Semi-differentiability

수학(mathematics)의 한 분야, 미적분학(calculus)에서, 실수 변수의 실수(real)-값 함수(function) f의 한-쪽 미분가능성(one-sided differentiability)과 반-미분 가능성(semi-differentiability)의 개념은 미분 가능성(differentiability)보다 약합니다. 특히, 함수 f는, 만약, 대략 말해서, 도함수(derivative)는 값 a로부터 오른쪽 (증가)으로 이동함에 따라 함수의 인수 x에 의해 정의될 수 있으면, 점 a에서 오른쪽 미분-가능(right differentiable), 만약 도함수가 a로부터 왼쪽으로 이동하는 x에 의해 정의될 수 있으면, a에서 왼쪽 미분-가능(left differentiable)이라고 말합니다.

One-dimensional case

This function does not have a derivative at the marked point, as the function is not continuous there. However, it has a right derivative at all points, with $\partial _{+}f(a)$ constantly equal to 0.

수학(mathematics)에서, 왼쪽-도함수와 오른쪽 도함수는 함수의 인수에 의해 오직 한 방향 (왼쪽 또는 오른쪽; 즉, 낮은 또는 높은 값)에서 이동에 대해 정의된 도함수(derivative) (함수의 변화율)입니다.

Definitions

f는 실수의 부분-집합 I에 정의된 실수-값 함수를 나타내는 것으로 놓습니다.

만약 $a \in I$ 가 $I \cap$ $[a,\infty)$ 의 극한 점(limit point)이고 한-쪽 극한(one-sided limit)

\partial _{+}f(a):=\lim _{\scriptstyle x\to a^{+} \atop \scriptstyle x\in I}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}

이 실수로 존재하면, f는 a에서 오른쪽 미분-가능으로 불리고 극한 ∂₊f(a)은 a에서 f의 오른쪽 도함수로 불립니다.

만약 $a \in I$ 가 $I \cap$ $(-\infty, a]$ 의 극한 점이고 한-쪽 극한

\partial _{-}f(a):=\lim _{\scriptstyle x\to a^{-} \atop \scriptstyle x\in I}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}

이 실수로 존재하면, f는 a에서 왼쪽 미분-가능으로 불리고 극한 ∂_–f(a)은 a에서 f의 왼쪽 도함수로 불립니다.

만약 $a \in I$ 가 $I \cap$ $[a,\infty)$ 의 극한 점이고 $I \cap (-\infty, a]$ 이면 및 만약 f가 a에서 왼쪽 및 오른쪽 미분-가능이면, f는 a에서 반-미분가능으로 불립니다.

만약 왼쪽 및 오른쪽 도함수가 같으면, 그들이 보통 ("양방향") 도함수와 같은 값을 가집니다. 우리는 대칭 도함수(symmetric derivative)를 역시 정의할 수 있으며, 이것은 (그들이 둘 다 존재할 때) 왼쪽 및 오른쪽 도함수의 산술 평균(arithmetic mean)과 같으므로, 대칭 도함수는 보통 도함수가 존재하지 않을 때 존재할 수 있을 것입니다.^[1]

Remarks and examples

함수가 그의 도메인(domain)의 내부 점(interior point) a에서 미분-가능(differentiable)인 것과 그것이 a에서 반-미분가능이고 왼쪽 도함수가 오른쪽 도함수가 같은 것은 필요충분(if and only if) 조건입니다.
미분-가능이 아닌, 반-미분가능 함수의 예제는 a = 0에서 절댓값(absolute value)입니다.
만약 함수가 점 a에서 반-미분가능히면, 그것이 a에서 연속임을 의미합니다.
지시 함수(indicator function) 1_[0,∞)는 모든 각 실수 a에서 오른쪽 미분-가능이지만, 영에서 불연속입니다 (이 지시 함수는 영에서 왼쪽 미분-가능이 아님에 주목하십시오).

Application

만약 실수 직선의 구간 I 위에 정의된 실수-값, 미분-가능 함수 f가 어디에서난 영 도함수를 가지면, 그것은, 평균-값 정리(mean value theorem)의 적용이 보이는 것처럼, 상수입니다. 미분-가능성의 가정은 f의 연속성과 한-쪽 미분-가능성으로 약화될 수 있습니다. 오른쪽 미분-가능 함수에 대해 버전은 아래에 제공되며, 왼쪽 미분-가능 함수에 대해 버전은 유사합니다.

Theorem — f를 실수 직선의 임의의 구간(interval) I 위에 정의된 실수-값, 연속 함수(continuous function)로 놓습니다. 만약 f가 구간의 상한이 아닌 모든 각 점 $a \in I$ 에서 오른쪽 미분-가능이면 및 만약 이 오른쪽 도함수가 항상 영이면, f는 상수(constant)입니다.

