Prime power

수학(mathematics)에서, 소수 거듭제곱(prime power)은 단일 소수의 양의 정수 거듭제곱(power)인 양의 정수입니다. 예를 들어: $7 = 7 1$ , $9 = 3 2$ , 및 $64 = 2 6$ 은 소수 거듭제곱이고, 반면에 $6 = 2 \times 3$ , $12 = 2 2 \times 3$ , 및 $36 = 6 2 = 2 2 \times 3 2$ 는 그렇지 않습니다.

소수 거듭제곱의 수열은 다음으로 시작합니다:

2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 121, 125, 127, 128, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 169, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 243, 251, …

(OEIS에서 수열 A246655).

소수 거듭제곱은 정확하게 하나의 소수에 의해 나뉠-수-있는 양의 정수입니다; 특히, 숫자 1은 소수 거듭제곱이 아니다. 소수 거듭제곱은 주요 분해(primary decomposition)에서와 같이 주요 숫자(primary numbers)라고도 불립니다.

Properties

Algebraic properties

소수의 거듭제곱은 소수의 거듭제곱입니다. 모든 각 소수 거듭제곱 (2의 거듭제곱 제외)은 원시 근(primitive root)을 가집니다; 따라서 정수 모듈로 pⁿ의 곱셈 그룹 (즉, 링 Z/pⁿZ의 단위의 그룹)은 순환적(cyclic)입니다.^[1]

유한 필드의 원소의 숫자는 항상 소수 거듭제곱이고 반대로. 모든 각 소수 거듭제곱은 일부 유한 필드에서 원소의 숫자로 발생합니다 (이는 동형(isomorphism)까지 고유합니다).^[2]

Combinatorial properties

해석적 숫자 이론(analytic number theory)에서 자주 사용되는 소수 거듭제곱의 속성은 소수가 아닌 소수 거듭제곱의 집합(set)은 소수는 큰 집합이지만 그 역수의 무한 합(infinite sum)이 수렴한다(converges)는 의미에서 작은 집합(small set)이라는 것입니다.^[3]

Divisibility properties

소수 거듭제곱의 토션트 함수(totient function) (φ)와 시그마 함수(sigma functions) (σ₀)와 (σ₁)은 다음 공식에 의해 계산됩니다:

\varphi (p^{n})=p^{n-1}\varphi (p)=p^{n-1}(p-1)=p^{n}-p^{n-1}=p^{n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),

\sigma _{0}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{0\cdot j}=\sum _{j=0}^{n}1=n+1,

\sigma _{1}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{1\cdot j}=\sum _{j=0}^{n}p^{j}={\frac {p^{n+1}-1}{p-1}}.

모든 소수 거듭제곱은 부족한 숫자(deficient numbers)입니다. 소수 거듭제곱 pⁿ은 n-거의 소수(almost prime)입니다. 소수 거듭제곱 pⁿ이 친화 쌍(amicable pair)의 구성원이 될 수 있는지 여부는 알려져 있지 않습니다. 만약 그러한 숫자가 있으면, pⁿ은 10¹⁵⁰⁰보다 커야 하고 n은 1400보다 커야 합니다.

References

^ Daileda, Ryan C. (6 April 2018). "The Structure of (Z/nZ)×" (PDF). Trinity University Mathematics. Retrieved 25 December 2022.
^ Conrad, Keith. "Finite fields" (PDF). Kconrad.math.uconn.edu. Retrieved 25 December 2022.
^ Bayless, Jonathan; Klyve, Dominic (November 2013). "Reciprocal Sums as a Knowledge Metric: Theory, Computation, and Perfect Numbers". The American Mathematical Monthly. 120 (9): 822–831 – via JSTOR.