Ordinal number

집합 이론(set theory)에서, 순서-숫자(ordinal number, 또는 ordinal)는 열거(enumeration)를 무한 집합(infinite sets)으로 확장하는 것을 목표로 하는 순서-숫자 숫자-표시(ordinal numerals) (첫 번째, 두 번째, $n$ 번째 등)의 일반화입니다.^[1]

유한 집합은 이전에 사용되지 않은 최소 자연수(natural number)로 각 원소에 연속적으로 레이블을 지정함으로써 열거될 수 있습니다. 이 과정을 다양한 무한 집합으로 확장하기 위해, 순서-숫자는 더 일반적으로 자연수를 포함하는 선형으로 순서화된(linearly ordered) 레이블로 정의되고 모든 각 순서-숫자의 집합이 최소 원소를 가진다는 속성을 가집니다 (이것은 "최소 사용되지 않는 원소"에 의미를 부여하기 위해 필요합니다).^[2] 이 보다 일반적인 정의를 통해 $\omega$ 보다 훨씬 큰 순서-숫자 $\omega +1$ , $\omega +2$ , 등과 함께 모든 각 자연수보다 큰 서수 $\omega$ 를 정의할 수 있습니다.

모든 각 부분-집합이 최소 원소를 가지는 선형 순서는 바른-순서(well-order)라고 불립니다. 선택의 공리(axiom of choice)는 모든 각 집합이 바른-순서화될 수 있고, 두 개의 바른-순서화된 집합이 주어지면, 하나는 다른 하나의 초기 세그먼트(initial segment)에 동형적(isomorphic)이라는 것을 의미합니다. 따라서, 순서-숫자는 존재하고, 본질적으로 고유합니다.

순서-숫자는 집합의 크기를 측정하는 세는-숫자(cardinal numbers)와 다릅니다. 순서-숫자와 세는-숫자 사이의 구별이 유한 집합에서 항상 명확한 것은 아니지만 (레이블을 세는 것만으로 하나에서 다른 것으로 갈 수 있음), 그것들은 무한의 경우에는 매우 다르며, 여기서 다른 무한 순서-숫자가 같은 세는-숫자를 가지는 집합에 해당할 수 있습니다 . 다른 종류의 숫자와 마찬가지로, 세는-숫자를 더하고, 곱하고, 지수화할 수 있지만, 이것들의 어떤 것도 교환적이 아닙니다.

순서-숫자는 1883년^[3] Georg Cantor에 의해 삼각 급수(trigonometric series)의 고유성을 연구하면서 이전에 1872년에 도입했던 무한 수열을 수용하고 유도된 집합(derived sets)을 분류하기 위해 도입되었습니다.^[3]

Ordinals extend the natural numbers

자연수(natural number) (이 문맥에서 숫자 0을 포함함)는 집합(set)의 크기를 설명하기 위해, 또는 수열에서 원소의 위치를 설명하기 위한 두 가지 목적으로 사용될 수 있습니다. 유한 집합으로 제한될 때, 유한 집합의 모든 선형 순서(linear orders)가 동형적(isomorphic)이기 때문에 이들 두 개념이 일치합니다.

무한 집합을 다룰 때, 어쨌든, 세는-숫자(cardinal numbers)로 이어지는 크기 개념과 여기에 설명된 순서-숫자로 이어지는 위치의 개념 사이를 구별해야 합니다. 이것은 임의의 집합이 하나의 크기 (그것의 카디널리티)만 가지지만 아래에 설명된 것처럼 임의의 무한 집합의 많은 비-동형적 바른-순서화(well-orderings)가 있기 때문입니다.

세는-숫자의 개념이 그것 위에 특별한 구조를 가지지 않은 집합과 관련되어 있는 반면, 순서-숫자는 바른-순서화된(well-ordered) 것이라고 불리는 특수한 종류의 집합과 밀접하게 연결되어 있습니다. 바른-순서화된 집합은 모든 각 비-빈 부분-집합이 최소 원소를 가지는 전체 순서화된(totally ordered) 집합입니다 (전체 순서화된 집합은 두 개의 구별되는 원소가 주어지면, 하나가 다른 것보다 작음을 만족하는 순서화된 집합입니다). 종속 선택의 공리(axiom of dependent choice)를 동등하게 가정하면, 그것은 무한 증가하는 수열이 있을 수 있지만 임의의 무한 감소하는 수열 없이 전체 순서화된 집합입니다. 순서-숫자는 임의의 주어진 바른-순서화된 집합의 원소에 레이블을 지정하기 위해 사용될 수 있습니다 (가장 작은 원소는 0으로 레이블이 지정되고, 다음 하나는 1, 다음 하나는 2, "이런 식으로 계속됩니다"), 그리고 그 집합의 원소에 대해 레이블이 아닌 최소 순서-숫자에 의해 전체 집합의 "길이"를 측정하기 위해 사용될 수 있습니다. 이 "길이"는 집합의 순서 유형(order type)이라고 불립니다.

임의의 순서-숫자는 그것 앞에 오는 순서-숫자의 집합에 의해 정의됩니다. 사실, 순서-숫자의 가장 공통적인 정의는 각 순서-숫자를 그것 앞에 오는 순서-숫자의 집합으로 식별합니다. 예를 들어, 순서-숫자 42는 일반적으로 집합 {0, 1, 2, …, 41}로 식별됩니다. 역으로, 아래로 닫힌(downward closed) 순서-숫자의 임의의 집합 S는 — S에서 임의의 순서-숫자 α와 임의의 순서-숫자 β < α에 대해, β도 역시 S에 있음을 의미함 — 순서-숫자입니다 (또는 순서-숫자로 식별될 수 있습니다).

집합의 관점에서 순서-숫자의 이러한 정의는 무한 순서-숫자를 허용합니다. 가장 작은 무한 순서-숫자는 $\omega$ 이며, 이는 (모든 각 자연수와 관련된 순서-숫자가 $\omega$ 앞에 오도록) 자연수 집합으로 식별될 수 있습니다. 실제로, 자연수의 집합은 임의의 순서-숫자의 집합에서 처럼 바른-순서화된 것이고 그것이 아래로 닫혀 있기 때문에, 그것과 결합된 순서-숫자로 식별될 수 있습니다.

