Nilpotent

수학(mathematics)에서, 링(ring) R의 원소 x는 만약 xⁿ = 0을 만족하는 인덱스(index) (또는 때때로 차수(degree))라고 불리는 양의 정수(integer) n이 존재하면 거듭제곱영(nilpotent)이라고 불립니다.

그 용어는 벤저민 퍼스(Benjamin Peirce)에 의해 대수의 클래스화에 대한 그의 연구의 문맥에서 도입되었습니다.^[1]

Examples

이 정의는 특히 정사각 행렬(square matrices)에 적용될 수 있습니다. 다음 행렬은

A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}

A³ = 0이기 때문에 거듭제곱영입니다. 자세한 것에 대해 거듭제곱영 행렬(nilpotent matrix)을 참조하십시오.

인수 링(factor ring) Z/9Z에서, 3의 동치 클래스(equivalence class)는 거듭제곱영인데 왜냐하면 3²은 0 모듈로(modulo) 9와 합동(congruent)이기 때문입니다.
링 R에서 두 원소 a b가 ab = 0를 만족한다고 가정합니다. 그런-다음 원소 c = ba는 거듭제공영인데 왜냐하면 c² = (ba)² = b(ab)a = 0이기 때문입니다. (a, b에 대해) 행렬을 갖는 예제:

A={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}},\;\;B={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.

여기서 AB = 0, BA = B.

정의에 의해, 닐-반그룹(nilsemigroup)의 임의의 원소는 거듭제곱영입니다.

Properties

거듭제곱영 원소는 단위(unit)일 수 없습니다 (오직 단일 원소 0 = 1를 가지는 자명한 링(trivial ring) {0}은 제외합니다). 모든 거듭제곱영 원소는 영 제수(zero divisor)입니다.

필드(field)에서 엔트리를 갖는 n-×-n 행렬이 거듭제곱영인 것과 그것의 특성 다항식(characteristic polynomial)이 tⁿ인 것은 필요충분 조건입니다.

만약 x가 거듭제곱영이면, 1 − x은 단위(unit)인데, 왜냐하면 xⁿ = 0은 다음을 수반하기 때문입니다:

(1-x)(1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1})=1-x^{n}=1.

보다 일반적으로, 단위 원소와 거듭제곱영 원소의 합은 그것들이 교환할 때 단위입니다.

Commutative rings

교환 링(commutative ring) $R$ 에서 거듭제곱영 원소는 아이디얼(ideal) ${\mathfrak {N}}$ 을 형성합니다; 이것은 이항 정리(binomial theorem)의 결과입니다. 이 아이디얼은 링의 닐래디컬(nilradical)입니다. 교환 링에서 모든 각 거듭제곱영 원소 $x$ 는 해당 링의 모든 각 소수 아이디얼(prime ideal) ${\mathfrak {p}}$ 에 포함되는데, 왜냐하면 $x^{n}=0\in {\mathfrak {p}}$ 이기 때문입니다. 따라서 ${\mathfrak {N}}$ 는 모든 소수 아이디얼의 교집합에 포함됩니다.

만약 $x$ 가 거듭제곱영이 아니면, 우리는 비-영 링 $S^{-1}R$ 을 얻기 위해 $x$ 의 거듭제곱: $S=\{1,x,x^{2},...\}$ 에 관해 지역화(localize)할 수 있습니다. 지역화된 링의 소수 아이디얼은 ${\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset$ 을 갖는 $R$ 의 그들 소수 아이디얼 ${\mathfrak {p}}$ 에 정확하게 해당합니다.^[2] 모든 각 비-영 교환 링이 최대 아이디얼을 가지기 때문에, 이것은 소수이며, 모든 각 비-거듭제곱영 $x$ 는 일부 소수 아이디얼에 포함되지 않습니다. 따라서 ${\mathfrak {N}}$ 는 모든 소수 아이디얼의 정확하게 교집합입니다.^[3]

제이콥슨 래디컬(Jacobson radical)의 특성과 단순 모듈의 소멸과 유사한 특성이 닐래디컬에 사용할 수 있습니다: 링 R의 거듭제곱영 원소는 정확하게 링 R에 내부적인 모든 정수 도메인을 소멸시키는 (즉, 소수 아이디얼 I에 대해 형식 R/I의) 원소입니다. 이것은 닐래디컬이 모든 소수 아이디얼의 교집합이라는 사실에서 비롯됩니다.

Nilpotent elements in Lie algebra

${\mathfrak {g}}$ 를 리 대수(Lie algebra)로 놓습니다. 그런-다음 ${\mathfrak {g}}$ 의 원소는 만약 그것이 $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ 안에 있고 $\operatorname {ad} x$ 가 거듭제곱영 변환이면 거듭제곱영이라고 불립니다. 역시: Jordan decomposition in a Lie algebra를 참조하십시오.

