Orthogonal transformation

Original article: w:Orthogonal transformation

선형 대수(linear algebra)에서, 직교 변환은 안의 곱(inner product)을 보존하는 실수 안의 곱 공간(inner product space) V 위에 선형 변환 T : V → V입니다. 즉, V 원소의 각 쌍 u, v에 대해, 다음을 가집니다:

$\langle u,v\rangle =\langle Tu,Tv\rangle \,.$

벡터의 길이와 그들 사이의 각도는 안의 곱을 통해 정의되므로, 직교 변환은 벡터의 길이와 그들 사이의 각도를 보존합니다. 특히, 직교 변환은 직교-정규 기저(orthonormal bases)를 직교-정규 기저로 매핑합니다.

직교 변환은 전단사(injective)입니다: 만약 $Tv=0$이면 $0=\langle Tv,Tv\rangle =\langle v,v\rangle$이고, 따라서 $v=0$이므로, $T$의 커널(kernel)은 자명합니다.

이-차원 또는 삼-차원 유클리드 공간에서 직교 변환은 굽히지-않는 회전, 반사, 또는 회전과 반사의 합성 (부적절한 회전의로도 알려져 있음)입니다. 반사는 (실-세계) 거울이 하는 것처럼 거울 평면에 직교하는 방향을 앞뒤로 뒤집는 변환입니다. 적절한 회전 (반사 없음)에 해당하는 행렬은 +1의 행렬식(determinant)을 가집니다. 반사를 갖는 변환은 −1의 행렬식을 갖는 행렬에 의해 표시됩니다. 이를 통해 회전과 반사 개념을 더 높은 차원으로 일반화할 수 있습니다.

유한-차원 공간에서, 직교 변환의 (직교-정규 기저에 관한) 행렬 표현은 직교 행렬입니다. 그것의 행은, 그 행이 V의 직교-정규 기저를 구성하도록 단위 노름을 갖는 서로 직교 벡터입니다. 행렬의 열은 V의 또 다른 직교-정규 기저를 형성합니다.

만약 직교 변환이 역-가능이면 (이는 V가 유한-차원일 때 항상 해당됨), 그것의 역은 또 다른 직교 변환입니다. 그것의 행렬 표현은 원래 변환의 행렬 표현의 전치입니다.

Examples

표준 유클리드 안의 곱과 표준 기저를 갖는 안의-곱 공간 $(\mathbb {R} ^{2},\langle \cdot ,\cdot \rangle )$을 생각해 보십시오. 그런-다음 다음 행렬 변환은 직교입니다:

$T={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$

이것을 보이기 위해, 다음을 생각해 보십시오:

${\begin{aligned}Te_{1}={\begin{bmatrix}\cos(\theta )\\\sin(\theta )\end{bmatrix}}&&Te_{2}={\begin{bmatrix}-\sin(\theta )\\\cos(\theta )\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

그런-다음,

${\begin{aligned}&\langle Te_{1},Te_{1}\rangle ={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&\sin(\theta )\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\cos(\theta )\\\sin(\theta )\end{bmatrix}}=\cos ^{2}(\theta )+\sin ^{2}(\theta )=1\\&\langle Te_{1},Te_{2}\rangle ={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&\sin(\theta )\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}-\sin(\theta )\\\cos(\theta )\end{bmatrix}}=\sin(\theta )\cos(\theta )-\sin(\theta )\cos(\theta )=0\\&\langle Te_{2},Te_{2}\rangle ={\begin{bmatrix}-\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}-\sin(\theta )\\\cos(\theta )\end{bmatrix}}=\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1\\\end{aligned}}$

앞의 예제는 모든 직교 변환을 구성하도록 확장될 수 있습니다. 예를 들어, 다음 행렬은 $(\mathbb {R} ^{3},\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ 위에 직교 변환을 정의합니다:

${\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )&0\\\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}\cos(\theta )&0&-\sin(\theta )\\0&1&0\\\sin(\theta )&0&\cos(\theta )\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\0&\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}$

See also

• Improper rotation
• Linear transformation
• Orthogonal matrix
• Unitary transformation