아마도 순서-숫자의 더 명확한 직관은 그것들의 처음 몇 개를 조사함으로써 형성될 수 있습니다: 위에서 언급한 바와 같이, 그것들은 자연수, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …로 시작합니다. 모든 자연수 뒤에는 첫 번째 무한 순서-숫자 ω가 오고, 그 다음에 ω+1, ω+2, ω+3, 등이 옵니다. (정확한 덧셈의 의미는 나중에 정의될 것입니다: 그냥 그것들을 이름으로 생각해 보십시오.) 이들 모든 후에 ω·2 (이는 ω+ω), ω·2+1, ω·2+2 등이 오고, 그런 다음 ω·3, 나중에 ω·4가 옵니다. 이제 이러한 방법에서 형성된 순서-숫자의 집합 (ω·m+n, 여기서 m과 n은 자연수)은 그것과 결합된 순서-숫자를 가져야 합니다. 즉, ω²입니다. 더 나아가서, ω³, 그런-다음 ω⁴, 등이 있고, 그런-다음, ω^ω, 그런-다음 ω^{ω^ω}, 그 뒤에 ω^{ω^{ω^ω}}, 그리고 심지어 나중에 ε₀ (엡실론 영(epsilon nought)) (상대적으로 작은—셀-수-있는—순서-숫자의 몇 가지 예를 제공하기 위해)이 있을 것입니다. 이것은 무한정으로 계속될 수 있습니다 (순서-숫자를 열거할 때 "등"이라고 말할 때마다 더 큰 서수를 정의합니다). 가장 작은 셀-수-없는(uncountable) 순서-숫자는 모든 셀-수-있는 순서-숫자의 집합이며, ω₁ 또는 $\Omega$ 로 표현됩니다.^[4]^[5]

Definitions

Well-ordered sets

바른-순서화된(well-ordered) 집합에서, 모든 각 비-빈 부분-집합은 구별되는 가장 작은 원소를 포함합니다. 종속 선택의 공리(axiom of dependent choice)가 주어지면, 이것은 집합이 전체 순서화된(totally ordered) 것이고 무한 감소하는 수열이 없다고 말하는 것과 동등합니다 (후자는 시각화하기 더 쉽습니다). 실제로, 바른-순서화의 중요성은 초월-유한 귀납법(transfinite induction)을 적용할 가능성에 의해 정당화되며, 이는, 본질적으로, 원소의 선행자에서 해당 원소 자체로 전달되는 임의의 속성은 (주어진 바른-순서화된 집합의) 모든 원소에 대해 참이어야 한다고 말합니다. 만약 계산의 상태 (컴퓨터 프로그램 또는 게임)가 바른-순서화될 수 있다면—각 단계 뒤에 "낮은" 단계가 따라오는 방법으로—그 계산이 종료될 것입니다.

두 개의 바른-순서화된 집합을 만약 그것들이 "그들 원소의 레이블 지정"에서만 다르면 구별하는 것이 부적절합니다. 또는 보다 형식적으로: 첫 번째 집합의 원소가 한 요소가 만약 하나의 원소가 첫 번째 집합에서 또 다른 원소보다 작으면, 첫 번째 원소의 파트너는 두 번째 집합에서 두 번째 요소의 파트너보다 작고, 그 반대도 마찬가지임을 만족하는 두 번째 집합의 원소와 쌍을 이룰 수 있습니다. 그러한 일-대-일 대응은 순서 동형(order isomorphism)이라고 불리고, 두 개의 바른-순서화된 집합은 순서-동형적 또는 (이것이 동치 관계(equivalence relation)라는 이해와 함께) 닮은(similar) 것이라고 말합니다.

형식적으로, 부분 순서(partial order) ≤가 집합 S 위에 정의되고, 부분 차수 ≤'가 집합 S' 위에 정의되면, 포셋(posets) (S,≤)와 (S' ,≤')는 순서화를 보존하는 전단사(bijection) f가 있으면 순서 동형적(order isomorphic)입니다. 즉, f(a) ≤' f(b)인 것과 a ≤ b인 것은 필요충분 조건입니다. 두 개의 바른-순서화된 집합 사이에 순서 동형이 존재하는 조건 아래에서, 순수 동형은 고유합니다: 이것은 두 집합을 본질적으로 동일한 것으로 고려하고, 동형 유형 (클래스)의 "정식의" 대표"를 찾는 것을 상당히 정당화합니다. 이것이 바로 순서-숫자가 제공하는 것이고, 임의의 바른-순서화된 집합의 원소에 대한 정식의 레이블-지정도 제공합니다. 모든 각 바른-순서화된 집합 (S,<)은 자연스러운 순서화 아래에서 하나의 특정 순서-숫자보다 작은 순서-숫자의 집합에 순서-동형적입니다. 이 정식의 집합은 (S,<)의 순서 유형입니다.

본질적으로, 순서-숫자는 바른-순서화된 집합의 동형 클래스(isomorphism class): 즉, "순서-동형적임"의 동치 관계(equivalence relation)에 대해 동치 클래스(equivalence class)로 정의되도록 의도됩니다. 어쨌든, 동치 클래스가 집합 이론의 보통의 체르멜로-프렝켈(Zermelo–Fraenkel, ZF) 형식화에서 집합에 너무 크다는 사실과 관련된 기술적인 어려움이 있습니다. 그러나 이것은 심각한 어려움이 아닙니다. 순서-숫자는 클래스에 있는 임의의 집합의 순서 유형(order type)이라고 할 수 있습니다.

Definition of an ordinal as an equivalence class

예를 들어 Principia Mathematica에서 찾을 수 있는 순서-숫자의 원래 정의는 바른-순서화의 순서 유형을 해당 바른-순서화와 닮은 (순서-동형적) 모든 바른-순서화의 집합으로 정의합니다: 다시 말해서, 순서-숫자는 진정으로 바른-순서화된 집합의 동치 클래스입니다. 이 정의는 ZF와 공리적 집합 이론의 관련된 시스템에서는 포기되어야 하는데 왜냐하면 이들 동치 클래스가 집합을 형성하기에 너무 크기 때문입니다. 어쨌든, 이 정의는 여전히 유형 이론과 콰인의 공리적 집합 이론 New Foundations 및 관련된 시스템에서 사용될 수 있습니다 (여기서 가장 큰 순서-숫자의 부랄리-포르티 역설(Burali-Forti paradox)에 대한 다소 놀라운 대안 솔루션을 제공합니다)

Von Neumann definition of ordinals

순서-숫자를 바른-순서화된 집합의 동치 클래스로 정의하는 대신, (정식적으로) 그 클래스를 나타내는 특정 바른-순서화된 집합으로 정의될 것입니다. 따라서, 순서-숫자는 바른-순서화된 집합이 될 것입니다; 그리고 모든 각 바른-순서화된 집합은 정확하게 하나의 순서-숫자에 대해 순서-동형적이 될 것입니다.