Nilpotency in physics

유한 차원 공간에서 사다리 연산자(ladder operator)는 거듭제곱영입니다. 그것들은 예를 들어 파울리 행렬(Pauli matrices) $\sigma _{\pm }=(\sigma _{x}\pm i\sigma _{y})/2$ 을 높이고 낮추는 것과 같은 한 상태에서 또 다른 상태로 변환하는 생성과 소멸 연산자(creation and annihilation operators)를 나타냅니다.

Q² = 0를 만족시키는 피연산자(operand) Q는 거듭제곱영입니다. 페르미온 필드에 대해 경로 적분(path integral) 표시를 허용하는 그라스만 숫자(Grassmann number)는 그것들의 제곱이 사라지기 때문에 거듭제곱영입니다. BRST 전하(BRST charge)는 물리학(physics)에서 중요한 예제입니다.

선형 연산자는 결합 대수와 따라서 링을 형성하기 때문에, 이것은 초기 정의의 특별한 경우입니다.^[4]^[5] 보다 일반적으로, 위의 정의의 관점에서, 연산자 Q는 만약 Qⁿ = 0 (영 함수(zero function))를 만족하는 n ∈ N이 있으면 거듭제곱영입니다. 따라서, 선형 맵(linear map)이 거듭제곱영인 것과 그것이 일부 기저에서 거듭제곱영 행렬을 가지는 것은 필요충분(iff) 조건입니다. 이에 대한 또 다른 예제는 (다시 n = 2를 갖는) 외부 도함수(exterior derivative)입니다. 에드워드 위튼(Edward Witten)에 의한 저명한 기사에서 보여준 것처럼 둘 다는 초월대칭(supersymmetry)과 모스 이론(Morse theory)을^[6] 통해 연결됩니다.^[7]

원천없이 평면 파동의 전자기 필드(electromagnetic field)는 그것이 물리적 공간의 대수(algebra of physical space)의 관점에서 표현될 때 거듭제곱영입니다.^[8] 더 일반적으로, 정리를 유도하기 위해 사용되는 미세덧셈성의 기법은 거듭제곱영 또는 제곱영 무한소의 사용을 만들고, 부분적으로 매끄러운 무한소 해석(smooth infinitesimal analysis)입니다.

Algebraic nilpotents

이-차원 이중 숫자(dual number)는 거듭제곱 공간을 포함합니다. 거듭제곱영 공간을 포함하는 다른 대수와 숫자는 분할-쿼터니언(split-quaternions) (coquaternions), 분할-옥토니언(split-octonions), 이중쿼터니언(biquaternions) $\mathbb {C} \otimes \mathbb {H}$ , 및 복소 옥토니언(octonions)을 포함됩니다.

References

^ Polcino Milies & Sehgal (2002), An Introduction to Group Rings. p. 127.
^ Matsumura, Hideyuki (1970). "Chapter 1: Elementary Results". Commutative Algebra. W. A. Benjamin. p. 6. ISBN 978-0-805-37025-6.
^ Atiyah, M. F.; MacDonald, I. G. (February 21, 1994). "Chapter 1: Rings and Ideals". Introduction to Commutative Algebra. Westview Press. p. 5. ISBN 978-0-201-40751-8.
^ Peirce, B. Linear Associative Algebra. 1870.
^ Polcino Milies, César; Sehgal, Sudarshan K. An introduction to group rings. Algebras and applications, Volume 1. Springer, 2002. ISBN 978-1-4020-0238-0
^ A. Rogers, The topological particle and Morse theory, Class. Quantum Grav. 17:3703–3714, 2000 doi:10.1088/0264-9381/17/18/309.
^ E Witten, Supersymmetry and Morse theory. J.Diff.Geom.17:661–692,1982.
^ Rowlands, P. Zero to Infinity: The Foundations of Physics, London, World Scientific 2007, ISBN 978-981-270-914-1

[1] Polcino Milies & Sehgal (2002), An Introduction to Group Rings. p. 127.

[2] Matsumura, Hideyuki (1970). "Chapter 1: Elementary Results". Commutative Algebra. W. A. Benjamin. p. 6. ISBN 978-0-805-37025-6.

[3] Atiyah, M. F.; MacDonald, I. G. (February 21, 1994). "Chapter 1: Rings and Ideals". Introduction to Commutative Algebra. Westview Press. p. 5. ISBN 978-0-201-40751-8.

[4] Peirce, B. Linear Associative Algebra. 1870.

[5] Polcino Milies, César; Sehgal, Sudarshan K. An introduction to group rings. Algebras and applications, Volume 1. Springer, 2002. ISBN 978-1-4020-0238-0

[6] A. Rogers, The topological particle and Morse theory, Class. Quantum Grav. 17:3703–3714, 2000 doi:10.1088/0264-9381/17/18/309.

[7] E Witten, Supersymmetry and Morse theory. J.Diff.Geom.17:661–692,1982.

[8] Rowlands, P. Zero to Infinity: The Foundations of Physics, London, World Scientific 2007, ISBN 978-981-270-914-1

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