Nonelementary integral

수학(mathematics)에서, 주어진 기본 함수의 비기본 역도함수는 자체로 기본 함수 (즉, 필드(field) 연산을 사용하여, 상수(constant), 대수(algebraic), 지수(exponential), 삼각(trigonometric), 및 로그(logarithmic) 함수의 유한 숫자의 몫으로 구성된 함수(function))가 아닌 역도함수(antiderivative) (또는 부정적분)입니다.^[1] 1835년 리우빌에 의한 정리는 비기본 역도함수가 존재한다는 첫 번째 증명을 제공했습니다.^[2] 이 정리는 역시 기본 함수가 기본 역도함수를 가지는 (어려움과 함께) 결정을 위한 리시 알고리듬(Risch algorithm)의 기초를 제공합니다.

Examples

비기본 역도함수를 갖는 함수의 예제는 다음을 포함합니다:

${\sqrt {1-x^{4}}}$ ^[1] (타원 적분(elliptic integral))
${\frac {1}{\ln x}}$ ^[3] (로그 적분(logarithmic integral))
$e^{-x^{2}}$ ^[1] (오차 함수(error function), 가우스 적분(Gaussian integral))
$\sin(x^{2})$ 와 $\cos(x^{2})$ (프레넬 적분(Fresnel integral))
${\frac {\sin(x)}{x}}=\operatorname {sinc} (x)$ (사인 적분(sine integral), 디리클레 적분(Dirichlet integral))
${\frac {e^{-x}}{x}}$ (지수 적분(exponential integral))
$e^{e^{x}}\,$ (지수 적분의 항으로)
$\ln(\ln x)\,$ (로그 적분의 항으로)
${x^{c-1}}e^{-x}$ (불완전 감마 함수(incomplete gamma function)); c = 0에 대해, 그 역도함수는 지수 적분의 항으로 쓸 수 있습니다; c = 1/2에 대해, 오차 함수의 항으로; c = 임의의 양의 정수에 대해, 그 역도함수는 기본입니다.

일부 공통적인 비기본 역도함수는 이름이 지정되어, 소-위 특수 함수(special functions)를 정의하고, 이들 새로운 함수를 포함하는 공식은 더 큰 클래스의 비-기본 역도함수를 표현할 수 있습니다. 위의 예제는 괄호 안에 해당하는 특수 함수의 이름을 지정합니다.

Properties

비기본 역도함수는 종종 테일러 급수(Taylor series)를 사용하여 평가될 수 있습니다. 심지어 함수가 기본 역도함수를 가지지 않더라도, 그것의 테일러 급수는 항상 다항식과 같이 항별로 적분될 수 있으며, 같은 수렴의 반지름(radius of convergence)을 갖는 테일러 급수로 역도함수 함수를 제공합니다. 어쨌든, 심지어 피적분이 수렴 테일러 급수를 가지더라도, 그것의 계수의 수열은 종종 기본 공식을 가지지 않고 적분 테일러 급수에 대해 같은 제한을 갖는 항별로 평가되어야 합니다.

심지어 기본 용어에서 부정 적분 (역도함수)을 평가하는 것이 가능하지 않더라도, 우리는 항상 수치 적분(numerical integration)에 의해 해당하는 한정 적분(definite integral)을 근사할 수 있습니다. 기본 역도함수가 없지만, 특정 한정 적분 (종종 무경계진 구간(unbounded intervals)에 걸쳐 부적절한 적분(improper integral))이 기본 용어로 평가될 수 있는 경우도 있습니다: 가장 유명한 것은 가우스 적분(Gaussian integral) ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}}$ 입니다.

기본 함수의 집합의 적분 아래에서 클로저는 리우빌 함수(Liouvillian function)의 집합입니다.

References

^ ^a ^b ^c Weisstein, Eric W. "Elementary Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ElementaryFunction.html From MathWorld Accessed 24 Apr 2017.
^ Dunham, William (2005). The Calculus Gallery. Princeton. p. 119. ISBN 978-0-691-13626-4.
^ Impossibility theorems for elementary integration; Brian Conrad. Clay Mathematics Institute: 2005 Academy Colloquium Series. Accessed 14 Jul 2014.

Integration of Nonelementary Functions, S.O.S MATHematics.com; accessed 7 Dec 2012.

Nonelementary integral

Examples

Properties

See also

References

Further reading