각 바른-순서화된 집합 $T$ 에 대해, $a\mapsto T_{<a}$ 는 $T$ 와 포함에 의해 순서화된 $T_{<a}:=\{x\in T\mid x<a\}$ 형식을 가지는 $T$ 의 모든 부분-집합의 집합 사이의 순서 동형(order isomorphism)을 정의합니다. 이것은 19살 나이에 John von Neumann에 의해 제안된 표준 정의에 동기를 부여하며, 현재 폰 노이만 순서-숫자(von Neumann ordinals)라고 불립니다: "각 순서-숫자는 모든 더 작은 순서-숫자의 바른-순서화된 집합입니다." 기호에서, $\lambda =[0,\lambda )$ 입니다. 형식적으로:

집합 S가 순서-숫자인 것과 S가 집합 구성원과 관련하여 엄격하게(strictly) 바른-순서화되고 S의 모든 각 원소도 S의 부분-집합인 것은 필요충분 조건입니다.

자연수는 따라서 이 정의에 따라 순서-숫자입니다. 예를 들어, 2는 4 = {0, 1, 2, 3}의 원소이고, 2는 {0, 1}와 같고 따라서 그것은 {0, 1, 2, 3}의 부분-집합입니다.

모든 각 바른-순서화된 집합은 이들 순서-숫자 중 정확하게 하나에 순서-동형적이며, 즉, 그것들 사이에 순서 보존하는 전단사 함수(bijective function)가 있다는 것을 초월-유한 귀납법(transfinite induction)에 의해 나타낼 수 있습니다.

게다가, 모든 각 순서-숫자의 원소는 순서-숫자 자체입니다. 두 개의 순서-숫자 S와 T가 주어지면, S는 T의 원소인 것과 S가 T의 적절한 부분-집합(proper subset)인 것은 필요충분 조건입니다. 더욱이, S는 T의 원소이거나, T가 S의 원소이거나, 그것들은 같습니다. 따라서 모든 각 순서-숫자의 집합은 전체 순서화된(totally ordered) 것입니다. 나아가서, 모든 각 순서-숫자의 집합은 바른-순서화된 것입니다. 이것은 모든 각 자연수의 집합이 바른-순서화된 것이라는 사실을 일반화합니다.

결과적으로, 모든 각 순서-숫자 S는 정확하게 S보다 작은 순서-숫자를 원소로 가지는 집합입니다. 예를 들어, 모든 각 순서-숫자의 집합은 집합에 있는 모든 순서-숫자의 합집합을 취함으로써 얻은 순서-숫자, 상한(supremum)을 가집니다. 이 합집합은 합집합의 공리(axiom of union)에 의해 집합의 크기에 관계없이 존재합니다.

모든 순서-숫자의 클래스는 집합이 아닙니다. 만약 그것이 집합이면, 그것이 순서-숫자였고 따라서 자신의 구성원임을 보여줄 수 있으며, 이는 구성원에 의한 엄격한 순서화와 모순됩니다. 이것이 부랄리-포르티 역설(Burali-Forti paradox)입니다. 모든 순서-숫자의 클래스는 "Ord", "ON", 또는 "∞"로 다양하게 불립니다.

순서-숫자가 유한인 것과 반대 순서도 바른-순서화된 것은 필요충분 조건이며 이는 그 경우인 것과 그것의 각 비-빈 부분-집합이 최댓값(maximum)을 가진다는 것은 필요충분 조건입니다.

Other definitions

순서-숫자의 정의의 다른 현대적인 형식화가 있습니다. 예를 들어, 정칙성의 공리(axiom of regularity)를 가정하면, 다음은 집합 x에 대해 동등합니다:

x는 (폰 노이만) 순서-숫자입니다,
x는 전이 집합(transitive set)이고, 집합 구성원은 x 위에 삼분법(trichotomous)입니다,
x는 집합 포함에 의해 전체 순서화된(totally ordered) 전이 집합입니다,
x는 전이 집합들의 하나의 전이 집합입니다.

이들 정의는 비-잘-토대된 집합 이론(non-well-founded set theories)에서 사용될 수 없습니다. 원시-원소(urelements)를 갖는 집합 이론에서, 그 정의는 순서-숫자에서 나타나는 것에서 원시-원소를 제외하는지 확인해야 합니다.

Transfinite sequence

만약 α가 임의의 순서-숫자이고 X가 집합이면, X의 원소의 α-인덱스 수열은 α에서 X로의 함수입니다. 이 개념, 초월-유한 수열 (α가 무한대) 또는 순서숫자-인덱스 수열은 수열(sequence)의 개념의 일반화입니다. 보통의 수열은 α = ω의 경우에 해당하고, 반면 유한한 α는 튜플(tuple), 일명 문자열(string)에 해당합니다.

Transfinite induction

초월-유한 귀납법은 바른-순서화된(well-ordered) 집합에서 유지되지만, 순서-숫자와 관련하여 매우 중요하므로 여기에서 다시 언급할 가치가 있습니다.

주어진 순서-숫자 α보다 작은 순서-숫자 집합에서 α 자체로 전달되는 임의의 속성은 모든 순서-숫자에 대해 참입니다.

즉, 만약 P(α)가 모든 β < α에 대해 P(β)가 참일 때마다 참이면, P(α)는 모든 α에 대해 참입니다. 또는 더 실질적으로: 모든 순서-숫자 α에 대한 속성 P를 입증하기 위해, 모든 더 작은 β < α에 대해 이미 알려져 있다고 가정할 수 있습니다.

Transfinite recursion

초월-유한 귀납법은 그것을 입증할 뿐만 아니라 그것을 정의하기 위해서도 사용될 수 있습니다. 그러한 정의는 통상적으로 초월-유한 재귀(transfinite recursion)에 의한 것이라고 말합니다 – 결과가 잘-정의되었다는 증명은 초월-유한 귀납법을 사용합니다. F가 순서-숫자에 정의될 (클래스) 함수 F를 나타낸다고 놓습니다. 그 아이디어는 이제 지정되지 않은 순서-숫자 α에 대해 F(α)를 정의하는 것에서, F(β)가 모든 β < α에 대해 이미 정의되어 있다고 가정할 수 있고 따라서 이러한 이들 F(β)의 관점에서 F(α)에 대해 형식을 제공한다는 것입니다. 그런-다음 α를 포함하고 α까지 재귀 형식을 만족하는 하나와 오직 하나의 함수가 있다는 초월-유한 귀납법이 뒤따릅니다.