Proof

모순에 의한 증명(proof by contradiction)에 대해, $f (a) \neq f (b)$ 를 만족하는 I에서 $a < b$ 가 존재한다고 가정합니다. 그런-다음

\varepsilon :={\frac {|f(b)-f(a)|}{2(b-a)}}>0.

f의 차이 몫(difference quotient)은 절댓값에서 ε를 초과하는 구간 $(a, b]$ 에서 모든 그들의 x의 하한(infimum)으로 c를 정의하며, 즉,

c=\inf\{\,x\in (a,b]\mid |f(x)-f(a)|>\varepsilon (x-a)\,\}.

f의 연속성으로 인해, $c < b$ 및 $| f (c) - f (a) | = ε (c - a)$ 임을 따릅니다. c에서 f의 오른쪽 도함수는 가정에 의해 영이므로, 구간 $(c, d]$ 의 모든 x에 대해 $| f (x) - f (c) | \leq ε (x - c)$ 을 갖는 구간 $(c, b]$ 에서 d가 존재합니다. 따라서, 삼각형 부등식(triangle inequality)에 의해, $[c, d)$ 에서 모든 x에 대해,

|f(x)-f(a)|\leq |f(x)-f(c)|+|f(c)-f(a)|\leq \varepsilon (x-a)

,

이것은 c의 정의와 모순됩니다.

Differential operators acting to the left or the right

또 다른 공통적인 사용은 중위 표기법(infix notation)에서 이항 연산자(binary operator)로 취급되는 도함수를 설명하는 것이며, 이것에서 도함수는 왼쪽 또는 오른쪽 피-연산자(operand)에 적용되는 것입니다. 이것은, 예를 들어, 푸아송 괄호(Poisson bracket)의 일반화를 정의할 때 유용합니다. 함수 f와 g의 쌍에 대해, 왼쪽 및 오른쪽 도함수는 각각 다음으로 정의됩니다:

f{\stackrel {\leftarrow }{\partial }}_{x}g={\frac {\partial f}{\partial x}}\cdot g

f{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{x}g=f\cdot {\frac {\partial g}{\partial x}}.

괄-호 표기법(bra–ket notation)에서, 도함수 연산자는 정규 도함수로 오른쪽 피-연산자 또는 음의 도함수로 왼쪽 피-연산자로 작용할 수 있습니다.^[2]

Higher-dimensional case

이 위의 정의는 방향 도함수(directional derivative)의 더 약한 버전을 사용하여 Rⁿ의 부분-집합 위에 정의된 실수-값 함수 f로 일반화될 수 있습니다. a를 f의 도메인의 내부 점으로 놓습니다. 그런-다음 f는 만약 모든 각 방향 u ∈ Rⁿ에 대해, 극한

\partial _{u}f(a)=\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {f(a+h\,u)-f(a)}{h}}

이 실수로 존재하면 점 a에서 반-미분가능으로 불립니다.

반-미분가능성은 따라서 가르토 미분-가능성(Gateaux differentiability)보다 더 약하며, 그것에 대해 우리는 위의 극한 h → 0에서 h를 오직 양의 값으로 제한하는 것없이 취합니다.

예를 들어, 함수 $f(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ 는 $(0,0)$ 에서 반-미분가능이자만, 그곳에서 가르토 미분-가능은 아닙니다.

(이 일반화는 n = 1에 대해 원래 정의와 동등하지 않은데 왜냐하면 한-쪽 극한 점의 개념은 내부 점의 더 강한 개념으로 대체되기 때문임에 주목하십시오.)

Properties

Rⁿ의 볼록한 열린 부분-집합(open subset)에 대한 임의의 볼록 함수(convex function)는 반-미분가능입니다.
한 변수의 모든 각 반-미분가능 함수는 연속적이지만; 이것은 여러 변수에 대해 더 이상 참이 않습니다.

Generalization

실수-값 함수 대신에, 우리는 Rⁿ 또는 바나흐 공간(Banach space)에서 값을 취하는 함수를 고려할 수 있습니다.

References

^ Peter R. Mercer (2014). More Calculus of a Single Variable. Springer. p. 173. ISBN 978-1-4939-1926-0.
^ Dirac, Paul (1982) [1930]. The Principles of Quantum Mechanics. USA: Oxford University Press. ISBN 978-0198520115.

Preda, V.; Chiţescu, I. (1999). "On Constraint Qualification in Multiobjective Optimization Problems: Semidifferentiable Case". J. Optim. Theory Appl. 100 (2): 417–433. doi:10.1023/A:1021794505701.

[Mercer2014-1] Peter R. Mercer (2014). More Calculus of a Single Variable. Springer. p. 173. ISBN 978-1-4939-1926-0.

[2] Dirac, Paul (1982) [1930]. The Principles of Quantum Mechanics. USA: Oxford University Press. ISBN 978-0198520115.

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