Orthographic projection

직교그래픽 투영(Orthographic projection 또는 때때로 orthogonal projection로 참조됨, 아날렘마(analemma)로 불리며 사용됨, 다른 용어로, 정사영, 또는 정사도법)은 삼-차원(three-dimensional) 대상을 이-차원(two dimensions)으로 나타내는 수단입니다. 그것은 모든 투영 직선이 투영 평면(projection plane)에 직교(orthogonal)하는 평행 투영(parallel projection)의 형식이고,^[1] 결과로써 장면의 모든 각 평면이 보이는 표면에 아핀 변환(affine transformation)으로 나타납니다. 직교 투영의 앞면은 경사 투영(oblique projection)이며, 이것은 투영 직선이 투영 평면에 직교하지 않는 평행 투영입니다.

용어 직교그래픽(orthographic)은 때때로 대상의 주요 축 또는 평면이 투영 평면과 역시 평행한 대상의 묘사에 대해 특별히 예약되어 있지만,^[1] 이것들은 여러-시점 투영(multiview projection)으로 더 잘 알려져 있습니다. 게다가, 직교그래픽 투영에서 대상의 주요 평면 또는 축은 투영 평면과 평행하지 않지만, 대상의 여러 측면을 드러내기 위해 오히려 기울어질 때, 투영은 축상 투영(axonometric projection)으로 불립니다. 여러-시점 투영의 부분-유형은 평면도, 입면도 및 단면을 포함합니다. 축상 투영의 부분-유형은 isometric, dimetric 및 trimetric projections을 포함합니다.

직교그래픽 투영을 제공하는 렌즈는 대상-공간 텔레센트릭 렌즈(object-space telecentric lens)로 알려져 있습니다.

Geometry

평면(plane) z = 0 위로의 간단한 직교그래픽 투영(projection)은 다음 행렬로 정의될 수 있습니다:

P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}

각 점 v = (v_x, v_y, v_z)에 대해, 변환된 점 Pv는 다음이 될 것입니다:

Pv={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\0\end{bmatrix}}

종종, 동차 좌표(homogeneous coordinates)를 사용하는 것이 보다 유용합니다. 위의 변환은 다음으로 동차 좌표에 대해 표현될 수 있습니다:

P={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}

각 동차 벡터 v = (v_x, v_y, v_z, 1)에 대해, 변환된 벡터 Pv는 다음이 될 것입니다:

Pv={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\0\\1\end{bmatrix}}

컴퓨터 그래픽(computer graphics)에서, 직교그래픽 투영(projection)에 사용되는 가장 공통적인 행렬 중 하나는 절단(clipping) 평면을 정의하는 6-튜플(6-tuple) (왼쪽, 오른쪽, 아래쪽, 위쪽, 근처, 먼)로 정의될 수 있습니다. 이들 평면은 (왼쪽, 아래쪽, -가까이)에서 최소 모서리이고 (오른쪽, 위쪽, -먼)에서 최대 모서리를 갖는 상자를 형성합니다.

그 상자는 그것의 중심이 원점에 있도록 변환되며, 그런-다음 그것은 (−1,−1,−1)에서 최소 모서리이고 (1,1,1)에서 최대 모서리를 가짐으로써 정의되는 단위 정육면체로 스케일됩니다.

직교그래픽 변환은 다음 행렬로 제공될 수 있습니다:

P={\begin{bmatrix}{\frac {2}{right-left}}&0&0&-{\frac {right+left}{right-left}}\\0&{\frac {2}{top-bottom}}&0&-{\frac {top+bottom}{top-bottom}}\\0&0&{\frac {-2}{far-near}}&-{\frac {far+near}{far-near}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}

이것은 다음 형식의 평행-이동(translation) T 뒤에 스케일링(scaling) S로 제공될 수 있습니다:

P=ST={\begin{bmatrix}{\frac {2}{right-left}}&0&0&0\\0&{\frac {2}{top-bottom}}&0&0\\0&0&{\frac {2}{far-near}}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0&-{\frac {left+right}{2}}\\0&1&0&-{\frac {top+bottom}{2}}\\0&0&-1&-{\frac {far+near}{2}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}

비-투영 행렬로 사용될 수 있는 투영 행렬 P⁻¹의 역행렬이 정의됩니다:

P^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {right-left}{2}}&0&0&{\frac {left+right}{2}}\\0&{\frac {top-bottom}{2}}&0&{\frac {top+bottom}{2}}\\0&0&{\frac {far-near}{-2}}&-{\frac {far+near}{2}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}

Sub-types

Symbols used to define whether a multiview projection is either third-angle (right) or first-angle (left).

여러-시점 투영과 함께, 대상의 여섯 그림까지 생성되며, 각 투영 평면은 대상의 좌표 축의 하나와 평행합니다. 풍경은 두 계획: 첫 번째-각도 또는 세 번째-각도 투영 중 하나에 따라 서로에 관해 위치됩니다. 각각에서, 풍경의 외관은 대상 주위에 여섯-면 상자를 형성하는 평면 위로의 투영되는 것으로 생각될 수 있습니다. 비록 여섯 다른 면이 그려질 수 있을지라도, 보통 그림의 세 풍경이 삼-차원 대상을 만들기에 충분한 정보를 제공합니다. 이들 풍경은 전면 풍경, 상단 풍경 및 끝 풍경으로 알려져 있습니다. 이들 풍경의 다른 이름은 평면도(plan), 입면도(elevation) 및 단면(section)을 포함합니다.