다음은 순서-숫자 위에 초월-유한 재귀에 의한 정의의 예시입니다 (자세한 내용은 나중에 제공됩니다): F(α)를 집합 {F(β) | β < α}, 즉, β < α에 대해 모든 F(β)로 구성되는 집합에 없는 가장 작은 순서-숫자가 되게 놓음으로써 함수 F를 정의합니다. 이 정의는 F를 정의하는 바로 그 과정에서 알려진 F(β)를 가정합니다; 이 명백한 악순환은 정확하게 초월-유한 재귀에 의한 정의가 허용하는 것입니다. 사실, F(0)은 순서-숫자 β < 0가 없고, 집합 {F(β) | β < 0}가 빈 것이기 때문에 의미가 있습니다. 따라서 F(0)은 0 (모두의 가장 작은 순서-숫자)과 같습니다. 이제 해당 F(0)가 알려졌으며, F(1)에 적용된 정의가 의미가 있고 (한원소 집합 {F(0)} = {0}에 없는 가장 작은 순서-숫자임), 등입니다 (등입니다는 정확하게 초월유한귀납법입니다). 모든 순서-숫자 α에 대해 F(α) = α가 증명될 수 있기 때문에, 이 예제는 그다지 흥미롭지 않다는 것이 밝혀졌으며, 이는 초월-유한 귀납법에 의해 정확하게 나타낼 수 있습니다.

Successor and limit ordinals

임의의 비-영 순서-숫자는 최소 원소, 영을 가집니다. 그것은 최대 원소를 가질 수도 있고 가지지 않을 수도 있습니다. 예를 들어, 42는 최댓값 41을 가지고 ω+6은 최댓값 ω+5를 가집니다. 다른 한편으로, ω는 최댓값을 가지지 않는데 왜냐하면 가장 큰 자연수가 없기 때문입니다. 만약 순서-숫자가 최댓값 α를 가지면, 그것은 α 뒤의 다음 순서-숫자이고, 그것은 다음수 순서-숫자(successor ordinal)라고 불리며, 즉 α의 다음수이고, α+1로 씁니다. 순서-숫자의 폰 노이만 정의에서, α의 다음수는 $\alpha \cup \{\alpha \}$ 인데 왜냐하면 그것의 원소가 원소가 α와 α 자체의 원소이기 때문입니다.^[6]

다음수가 아닌 비-영 순서-숫자는 극한 순서-숫자(limit ordinal)라고 불립니다. 이 용어에 대한 한 가지 정당성은 극한 서수가 (순서 토폴로지(order topology) 아래에서) 토폴로지적 의미에서 모든 더 작은 순서-숫자의 극한(limit)이라는 것입니다.

$\langle \alpha _{\iota }|\iota <\gamma \rangle$ 가 순서숫자-인덱스 수열이고, 극한 $\gamma$ 에 의해 인덱싱되고 수열이 증가하는 것, 즉 $\iota <\rho$ 일 때마다 $\alpha _{\iota }<\alpha _{\rho }$ 일 때, 그 극한은 집합 $\{\alpha _{\iota }|\iota <\gamma \}$ 의 최소 위쪽 경계, 즉, 수열의 임의의 항보다 큰 가장 작은 순서-숫자 (항상 존재함)입니다. 이러한 의미에서, 극한 순서-숫자는 (자체에 의해 인덱스된) 모든 더 작은 순서-숫자의 극한입니다. 더 직접적으로 말하면, 그것은 더 작은 순서-숫자의 집합의 상한입니다.

극한 순서-숫자를 정의하는 또 다른 방법은 α가 극한 순서-숫자라고 말하는 것과 다음은 필요충분 조건입니다:

α보다 작은 순서-숫자가 있고 ζ가 α보다 작은 순서-숫자일 때마다, ζ < ξ < α를 만족하는 순서-숫자 ξ가 존재합니다.

따라서 다음 수열에서:

0, 1, 2, …, ω, ω+1

ω는 극한 순서-숫자인데 왜냐하면 임의의 더 작은 순서-숫자에 대해 (이 예제에서, 자연수에 대해) 그것보다 큰 또 다른 순서-숫자 (자연수)가 있지만, 여전히 ω보다 작습니다.

따라서, 모든 각 순서-숫자는 영이거나, (잘-정의된 이전수의) 다음수, 또는 극한입니다. 이 구별은 초월-유한 재귀에 의한 많은 정의가 그것에 의존하기 때문에 중요합니다. 매우 자주, 모든 순서-숫자 위에 초월-유한 재귀에 의해 함수 F를 정의할 때, F(α)가 정의된다고 가정하여 F(0)을 정의하고 F(α+1)를 정의하고, 그런-다음, 극한 순서-숫자 δ에 대해 F(δ)를 (이전에 설명한 바와 같이 순서-숫자 극한의 의미에서, 또는 F가 순서-숫자 값을 취하지 않으면 극한의 일부 다른 개념에 대해) 모든 β<δ에 대해 F(β)의 극한으로 정의합니다. 따라서, 정의에서 흥미로운 단계는 극한 순서-숫자가 아니라 다음수 단계입니다. (특히 비-감소하고 순서-숫자 값을 취하는 F에 대해) 그러한 함수가 연속이라고 불립니다. 순서-숫자 덧셈, 곱셈, 및 지수화는 그것들의 두 번째 인수의 함수로 연속적입니다 (그러나 비-재귀적으로 정의될 수 있습니다).

Indexing classes of ordinals

임의의 바른-순서화된 집합은 고유한 순서-숫자 α와 닮았습니다 (순서-동형적입니다); 다시 말해서, 그 원소는 $\alpha$ 보다 작은 순서-숫자에 의해 증가하는 방식으로 인덱싱될 수 있습니다. 이것은 특히 임의의 순서-숫자의 집합에 적용됩니다: 임의의 순서-숫자의 집합은 일부 $\alpha$ 보다 작은 순서-숫자에 의해 자연스럽게 인덱싱됩니다. 같은 것은, 약간의 수정과 함께, 순서-숫자의 클래스 (순서-숫자의 모음, 일부 속성에 의해 정의된 집합을 형성하기에는 너무 클 수 있음)에 대해 유지됩니다: 임의의 순서-숫자의 클래스는 순서-숫자에 의해 인덱싱될 수 있습니다 (그리고 그 클래스가 모든 순서-숫자의 클래스에서 무경계일 때, 이것은 모든 순서-숫자의 클래스와 함께 클래스-전단사에 넣습니다). 따라서 클래스에서 $\gamma$ -번째 원소는 ("0-번째"가 가장 작고, "1-번째"가 다음으로 가장 작고, 등이라는 규칙과 함께) 자유롭게 말할 수 있습니다. 공식적으로, 그 정의는 초월-유한 귀납법에 의해 이루어집니다: 클래스의 $\gamma$ -번째 원소는 모든 $\beta <\gamma$ 에 대해 $\beta$ -번째 원소보다 큰 가장 작은 원소로 정의됩니다 (그것이 모든 $\beta <\gamma$ 에 대해 이미 정의되었다는 조건 아래에서 그렇습니다).

