Pointwise

Original article: w:Pointwise

수학(mathematics)에서, 한정어 점별(pointwise:점마다)은 특정 속성이 어떤 함수 $f$의 각 값 $f(x)$를 고려함으로써 정의되는 것을 나타내기 위해 사용됩니다. 점별 개념의 중요한 클래스는 점별 연산, 즉, 정의의 도메인(domain)에서 각 점에 대해 연산을 개별적으로 함수 값에 적용함으로써 함수 위에 정의된 연산입니다. 중요한 관계(relations)는 역시 점별로 정의될 수 있습니다.

Pointwise operations

Pointwise sum (upper plot, violet) and product (green) of the functions sin (lower plot, blue) and ln (red). The highlighted vertical slice shows the computation at the point x=2π.

Formal definition

집합 Y 위에 이항 연산 o: Y × Y → Y은 다음처럼 X에서 Y로의 모든 함수의 집합 X→Y 위에 연산 O: (X→Y) × (X→Y) → (X→Y)을 점별로 들어 올릴 수 있습니다: 두 함수 f₁: X → Y 및 f₂: X → Y가 주어지면, 다음에 의해 함수 O(f₁,f₂): X → Y를 정의합니다:

모든 x∈X에 대해 (O(f₁,f₂))(x) = o(f₁(x),f₂(x)).

공통적으로, o와 O는 같은 기호에 의해 표시됩니다. 유사한 정의가 단항 연산 o, 및 다른 애리티(arity)의 연산에 대해 사용됩니다.

Examples

${\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)&{\text{(pointwise addition)}}\\(f\cdot g)(x)&=f(x)\cdot g(x)&{\text{(pointwise multiplication)}}\\(\lambda \cdot f)(x)&=\lambda \cdot f(x)&{\text{(pointwise multiplication by a scalar)}}\end{aligned}}$

여기서 $f,g:X\to R$.

역시 점별 곱(pointwise product), 및 스칼라(scalar)를 참조하십시오.

점별이 아닌 함수 위에 연산의 예제는 합성곱(convolution)입니다.

Properties

점별 연산은 코도메인(codomain) 위의 해당하는 연산에서 결합성(associativity), 교환성(commutativity) 및 분배성(distributivity)과 같은 그러한 속성을 상속합니다. 만약 $A$가 일부 대수적 구조조이면, $A$의 도메인(carrier set)에 대한 모든 함수 $X$의 집합은 유사한 방법으로 같은 유형의 대수적 구조로 변환될 수 있습니다.

Componentwise operations

성분별 연산은 보통 벡터 위에 정의되며, 여기서 벡터는 일부 자연수(natural number) $n$과 일부 필드(field) $K$에 대해 집합 $K^{n}$의 원소입니다. 만약 우리가 임의의 벡터 $v$의 $i$-번째 성분을 $v_{i}$로 표시하면, 성분별 덧셈은 $(u+v)_{i}=u_{i}+v_{i}$입니다.

성분별 연산은 행렬 위에 정의될 수 있습니다. 행렬 덧셈은, 여기서 $(A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}$이며, 성분별 연산이고 반면에 행렬 곱셈(matrix multiplication)은 그렇지 않습니다.

튜플(tuple)은 함수로 고려될 수 있고, 벡터는 튜플입니다. 그러므로, 임의의 벡터 $v$는 $f(i)=v_{i}$를 만족하는 함수 $f:n\to K$에 해당하고, 벡터에 대한 임의의 성분별 연산은 그들 벡터에 해당하는 함수에 대한 점별 연산입니다.

Pointwise relations

순서 이론(order theory)에서, 함수에 대한 점별 부분 순서(partial order)를 정의하는 것이 공통적입니다. A, B 포셋(posets)과 함께, 함수 A → B의 집합이 f ≤ g에 의해 순서화될 수 있는 것과 (∀x ∈ A) f(x) ≤ g(x)인 것은 필요충분 조건입니다. 점별 순서는 역시 놓여있는 포셋의 일부 속성을 상속합니다. 예를 들어, 만약 A와 B가 연속 격자(continuous lattice)이면, 점별 순서를 갖는 함수 A → B의 집합도 마찬가지입니다. 함수에 대한 점별 순서를 사용하여, 우리는 다른 중요한 개념을 간결하게 정의할 수 있으며, 예를 들어:

• 포셋 P 위에 클로저 연산자(closure operator) c는 id_A ≤ c인 추가적인 속성을 갖는 P 위에 단조(monotone)와 거듭상등(idempotent) 자기-맵 (즉, 투영 연산자(projection operator))이며, 여기서 id는 항등 함수(identity function)입니다.
• 유사하게, 투영 연산자 k가 커널 연산자(kernel operator)라고 불리는 것과 k ≤ id_A인 것은 필요충분 조건입니다.

무한-항(infinitary) 점별 연산의 예제는 함수의 점별 수렴(pointwise convergence)입니다—다음 함수의 수열(sequence)입니다:

$(f_{n})_{n=1}^{\infty }$

여기서 만약 $X$에서 각 $x$에 대해 다음이면:

$\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=f(x)$

다음은

$f_{n}:X\longrightarrow Y$

함수 $f$에 점별로 수렴(converges)입니다.

References

For order theory examples:

• T. S. Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures, Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5.
• G. Gierz, K. H. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislove, D. S. Scott: Continuous Lattices and Domains, Cambridge University Press, 2003.

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