용어 축상 투영 (폴케의 정리(Pohlke's theorem)에 설명된 것처럼, 관련된 principle of axonometry와 혼동해서는 안됩니다)은 묘사된 대상의 평면 또는 축이 투영 평면에 평행하지 않고, 대상의 여러 면이 같은 이미지에서 명백한 직교그래픽 투영의 유형을 설명하기 위해 사용됩니다. 객체의 여러 면이 동일한 이미지로 표시됩니다.^[2] 그것은 더 나아가서 세 그룹: isometric, dimetric 및 trimetric projection으로 세분화되며, 풍경이 직교에서 벗어난 것에서 정확한 각도에 의존합니다.^[1]^[3] 축상 투영 (및 다른 화보)의 전형적인 특징은 공간의 한 축이 보통 수직으로 표시된다는 것입니다.

Cartography

직교그래픽 투영 맵은 지도학(cartography)의 맵 투영(map projection)입니다. 입체 투영(stereographic projection) 및 노마닉 투영(gnomonic projection)과 마찬가지로, 직교그래픽 투영은 원근 (또는 방위) 투영(perspective (or azimuthal) projection)이며, 이것에서 구는 접 평면(tangent plane) 또는 가름 평면(secant plane) 위로 투영됩니다. 직교그래픽 투영에 대해 원근의 점(point of perspective)은 무한(infinite) 거리에 있습니다. 그것은 밖의 공간(outer space)에서 보이는 것처럼 지구(globe)의 반구(hemisphere)를 묘사하며, 여기서 수평(horizon)이 큰 원(great circle)입니다. 모양과 영역이 특히 가장자리 근처에서 왜곡(distorted)됩니다.^[4]^[5]

직교그래픽 투영은 고대 이래로 알려져 왔으며, 지도-제작 사용이 잘 기록되어 있습니다. 히파르코스(Hipparchus)는 기원전 2세기에 별-오름 및 별-내림의 장소를 결정하기 위해 투영을 사용했습니다. 기원전 14년경, 로마의 공학자 마르쿠스 비트루비우스 폴리오(Marcus Vitruvius Pollio)는 해시계를 구성하고 태양 위치를 계산하기 위해 투영을 사용했습니다.^[5]

비트루비우스는 역시 투영에 대해 용어 직교그래픽 (그리스어 orthos (= "직진")와 그래프 (="그림"))를 고안해 왔던 것으로 보입니다. 어쨌든, 위도와 경도를 보여주는 해시계를 역시 의미하는, 이름 아날렘마(analemma)는 앤트워프의 프랑수아 다길론(François d'Aguilon)이 1613년에 현재의 이름을 홍보할 때까지 공통 이름이었습니다.^[5]

투영 위에 초기의 생존하는 지도는 1509년 (익명), 1533년과 1551년 (요하네스 쇠너(Johannes Schöner)), 및 1524년과 1551년 (에이피안(Apian))의 지상의 지구의 목판화 그림으로 나타납니다.^[5]

Notes

References

^ ^a ^b ^c Maynard, Patric (2005). Drawing distinctions: the varieties of graphic expression. Cornell University Press. p. 22. ISBN 0-8014-7280-6.
^ Mitchell, William; Malcolm McCullough (1994). Digital design media. John Wiley and Sons. p. 169. ISBN 0-471-28666-4.
^ McReynolds, Tom; David Blythe (2005). Advanced graphics programming using openGL. Elsevier. p. 502. ISBN 1-55860-659-9.
^ Snyder, J. P. (1987). Map Projections—A Working Manual (US Geologic Survey Professional Paper 1395). Washington, D.C.: US Government Printing Office. pp. 145–153.
^ ^a ^b ^c ^d Snyder, John P. (1993). Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections pp. 16–18. Chicago and London: The University of Chicago Press. ISBN 0-226-76746-9.

External links

Normale (orthogonale) Axonometrie (in German)
Orthographic Projection Video and mathematics

(Wayback Machine copy)

[maynard-1] Maynard, Patric (2005). Drawing distinctions: the varieties of graphic expression. Cornell University Press. p. 22. ISBN 0-8014-7280-6.

[2] Mitchell, William; Malcolm McCullough (1994). Digital design media. John Wiley and Sons. p. 169. ISBN 0-471-28666-4.

[mcreynolds-3] McReynolds, Tom; David Blythe (2005). Advanced graphics programming using openGL. Elsevier. p. 502. ISBN 1-55860-659-9.

[SnyderWorkingManual-4] Snyder, J. P. (1987). Map Projections—A Working Manual (US Geologic Survey Professional Paper 1395). Washington, D.C.: US Government Printing Office. pp. 145–153.

[Snyder16-5] Snyder, John P. (1993). Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections pp. 16–18. Chicago and London: The University of Chicago Press. ISBN 0-226-76746-9.

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