이것은 예를 들어 극한 순서-숫자의 클래스에 적용될 수 있습니다: 극한이거나 영인 $\gamma$ -번째 순서-숫자는 $\omega \cdot \gamma$ 입니다 (순서-숫자의 곱셈의 정의에 대해 순서-숫자 산술(ordinal arithmetic)을 참조하십시오). 유사하게, 덧셈적으로 비-분해가능 순서-숫자(additively indecomposable ordinals)를 고려할 수 있습니다 (두 개의 엄격하게 작은 순서-숫자의 합이 아닌 비-영 순서-숫자를 의미합니다): $\gamma$ -번째 덧셈적으로 비-분해가능 순서-숫자는 $\omega ^{\gamma }$ 로 인덱싱됩니다. 순서-숫자의 클래스를 인덱싱하는 기술은 종종 고정된 점의 맥락에서 유용합니다: 예를 들어, $\omega ^{\alpha }=\alpha$ 을 만족하는 $\gamma$ -번째 순서-숫자 $\alpha$ 는 $\varepsilon _{\gamma }$ 로 쓰입니다. 이것은 "엡실론 숫자(epsilon numbers)"라고 불립니다.

Closed unbounded sets and classes

숫서-숫자의 클래스 $C$ 는 임의의 순서-숫자 $\alpha$ 가 주어지면, $C$ 에서 $\alpha <\beta$ 를 만족하는 $\beta$ 가 있을 때 무-경계진(unbounded), 또는 공끝(cofinal)이라고 말합니다 (그런-다음 그 클래스는 적절한 클래스여야 합니다. 즉, 그것이 집합이 될 수 없습니다). 그것은 클래스에서 순서-숫자의 수열의 극한이 다시 클래스에 있을 때 닫혀 있다(closed)고 말합니다: 또는, 동등하게, 인덱싱 (클래스-)함수 $F$ 는 극한 서수 $\delta$ 에 대해, $F(\delta )$ (클래스에서 $\delta$ -번째 순서-숫자)가 $\gamma <\delta$ 에 대해 모든 $F(\gamma )$ 의 극한이라는 의미에서 연속일 때; 이것은 토폴로지적(topological) 의미에서 순서 토폴로지(order topology)에 대해 닫히는 것과 같습니다 (적절한 클래스 위에 토폴로지에 대한 이야기를 피하기 위해, 임의의 주어진 순서-숫자를 갖는 클래스의 교집합이 해당 순서-숫자 위에 순서 토폴로지에 대해 닫혀 있음을 요구할 수 있으며, 이것은 다시 동등합니다).

특히 중요한 것은 닫혀 있고 무경계(closed and unbounded)인 순서-숫자의 클래스이며, 때때로 줄여서 clubs라고 불립니다. 예를 들어, 모든 극한 순서-숫자의 클래스는 닫혀 있고 무-경계진 것입니다: 이것은 항상 주어진 순서-숫자보다 큰 극한 순서-숫자가 있고, 극한 순서-숫자의 극한은 극한 순서-숫자라는 사실을 해석합니다 (용어가 전혀 의미가 없다면 다행스러운 사실입니다!). 덧셈적으로 비-분해가능 순서-숫자의 클래스, 또는 $\varepsilon _{\cdot }$ 순서-숫자의 클래스, 또는 세는-숫자(cardinals)의 클래스는 모두 닫혀 있고 무-경계진 것입니다; 정규(regular) 세는-숫자의 집합은, 어쨌든, 무-경계진 것이지만 닫혀 있지는 않고, 임의의 유한 순서-숫자의 집합은 닫혀 있지만 무-경계진 것이 아닙니다.

클래스는 만약 그것이 모든 각 닫힌 무-경계진 클래스와 비-빈 교집합을 가지면 정류된 것입니다. 닫힌 무-경계진 클래스의 모든 초월-클래스는 정류된 것이고, 정류된 클래스는 무-경계진 것이지만, 닫히지 않은 정규된 클래스와 닫힌 무-경계진 부분-클래스를 가지지 않는 정류된 클래스 (예를 들어 셀-수-있는 공끝도를 갖는 모든 극한 순서-숫자의 클래스)가 있습니다. 두 개의 닫힌 무-경계진 클래스의 교집합은 닫혀 있고 무-경계진 것이므로, 정류된 클래스와 닫혀 있고 무-경계진 클래스의 교집합은 정류된 것입니다. 그러나 두 정류된 클래스의 교집합은 빈 것일 수 있습니다. 예를 들어, 공끝도 ω를 갖는 순서-숫자의 클래스와 셀-수-없는 공끝도를 갖는 순서-숫자의 클래스.

순서-숫자의 (적절한) 클래스에 대해 이들 정의를 공식화하는 대신, 그것들을 주어진 순서-숫자 $\alpha$ 보다 아래의 순서-숫자 집합에 대해 형식화할 수 있습니다: 극한 순서-숫자 $\alpha$ 의 부분-집합은 $\alpha$ 보다 작은 임의의 순서-숫자가 그 집합에서 일부 순서-숫자보다 작음을 조건으로 하여 $\alpha$ 아래에서 무-경계진 것 (또는 공끝)이라고 말합니다. 더 일반적으로, $\alpha$ 보다 작은 모든 각 순서-숫자가 그 집합에서 일부 순서-숫자보다 작거나 같다는 조건으로 하여 $\alpha$ 에서 임의의 순서-숫자 $\alpha$ 공끝의 부분-집합이라고 부를 수 있습니다. 그 부분-집합은 그것이 $\alpha$ 에서 순서 토폴로지에 대해 닫힌 있다는 조건, 즉, 그 집합에서 순서-숫자의 극한이 그 집합에 있거나 $\alpha$ 자체와 같다는 조건으로 하여 $\alpha$ 아래에서 닫혀 있다고 말합니다.

