Operational calculus

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연산적 미적분학(operational calculus)은, 연산적 해석학(operational analysis)이라고 역시 알려져 있으며, 해석학(analysis)에서 문제에 의한 기술이며, 특히 미분 방정식(differential equation)은 대수적 문제, 보통 다항 방정식(polynomial equation)을 푸는 문제로 변환됩니다.

History

연산자로 미적분의 과정, 미분화와 적분화를 표현하는 아이디어는 고트프리트 빌헬름 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz)로 거슬러 올라가는 오랜 역사를 가지고 있습니다. 수학자 루이 프랑수아 앙투안 아르보가(Louis François Antoine Arbogast)는 이들 기호를 그것들이 적용되는 함수와 독립적으로 조작한 최초의 사람 중 한 명이었습니다.

이 접근 방식은 편리한 표기법을 개발했던 프랑소와-조제프 세르보와(Francois-Joseph Servois)에 의해 더욱 발전되었습니다. 세르보와의 뒤를 이어 Charles James Hargreave, George Boole, Bownin, Carmichael, Doukin, Graves, Murphy, William Spottiswoode, 및 Sylvester를 포함한 영국과 아일랜드 수학자 학파가 있습니다.

보통의 미분 방정식과 부분 미분 방정식에 대한 연산자 방법의 적용을 설명하는 논문은 1855년 Robert Bell Carmichael과 1859년 Boole에 의해 작성되었습니다.

이 기술은 1893년 물리학자 올리버 헤비사이드(Oliver Heaviside)에 의해 그의 연구 전보(telegraphy)와 관련하여 완전히 개발했습니다.

그의 회로 연구 이면에 있는 물리학 위의 그의 풍부한 지식과 직관에 크게 이끌려, [헤비사이드]는 현재 그의 이름으로 여겨지는 연산적 미적분학을 개발했습니다.

그 당시에, 헤비사이드의 방법은 엄격하지 않았고, 그의 연구는 수학자에 의해 더 이상 발전되지 않았습니다. 연산적 미적분학은 1910년 이후 Ernst Julius Berg, John Renshaw Carson, 및 Vannevar Bush의 충동에 따라 전기 공학 문제에서 선형 회로의 과도-현상 계산에 대한 응용을 처음 발견했습니다.

헤비사이드의 연산적 방법에 대한 엄격한 수학적 정당화는 연산적 미적분을 라플라스 변환(Laplace transformation) 방법과 연관시킨 Bromwich의 연구 이후에만 나왔습니다 (자세한 설명에 대해, Jeffreys, Carslaw, 또는 MacLachlan에 의한 책 참조하십시오). 헤비사이드의 연산적 방법을 정당화하는 다른 방법은 1920년대 중반에 적분 방정식(integral equation) 기술 (Carson에 의해 수행됨) 또는 푸리에 변환(Fourier transformation) (Norbert Wiener에 의해 수행됨)을 사용하여 도입되었습니다.

연산적 미적분에 대한 다른 접근 방식은 1930년대 폴란드 수학자 Jan Mikusiński에 의한 대수적 추론을 사용하여 개발되었습니다.

Norbert Wiener는 1926년 연산적 미적분학의 실존적 상태를 검토하면서 연산자 이론(operator theory)에 대한 토대를 마련했습니다:

헤비사이드의 뛰어난 연구는 수학적 엄밀함에 대한 가식조차 없는 순수하게 발견적입니다. 그것의 연산자는 불연속적일 수 있고 확실히 해석적일 필요도 없는 전압과 전류에 적용됩니다. 예를 들어, 그가 연산자를 시험해 볼 때 가장 좋아하는 corpus vile는 원점의 왼쪽에서 사라지고 오른쪽으로 1인 함수(function)입니다. 이것은 Pincherle의 방법의 임의의 직접 응용을 제외합니다…

비록 헤비사이드의 발전이 현재의 순수하게 수학적 연산자 이론으로 정당화되지는 않았지만, 우리가 그 타당성에 대한 실험적 증거라고 부를 수 있는 많은 것이 있고, 그것들은 전기 공학자에게 매우 가치가 있습니다. 어쨌든 모호하거나 모순된 결과를 초래하는 경우가 있습니다.

