Translation (geometry)

Original article: w:Translation (geometry)

A translation moves every point of a figure or a space by the same amount in a given direction.

The reflection of a red shape against an axis followed by a reflection of the resulting green shape against a second axis parallel to the first one results in a total motion which is a translation of the red shape to the position of the blue shape.

유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서, 평행-이동(translation)은 주어진 방향으로 같은 거리만큼 그림 또는 공간의 모든 각 점을 이동하는 기하학적 변환(geometric transformation)입니다.

유클리드 기하학에서, 변환은 점들의 두 집합 사이의 일-대-일 대응 또는 한 평면에서 또 다른 평면으로 매핑입니다. 평행-이동은 강성 운동(rigid motion)으로 묘사될 수 있습니다: 나머지 강체 운동은 회전(rotation), 반사(reflection) 및 미끄럼 반사(glide reflection)입니다.

평행-이동은 모든 각 점에 대한 상수 벡터(vector)의 덧셈, 또는 좌표 시스템(coordinate system)의 원점(origin)을 이동하는 것으로 역시 해석될 수 있습니다.

평행-미는 연산자는 $T_{\mathbf {\delta } }f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } )$를 만족하는 연산자(operator) $T_{\mathbf {\delta } }$입니다.

만약 v가 고정된 벡터이면, 평행-이동 T_v는 T_v: (p) = p + v로 작동할 것입니다.

만약 T가 평행-이동이면, 함수(function) T 아래에서 부분-집합 A의 이미지(image)는 T에 의한 A의 평행-이동입니다. T_v에 의한 A의 평행-이동은 A + v로 종종 쓰입니다.

유클리드 공간(Euclidean space)에서, 임의의 평행-이동은 등거리-변환(isometry)입니다. 모든 평행-이동의 집합은 평행-이동 그룹 T를 형성하며, 이것은 공간 자체에 서로-동형이고, 유클리드 그룹(Euclidean group) E(n)의 정규 부분-그룹(normal subgroup)을 형성합니다. T에 의한 E(n)의 몫 그룹(quotient group)은 직교 그룹(orthogonal group) O(n)에 서로-동형입니다.

E(n) / T ≅ O(n).

Matrix representation

변환은 고정점(fixed point)을 갖지 않는 아핀 변환(affine transformation)입니다. 행렬 곱셈은 항상 원점(origin)을 고정점으로 가집니다. 그럼에도 불구하고, 행렬 곱셈(matrix multiplication)을 갖는 벡터 공간(vector space)의 변환을 나타내기 위해 동좌 좌표(homogeneous coordinates)를 사용하는 공통적인 해결-방법(workaround)이 있습니다: 4 동차 좌표를 w = (w_x, w_y, w_z, 1)로 사용하여 3-차원 벡터 w = (w_x, w_y, w_z)를 씁니다.

대상을 벡터(vector) v로 평행-이동하기 위해, (동차 좌표에서 쓰인) 각 동차 벡터 p는 이 평행-이동 행렬에 의해 곱해질 수 있습니다:

$T_{\mathbf {v} }={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$

아래에 표시된 것처럼, 곱셈은 예상된 결과를 제공할 것입니다:

$T_{\mathbf {v} }\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\\p_{z}+v_{z}\\1\end{bmatrix}}=\mathbf {p} +\mathbf {v}$

평행-이동 행렬의 역은 벡터의 방향을 거꾸로-바꿈으로써 구할 수 있습니다:

$T_{\mathbf {v} }^{-1}=T_{-\mathbf {v} }.\!$

비슷하게, 평행-이동 행렬의 곱은 벡터를 더함으로써 얻습니다:

$T_{\mathbf {u} }T_{\mathbf {v} }=T_{\mathbf {u} +\mathbf {v} }.\!$

벡터의 덧셈은 교환적(commutative)이기 때문에, 평행-이동 행렬의 곱셈은 (임의의 행렬의 곱셈과 달리) 따라서 역시 교환적입니다.

Translations in physics

물리학(physics)에서, 평행-이동 (평행-이동의 운동)은 회전(rotation)과 반대로 대상의 위치(position)를 변경하는 운동입니다. 예를 들어 휘터커(Whittaker)에 따르면:

만약 몸체가 한 위치에서 다른 위치로 이동하고, 몸체의 각 점의 시작점과 끝점을 연결하는 직선이 길이 ℓ의 평행한 직선의 집합이면, 공간에서 몸체의 방향이 변경되지 않도록, 변위는 거리 ℓ를 통해 직선의 방향과 평행 한 평행-이동이라고 불립니다.

— 에드먼드 테일러 휘터커(Edmund Taylor Whittaker): A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, p. 1

평행-이동은 다음 공식에 따라 대상의 모든 점 (x, y, z)의 위치를 변경하는 연산입니다:

$(x,y,z)\to (x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)$

여기서 $(\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)$는 대상의 각 점에 대해 같은 벡터(vector)입니다. 대상의 모든 점에 대한 공통 평행-이동 벡터 $(\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)$는 대상의 변위(displacement)의 특정 유형으로 묘사하며, 각 변위로 불리는 회전을 포함하는 변위로부터 구별하기 위해 보통 선형 변위로 불립니다.

시공간(spacetime)을 고려할 때, 시간(time) 좌표의 변화는 평행-이동으로 고려됩니다. 예를 들어, 갈릴레이 그룹(Galilean group)과 푸앵카레 그룹(Poincaré group)은 시간에 관한 평행-이동을 포함합니다.

See also

• Advection
• Parallel transport
• Rotation matrix
• Scaling (geometry)
• Transformation matrix
• Translation of axes
• Translational symmetry
• Vertical translation

External links

• Translation Transform at cut-the-knot
• Geometric Translation (Interactive Animation) at Math Is Fun
• Understanding 2D Translation and Understanding 3D Translation by Roger Germundsson, The Wolfram Demonstrations Project.