Arithmetic of ordinals

순서-숫자 위에 세 개의 보통 연산: 덧셈, 곱셈, 및 (순서-숫자) 지수화가 있습니다. 각각은 본질적으로 두 가지 다른 방법으로: 연산을 나타내는 명시적으로 바른-순서화된 집합을 구성함으로써 또는 초월-유한 재귀를 사용함으로써 정의될 수 있습니다. 칸토어 정규 형식(Cantor normal form)은 순서-숫자를 작성하는 표준화된 방법을 제공합니다. 그것은 각 순서-숫자를 ω의 순서-숫자 거듭제곱의 유한 합으로 고유하게 나타냅니다. 어쨌든, 이것은 ε₀ = ω^ε₀와 같은 자기 참조 표현으로 인해 보편적인 순서-숫자 표기의 기초를 형성할 수 없습니다. 소위 "자연스러운" 산술 연산은 연속성을 희생시키면서 교환성을 유지합니다.

숫자(nimbers, 게임-이론적 숫자 변형)로 해석되는 순서-숫자는 숫자 산술 연산의 대상이기도 합니다.

Ordinals and cardinals

Initial ordinal of a cardinal

각 순서-숫자는 하나의 세는-숫자(cardinal), 그것의 카디널리티와 결합됩니다. 만약 두 순서-숫자 사이에 전단사 (예를 들어, ω = 1 + ω 및 ω + 1 > ω)가 있으면, 그것들은 같은 세는-숫자와 결합됩니다. 순서-유형으로 순서-숫자를 가지는 임의의 바른-순서화된 집합은 해당 순서-숫자와 같은 카디널리티를 가집니다. 주어진 세는-숫자와 결합된 최소 순서-숫자는 해당 세는-숫자의 초기 순서-숫자(initial ordinal)라고 불립니다. 모든 각 유한 순서-숫자 (자연수)는 초기값이고, 다른 순서-숫자는 그것의 세는-숫자와 결합되지 않습니다. 그러나 많은 무한 순서-숫자는 초기값이 아닌데, 왜냐하면 많은 무한 순서-숫자가 같은 세는-숫자와 결합되기 때문입니다. 선택의 공리(axiom of choice)는 모든 각 집합이 바른-순서화된, 즉, 모든 각 세는-숫자는 초기 순서-숫자를 가진다는 명제와 동등합니다. 선택 공리를 갖는 이론에서, 임의의 집합의 세는-숫자는 초기 순서-숫자를 가지고, 폰 노이만 세는-숫자 할당(Von Neumann cardinal assignment)을 세는-숫자의 표시로 사용할 수 있습니다. (어쨌든, 우리는 그때에 세는-숫자 산술과 순서-숫자 산술을 구별하기 위해 주의해야 합니다.) 선택의 공리 없는 집합 이론에서, 세는-숫자는 최소 랭크를 가지는 해당 카디널리티를 갖는 집합의 집합에 의해 표현될 수 있습니다 (스콧의 트릭(Scott's trick)을 참조하십시오).

스콧의 트릭의 한 가지 문제는 세는-숫자 0을 $\{\emptyset \}$ 로 식별한다는 것이며, 일부 형식화에서 이는 순서-숫자 1입니다. 그것은 폰 노이만 세는-숫자 할당을 유한 경우에 적용하고 스콧의 트릭을 무한 또는 바른 순서화를 허용하지 않는 집합에 대해 사용하는 것이 더 명확할 수 있습니다. 세는-숫자와 순서-숫자 산술은 유한 수에 대해 일치함을 주목하십시오.

α-번째 무한 초기 순서-숫자는 $\omega _{\alpha }$ 로 쓰이며, 항상 극한 순서-숫자입니다. 그것의 카디널리티는 $\aleph _{\alpha }$ 로 쓰입니다. 예를 들어, ω₀ = ω의 카디널리티는 $\aleph _{0}$ 이며, 이는 ω² 또는 ε₀의 카디널리티이기도 합니다 (모두는 셀-수-있는 순서-숫자입니다). 따라서 ω는 $\aleph _{0}$ 로 식별할 수 있지만, 세는-숫자를 작성할 때는 표기법 $\aleph _{0}$ 가 사용되고, 순서-숫자를 작성할 때는 ω가 사용됩니다 (이것은 예를 들어 $\aleph _{0}^{2}$ = $\aleph _{0}$ 인 반면 $\omega ^{2}>\omega$ 이므로 중요합니다). 역시, $\omega _{1}$ 은 가장 작은 셀-수-없는 순서-숫자이고 (그것이 존재하는지 확인하기 위해, 자연수의 바른-순서화의 동치 클래스의 집합을 생각해 보십시오: 그러한 각 바른-순서화는 셀-수-있는 순서-숫자를 정의하고, $\omega _{1}$ 은 해당 집합의 차수 유형입니다), $\omega _{2}$ 는 카디널리티가 $\aleph _{1}$ 보다 큰 가장 작은 순서-숫자이고, 이런 식으로 계속되고, $\omega _{\omega }$ 는 자연수 n에 대한 $\omega _{n}$ 의 극한입니다 (세는 숫자의 임의의 극한은 세는-숫자이므로, 이 극한은 실제로 모든 $\omega _{n}$ 뒤의 첫 번째 세는-숫자입니다).

Cofinality

순서-숫자 $\alpha$ 의 공끝도(cofinality)는 $\alpha$ 의 공끝 부분-집합의 순서 유형인 가장 작은 순서-숫자 $\delta$ 입니다. 많은 저자가 공끝도를 정의하거나 극한 순서-숫자에만 그것을 사용함에 주의하십시오. 순서-숫자의 집합 또는 임의의 다른 바른-순서화된 집합의 공끝도는 해당 집합의 순서 유형의 공끝도입니다.

따라서, 극한 순서-숫자에 대해, 극한 $\alpha$ 를 갖는 $\alpha$ -인덱스된 엄격하게 증가하는 수열이 존재합니다. 예를 들어, ω²의 공끝도는 ω인데, 왜냐하면 수열 ω·m은 ω²로 향하는 경향이 있기 때문입니다 (여기서 m은 자연수에 걸쳐 범위입니다); 그러나, 더 일반적으로, 임의의 셀-수-있는 극한 순서-숫자는 공끝도 ω를 가집니다. 셀-수-없는 극한 순서-숫자는 $\omega _{\omega }$ 와 마찬가지로 공끝도 ω 또는 셀-수-없는 공끝도를 가질 수 있습니다.

0의 공끝도는 0입니다. 그리고 임의의 다음수 순서-숫자의 공끝도는 1입니다. 임의의 극한 순서-숫자의 공끝도는 적어도 $\omega$ 입니다.