Principle

연산적 미적분학의 핵심 요소는 함수(functions)에 작용하는 연산자(operator) p = d/dt로 미분(differentiation)을 고려하는 것입니다. 선형 미분 방정식은 그때에 알려진 함수와 같은 알려지지 않은 함수에 작용하는 연산자 p의 "함수들" F(p)의 형식으로 재구성될 수 있습니다. 여기서 F는 연산자 p를 취하고 또 다른 연산자 F(p)를 반환하는 어떤 것을 정의하는 것입니다. 해는 그런-다음 F의 역 연산자가 알려진 함수에 작용하게 만듦으로써 얻습니다. 연산적 미적분학은 일반적으로 연산자 p와 단위 함수(unit function) 1의 두 가지 기호에 의해 대표됩니다. 사용 중인 연산자는 아마도 물리적인 것보다 더 수학적이고, 단위 함수는 수학적인 것보다 더 물리적일 것입니다. 헤비사이드 미적분학에서 연산자 p는 처음에 시간 미분-요소 d/dt를 나타내는 것입니다. 게다가, 이 연산자는 p⁻¹가 적분의 연산을 나타냄을 만족하는 역수 관계를 갖는 것이 바람직합니다.

전기 회로 이론에서, 우리는 임펄스에 대한 전기 회로(electrical circuit)의 응답을 결정하려고 합니다. 선형성으로 인해, 단위 계단(unit step)을 고려하는 것으로 충분합니다:

헤비사이드 계단 함수(Heaviside step function): H(t) such that H(t) = 0 if t < 0 and H(t) = 1 if t > 0.

연산적 미적분을 적용하는 가장 간단한 예는 다음을 푸는 것입니다: p y = H(t), 이는 다음을 제공합니다:

$y=\operatorname {p} ^{-1}H=\int _{0}^{t}H(u)\,du=t\ H(t)$.

이 예제에서, $\operatorname {p} ^{-1}$는 적분(integration)을 나타냄을 알 수 있습니다. 게다가 n 반복된 적분은 다음이 되도록 $\operatorname {p} ^{-n}$에 의해 표현됩니다:

$\operatorname {p} ^{-n}H(t)={\frac {t^{n}}{n!}}H(t).$

계속해서 p를 하나의 변수처럼 취급하여,

${\frac {\operatorname {p} }{\operatorname {p} -a}}H(t)={\frac {1}{1-{\frac {a}{\operatorname {p} }}}}\ H(t),$

이는 기하 급수(geometric series) 표현을 사용함으로써 다시 쓸 수 있습니다, $${\frac {1}{1-{\frac {a}{\operatorname {p} }}}}H(t)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\operatorname {p} ^{-n}H(t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{n}t^{n}}{n!}}H(t)=e^{at}H(t).$$

부분 분수(partial fraction) 분해를 사용하여, 연산자 p에서 임의의 분수를 정의하고 H(t) 위에 그것의 동작을 계산할 수 있습니다. 게다가, 만약 함수 1/F(p)이 다음 형식의 급수 전개를 가지면,

${\frac {1}{\ F(\operatorname {p} )\ }}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\operatorname {p} ^{-n},$

다음을 쉽게 찾을 수 있습니다:

${\frac {1}{F(\operatorname {p} )}}H(t)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}H(t).$

이 규칙을 적용하면, 임의의 선형 미분 방정식을 푸는 것이 순수하게 대수적 문제로 축소됩니다.

헤비사이드는 더 나아가 p의 분수 거듭제곱을 정의하고, 따라서 연산적 미적분과 분수적 미적분(fractional calculus) 사이의 연결을 설정했습니다.

테일러 전개(Taylor expansion)를 사용하여, 라그랑주-부울 변환 공식(translation formula), e^{a p} f(t) = f(t + a)도 확인할 수 있으므로, 연산적 미적분은 유한 차이 방정식(difference equations)과 지연된 신호를 갖는 전기 공학 문제에도 적용할 수 있습니다.

References

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• O. Heaviside (1892) Electrical Papers, London
• O. Heaviside (1893, 1899, 1902) Electromagnetic Theory, London
• O. Heaviside (1893) Proc. Roy. Soc. (London) 52: 504-529, 54: 105-143 (1894)
• J. R. Carson (1926) Bull. Amer. Math. Soc. 32, 43.
• J. R. Carson (1926) Electric Circuit Theory and the Operational Calculus, (McGraw Hill).
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• H. W. March (1927) Bull. Amer. Math. Soc. 33, 311, 33, 492 .
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• Vannevar Bush (1929) Operational Circuit Analysis with an appendix by Norbert Wiener, John Wiley & Sons
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• Balthasar van der Pol & H. Bremmer (1950) Operational calculus Cambridge University Press
• B. van der Pol (1950) "Heaviside's Operational Calculus" in Heaviside Centenary Volume by the Institute of Electrical Engineers
• R. V. Churchill (1958) Operational Mathematics McGraw-Hill
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• James B. Calvert (2002) Heaviside, Laplace, and the Inversion Integral, from University of Denver.

External links

• IV Lindell HEAVISIDE OPERATIONAL RULES APPLICABLE TO ELECTROMAGNETIC PROBLEMS
• Ron Doerfler Heaviside's Calculus
• Jack Crenshaw essay showing use of operators More On the Rosetta Stone