에 유용한 도움이 됩니다.[1]

다면체 전개도의 초기 사례는 알브레히트 뒤러(Albrecht Dürer)의 연구에 나타나며, 그의 1525년 책 A Course in the Art of Measurement with Compass and Ruler (Unterweysung der Messung mit dem Zyrkel und Rychtscheyd)는 플라톤 고체(Platonic solids)와 여러 아르키메데스 다면체(Archimedean solids)에 대한 전개도를 포함하고 있습니다.[2] 이들 구조는 1543년 어거스틴 히르슈보겔(Augustin Hirschvogel)에 의해 처음으로 전개도라고 불렸습니다.[3]

Existence and uniqueness

어떤 가장자리가 접합되고 어떤 것이 분리되는지의 선택에 따라 주어진 다면체에 대해 많은 다른 전개도가 존재할 수 있습니다. 볼록 다면체에서 전개도를 형성하기까지 절단된 가장자리가 다면체의 스패닝 트리(spanning tree)를 형성해야 하지만, 절단한 일부 스패닝 트리는 다면체에게 전개도를 형성하는 것이 아니라 펼쳤을 때 자체-겹침을 발생시킬 수 있습니다.[4] 반대로, 주어진 전개도는 그것의 가장자리가 접히는 각도와 함께 붙일 가장자리의 선택에 따라 둘 이상의 다른 볼록 다면체로 접힐 수 있습니다.[5] 만약 결과 모양의 각 꼭짓점이 양의 각도 결함(angular defect)을 가짐을 만족하고 이들 결함의 합이 정확히 4π임을 만족하는 그것의 가장자리를 함께 붙이기 위한 패턴과 함께 전개도가 주어지면, 전개도로부터 접힐 수 있는 필연적으로 정확하게 하나의 다면체가 있습니다; 이것이 알렉산드로프의 고유성 정리(Alexandrov's uniqueness theorem)입니다. 어쨌든, 이러한 방법으로 형성된 다면체는 전개도의 일부로 지정된 면과 다른 면을 가질 수 있습니다: 전개 다각형의 일부는 그들을 가로질러 접힌 부분을 가질 수 있고, 전개 다각형 사이의 가장자리의 일부는 펼쳐진 상태로 남아 있을 수 있습니다. 추가적으로, 같은 전개도는 여러 유효한 달라붙는 패턴을 가질 수 있으며, 다른 접힌 다면체로 이어집니다.[6]

1975년에, G. C. Shephard는 모든 각 볼록 다면체가 적어도 하나의 전개도를 가질지 또는 단순 가장자리-전개가 있는지 물었습니다.[7] 뒤러의 추측, 또는 뒤러의 전개 문제라고도 알려진 이 질문은 해결되지 않은 채 남겨져 있습니다.[8][9][10] 전개도를 가지지 않는 비-볼록 다면체가 존재하고, 세분화된 면의 집합이 전개도를 갖도록 (예를 들어 절단 궤적을 따라) 모든 각 볼록 다면체의 면을 세분화하는 것이 가능합니다.[4] 2014년에, 모하마드 고미(Mohammad Ghomi)는 모든 각 볼록 다면체가 아핀 변환(affine transformation) 후에 전개도를 허용한다는 것을 보여주었습니다.[11] 게다가, 2019년 Barvinok과 고미(Ghomi)는 뒤러 추측의 일반화가 유사 가장자리,[12] 즉, 다면체의 꼭짓점을 연결하고 볼록 면을 갖는 그래프를 형성하는 측지선 네트워크에 대해 실패함을 보여주었습니다.

Blooming a regular dodecahedron

관련된 공개 질문은 볼록 다면체의 모든 각 전개도가 블루밍(blooming), 평평한 상태에서 각 면을 운동 내내 평평하게 유지하는 접힌 상태까지 연속적인 비-자체-교차하는 운동을 가지는지 여부를 묻습니다.[13]

Shortest path

다면체 표면 위에 두 점 사이의 표면에 걸쳐 최단 경로(shortest path)는 경로에 의해 접촉되는 면의 부분집합에 대해 적합한 전개도 위의 직선에 해당합니다. 전개도는 직선이 완전히 그 안에 있어야 함을 만족되어야 하고, 어떤 것이 최단 경로를 제공하는지 보기 위해 여러 개의 전개도를 고려해야 할 수도 있습니다. 예를 들어, 정육면체(cube)의 경우에서, 만약 점들이 인접한 면 위에 있으면, 최단 경로에 대해 후보 중 하나는 공통 가장자리를 가로지르는 경로입니다; 이러한 종류의 최단 경로는 두 면도 인접하는 전개도를 사용하여 찾아집니다. 최단 경로에 대해 다른 후보는 (그것 중 2개가 있는) 두 면 모두에 인접한 세 번째 면의 표면을 통과하고, 해당 전개도는 각 카테고리에서 최단 경로를 찾기 위해 사용될 수 있습니다.[14]

거미와 파리 문제(The spider and the fly problem)는 직육면체 위의 두 점 사이의 최단 경로를 찾는 것과 관련된 레크리에이션 수학(recreational mathematics) 퍼즐입니다.