공끝도와 같은 순서-숫자는 정규(regular)라고 불리고 그것이 항상 초기 순서-숫자입니다. 정규 순서-숫자의 임의의 극한은 초기 순서-숫자의 극한이고 따라서 그것이 정규가 아닌 경우에도 초기값이고, 일반적으로 그렇지 않습니다. 만약 선택의 공리(Axiom of Choice)이면, $\omega _{\alpha +1}$ 가 각 α에 대해 정규입니다. 이 경우에서, 순서-숫자 0, 1, $\omega$ , $\omega _{1}$ , 및 $\omega _{2}$ 는 정규이지만, 2, 3, $\omega _{\omega }$ , 및 ω_ω·2는 정규가 아닌 초기 순서-숫자들입니다.

임의의 순서-숫자 α의 공끝도는 정규 순서-숫자이며, 즉, α의 공끝도의 공끝도는 α의 공끝도와 같습니다. 따라서 공끝도 연산은 거듭상등(idempotent)입니다.

Some "large" countable ordinals

위에서 언급한 바와 같이 (칸토어 정규 형식 참조), 순서-숫자 ε₀는 방정식 $\omega ^{\alpha }=\alpha$ 를 만족시키는 가장 작은 것이므로, 그것은 수열 0, 1, $\omega$ , $\omega ^{\omega }$ , $\omega ^{\omega ^{\omega }}$ , 등의 극한입니다. 많은 순서-숫자들은 특정 순서-숫자 함수의 고정된 점과 같은 방식으로 정의될 수 있습니다 ( $\omega ^{\alpha }=\alpha$ 를 만족하는 $\iota$ -번째 순서-숫자가 $\varepsilon _{\iota }$ 라고 불리고, 그런-다음 $\varepsilon _{\alpha }=\alpha$ 를 만족하는 $\iota$ -번째 순서-숫자를 참으려고 계속 시도할 수 있고, "이런 식으로 계속됩니다", 그러나 모든 미묘함은 "이런 식으로 계속됩니다"에 있습니다). 이것을 시스템적으로 시도할 수는 있지만, 순서-숫자를 정의하고 구성하기 위해 어떤 시스템이 사용되든, 그 시스템에 의해 구성된 모든 순서-숫자 바로 위에 놓이는 순서-숫자가 항상 있습니다. 아마도 이러한 방식으로 구성의 시스템을 극한하는 가장 중요한 순서-숫자는 처치-클린 순서-숫자(Church-Kleene ordinal), $\omega _{1}^{\mathrm {CK} }$ 이며 (그 이름에서 $\omega _{1}$ 이 있음에도 불구하고, 이 순서-숫자는 셀-수-있음), 이는 어떤 식으로든 계산-가능 함수(computable function)로 나타낼 수 없는 가장 작은 순서-숫자입니다 (이것은 물론 엄격하게 만들 수 있습니다). 상당히 큰 순서-숫자가 $\omega _{1}^{\mathrm {CK} }$ 아래에 정의될 수 있으며, 어쨌든, 이는 특정 형식적 시스템(formal systems)의 "증명-이론적 강도"를 측정합니다 (예를 들어, $\varepsilon _{0}$ 는 페아노 산술(Peano arithmetic)의 강도를 측정합니다). 셀-수-있는 허용-가능 순서-숫자(admissible ordinals)와 같은 큰 셀-수-있는 순서-숫자는 논리의 다양한 부분에서 관심을 받는 처치-클린 순서-숫자 위에 정의될 수도 있습니다.

Topology and ordinals

임의의 순서-숫자는 순서 토폴로지(order topology)를 부여함으로써 토폴로지적 공간(topological space)으로 만들 수 있습니다; 이 토폴로지가 이산(discrete)인 것과 순서-숫자가 셀-수-있는 세는-숫자, 즉, 많아야 ω인 것은 필요충분 조건입니다. ω + 1의 부분-집합이 순서 토폴로지에서 열린 것과 그것이 여-유한(cofinite)이거나 원소로 ω를 포함하지 않는 것은 필요충분 조건입니다.

"Order topology" 기사의 토폴로지와 순서-숫자(Topology and ordinals) 섹션을 참조하십시오.

History

1883년에 처음 등장했던 초원-유한 순서-숫자는,^[7] 유도된 집합(derived sets)에 대한 칸토어의 연구에서 시작되었습니다. 만약 P가 실수의 집합이면, 유도된 집합 P'은 P의 극한 점(limit points)의 집합입니다. 1872년에, 칸토어는 파생 집합 연산을 P에 n번 적용함으로써 집합 P⁽ⁿ⁾을 생성했습니다. 1880년에, 그는 이들 집합이 열 P' ⊇ ··· ⊇ P⁽ⁿ⁾ ⊇ P^(n + 1) ⊇ ···를 형성함을 지적했고, P^(∞)를 이들 집합의 교집합으로 정의함으로써 유도 과정을 계속했습니다. 그런-다음 그는 집합의 열을 무한대로 확장하기 위해 유도된 집합 연산과 교집합을 반복합니다: P^(∞) ⊇ P^(∞ + 1) ⊇ P^(∞ + 2) ⊇ ··· ⊇ P^(2∞) ⊇ ··· ⊇ P^(∞²) ⊇ ···.^[8] $\infty$ 를 포함하는 위첨자는 유도 과정에 의해 정의된 인덱스일 뿐입니다.^[9]

칸토어는 정리에서 이들 집합을 사용했습니다: (1) 만약 일부 인덱스 α에 대해 P^(α) = ∅이면 P' 는 셀-수-있는 것입니다; (2) 반대로, 만약 P' 가 셀-수-있는 것이면, P^(α) = ∅를 만족하는 인덱스 α가 있습니다. 이들 정리는 P' 을 쌍-별 서로소(pairwise disjoint) 집합으로 분할함으로써 입증됩니다: P' = (P' ∖ P⁽²⁾) ∪ (P⁽²⁾ ∖ P⁽³⁾) ∪ ··· ∪ (P^(∞) ∖ P^(∞ + 1)) ∪ ··· ∪ P^(α). β < α에 대해: P^(β + 1) 가 P^(β)의 극한 점을 포함되므로, 집합 P^(β) ∖ P^(β + 1)는 극한 점을 가지지 않습니다. 따라서, 그것들은 이산 집합(discrete sets)이므로, 그것들은 셀-수-있는 것입니다. 첫 번째 정리의 증명: 만약 일부 인덱스 α에 대해 P^(α) = ∅이면, P' 는 셀-수-있는 집합의 셀-수-있는 합집합입니다. 그러므로, P' 은 셀-수-있는 것입니다.^[10]

두 번째 정리는 P^(α) = ∅임을 만족하는 α의 존재를 입증하는 것을 요구합니다. 이를 입증하기 위해, 칸토어는 셀-수-있게 많은 이전수를 가지는 모든 α의 집합을 고려했습니다. 이 집합을 정의하기 위해, 그는 초월-유한 순서-숫자를 정의하고 $\infty$ 를 첫 번째 초한 서수, ω로 대체함으로써 무한 인덱스를 순서-숫자로 변환했습니다. 칸토어는 유한 순서-숫자의 집합을 첫 번째 숫자 클래스(number class)라고 불렀습니다. 두 번째 숫자 클래스는 이전수가 셀-수-있게 무한 집합을 형성하는 순서-숫자의 집합입니다. 셀-수-있게 많은 이전수를 가지는 모든 α의 집합—즉, 셀-수-있는 순서-숫자의 집합은 이들 두 숫자 클래스의 합집합입니다. 칸토어는 두 번째 숫자 클래스의 카디널리티가 첫 번째 셀-수-없는 카디널리티임을 입증했습니다.^[11]

칸토어의 두 번째 정리는 다음이 됩니다: 만약 P' 이 셀-수-있으면, P^(α) = ∅임을 만족하는 셀-수-있는 순서-숫자 α가 있습니다. 그것의 증명은 모순에 의한 증명(proof by contradiction)을 사용합니다. P' 를 셀-수-있는 것으로 놓고, 그러한 α가 없다고 가정합니다. 이 가정은 두 가지 경우를 생성합니다.

경우 1: P^(β) ∖ P^(β + 1)가 모든 셀-수-있는 β에 대해 빈-빈 것입니다. 셀-수-없게 많은 이들 쌍-별 서로소 집합이 있으므로, 그것들의 합집합은 셀-수-없는 것입니다. 이 합집합은 P의 부분-집합이므로, P' 는 셀-수-없는 것입니다.
경우 2: P^(β) ∖ P^(β + 1)가 일부 셀-수-있는 β에 대해 빈 것입니다. P^(β + 1) ⊆ P^(β)이므로, 이것은 P^(β + 1) = P^(β)를 의미합니다. 따라서, P^(β)은 완전 집합(perfect set)이므로, 그것은 셀-수-없는 것입니다.^[12]

둘 다 경우에서, P' 은 셀-수-없는 것이며, 이는 P' 이 셀-수-있다는 것에 모순됩니다. 그러므로, P^(α) = ∅임을 만족하는 셀-수-있는 순서-숫자 α가 있습니다. 유도된 집합과 순서-숫자와 함께 칸토어의 연구는 칸토어-벤딕손 정리(Cantor-Bendixson theorem)로 이어졌습니다.^[13]

다음수, 극한, 및 카디널리티를 사용하여, 칸토어는 무-경계진 순서-숫자의 수열과 숫자 클래스를 생성했습니다.^[14] (α + 1)-번째 숫자 클래스는 이전수가 α-번째 숫자 클래스와 같은 카디널리티의 집합을 형성하는 순서-숫자의 집합입니다. (α + 1)-번째 숫자 클래스의 카디널리티는 α-번째 숫자 클래스의 카디널리티 바로 다음에 오는 카디널리티입니다.^[15] 극한 순서-숫자 α에 대해, α-번째 숫자 클래스는 β < α에 대해 β-번째 숫자 클래스의 합집합입니다.^[16] 그것의 카디널리티는 이들 숫자 클래스의 카디널리티의 극한입니다.

만약 n이 유한이면, n-번째 숫자 클래스는 카디널리티 $\aleph _{n-1}$ 를 가집니다. 만약 α ≥ ω이면, α-번째 숫자 클래스는 카디널리티 $\aleph _{\alpha }$ 를 가집니다.^[17] 그러므로, 숫자 클래스의 카디널리티는 알레프 숫자(aleph numbers)와 일-대-일로 대응합니다. 역시, α-번째 숫자 클래스는 이전 숫자 클래스에서 그것들과 다른 것과 α가 비-극한 순서-숫자인 것은 필요충분 조건입니다. 그러므로, 비-극한 숫자 클래스는 순서-숫자를 쌍-별 서로소 집합으로 분할합니다.

Notes

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^ Dauben 1979, p. 111
^ Ferreirós 2007, pp. 207–8
^ Dauben 1979, pp. 97–98
^ Hallett 1986, pp. 61–62
^ Tait 1997, p. 5 footnote
^ The first number class has cardinality $\aleph _{0}$ . Mathematical induction proves that the n-th number class has cardinality $\aleph _{n-1}$ . Since the ω-th number class is the union of the n-th number classes, its cardinality is $\aleph _{\omega }$ , the limit of the $\aleph _{n-1}$ . Transfinite induction proves that if α ≥ ω, the α-th number class has cardinality $\aleph _{\alpha }$ .

References

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External links

"Ordinal number", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Ordinals at ProvenMath
Ordinal calculator GPL'd free software for computing with ordinals and ordinal notations
Chapter 4 of Don Monk's lecture notes on set theory is an introduction to ordinals.

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[:0-3] Thorough introductions are given by (Levy 1979) and (Jech 2003).

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[7] Cantor 1883. English translation: Ewald 1996, pp. 881–920

[8] Ferreirós 1995, pp. 34–35; Ferreirós 2007, pp. 159, 204–5

[9] Ferreirós 2007, p. 269

[10] Ferreirós 1995, pp. 35–36; Ferreirós 2007, p. 207

[11] Ferreirós 1995, pp. 36–37; Ferreirós 2007, p. 271

[12] Dauben 1979, p. 111

[13] Ferreirós 2007, pp. 207–8

[14] Dauben 1979, pp. 97–98

[15] Hallett 1986, pp. 61–62

[16] Tait 1997, p. 5 footnote

[17] The first number class has cardinality $\aleph _{0}$ . Mathematical induction proves that the n-th number class has cardinality $\aleph _{n-1}$ . Since the ω-th number class is the union of the n-th number classes, its cardinality is $\aleph _{\omega }$ , the limit of the $\aleph _{n-1}$ . Transfinite induction proves that if α ≥ ω, the α-th number class has cardinality $\aleph _{\alpha }$ .

[1]

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[16]

[17]

First several von Neumann ordinals
0	=	{}	=	∅
1	=	{0}	=	{∅}
2	=	{0,1}	=	{∅,{∅}}
3	=	{0,1,2}	=	{∅,{∅},{∅,{∅}}}
4	=	{0,1,2,3}	=	{∅,{∅},{∅,{∅}},{∅,{∅},{∅,{∅}}}}