Higher-dimensional polytope nets

The Dalí cross, a net for the tesseract

사-차원 폴리토프(polytope), 4-폴리토프(polytope)의 전개도는 다면체의 전개도의 다각형 면이 서로 연결되고 모두 같은 평면을 차지하는 것처럼 그것들의 면에 의해 연결되고 모두 같은 삼-차원 공간을 차지하는 다각형 셀(cells)로 구성됩니다. 모서리와 모두가 같은 평면을 차지합니다. 사-차원 초입방체(hypercube), 테서랙트의 전개도는 Salvador Dalí, Crucifixion (Corpus Hypercubus) (1954)에 의해 그림에서 두드러지게 사용됩니다.[15] 로버트 A. 하인라인(Robert A. Heinlein)에 의한 단편 "—And He Built a Crooked House—"의 줄거리의 중심에는 같은 테서랙트 전개도가 있습니다.[16]

조합적으로 구별되는 -차원 초입방체(hypercube)의 전개도의 개수는 접힌 초입방체에서 서로 반대편에 있는 면의 쌍을 설명하는 트리의 여 그래프(complement graph)에서 완벽 일치(perfect matching)와 함께 이들 전개도를 초입방체의 면의 쌍이 하나의 전개도를 형성하기 위해 서로 접착되는 패턴을 설명하는 노드 위에 트리를 표시함으로써 찾아질 수 있습니다. 이 표현을 사용하여, 차원 2, 3, 4, ...의 초입방체에 대해 다른 비-겹침의 개수는 다음과 같이 계산되어 왔습니다:

1, 11, 261, 9694, 502110, 33064966, 2642657228, ...[17]

See also

References

  1. ^ Wenninger, Magnus J. (1971), Polyhedron Models, Cambridge University Press
  2. ^ Dürer, Albrecht (1525), Unterweysung der Messung mit dem Zyrkel und Rychtscheyd, Nürnberg: München, Süddeutsche Monatsheft, pp. 139–152. English translation with commentary in Strauss, Walter L. (1977), The Painter's Manual, New York{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
  3. ^ Friedman, Michael (2018), A History of Folding in Mathematics: Mathematizing the Margins, Science Networks. Historical Studies, vol. 59, Birkhäuser, p. 8, doi:10.1007/978-3-319-72487-4, ISBN 978-3-319-72486-7
  4. ^ a b Demaine, Erik D.; O'Rourke, Joseph (2007), "Chapter 22. Edge Unfolding of Polyhedra", Geometric Folding Algorithms: Linkages, Origami, Polyhedra, Cambridge University Press, pp. 306–338
  5. ^ Malkevitch, Joseph, "Nets: A Tool for Representing Polyhedra in Two Dimensions", Feature Columns, American Mathematical Society, retrieved 2014-05-14
  6. ^ Demaine, Erik D.; Demaine, Martin L.; Lubiw, Anna; O'Rourke, Joseph (2002), "Enumerating foldings and unfoldings between polygons and polytopes", Graphs and Combinatorics, 18 (1): 93–104, arXiv:cs.CG/0107024, doi:10.1007/s003730200005, MR 1892436, S2CID 1489
  7. ^ Shephard, G. C. (1975), "Convex polytopes with convex nets", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 78 (3): 389–403, Bibcode:1975MPCPS..78..389S, doi:10.1017/s0305004100051860, MR 0390915
  8. ^ Weisstein, Eric W. "Shephard's Conjecture". MathWorld.
  9. ^ Moskovich, D. (June 4, 2012), "Dürer's conjecture", Open Problem Garden
  10. ^ Ghomi, Mohammad (2018-01-01), "Dürer's Unfolding Problem for Convex Polyhedra", Notices of the American Mathematical Society, 65 (1): 25–27, doi:10.1090/noti1609
  11. ^ Ghomi, Mohammad (2014), "Affine unfoldings of convex polyhedra", Geom. Topol., 18 (5): 3055–3090, arXiv:1305.3231, Bibcode:2013arXiv1305.3231G, doi:10.2140/gt.2014.18.3055, S2CID 16827957
  12. ^ Barvinok, Nicholas; Ghomi, Mohammad (2019-04-03), "Pseudo-Edge Unfoldings of Convex Polyhedra", Discrete & Computational Geometry, 64 (3): 671–689, arXiv:1709.04944, doi:10.1007/s00454-019-00082-1, ISSN 0179-5376, S2CID 37547025
  13. ^ Miller, Ezra; Pak, Igor (2008), "Metric combinatorics of convex polyhedra: Cut loci and nonoverlapping unfoldings", Discrete & Computational Geometry, 39 (1–3): 339–388, doi:10.1007/s00454-008-9052-3, MR 2383765
  14. ^ O’Rourke, Joseph (2011), How to Fold It: The Mathematics of Linkages, Origami and Polyhedra, Cambridge University Press, pp. 115–116, ISBN 9781139498548
  15. ^ Kemp, Martin (1 January 1998), "Dali's dimensions", Nature, 391 (6662): 27, Bibcode:1998Natur.391...27K, doi:10.1038/34063, S2CID 5317132
  16. ^ Henderson, Linda Dalrymple (November 2014), "Science Fiction, Art, and the Fourth Dimension", in Emmer, Michele (ed.), Imagine Math 3: Between Culture and Mathematics, Springer International Publishing, pp. 69–84, doi:10.1007/978-3-319-01231-5_7
  17. ^ Sloane, N. J. A. (ed.), "Sequence A091159 (Number of distinct nets for the n-hypercube)", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation

External links

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