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Pure mathematics

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Pure mathematics studies the properties and structure of abstract objects,[1] such as the E8 group, in group theory. This may be done without focusing on concrete applications of the concepts in the physical world.

순수 수학은 수학(mathematics) 밖의 임의의 응용과 독립적으로 수학적 개념의 연구입니다. 이들 개념은 실-세계 문제에서 비롯될 수 있고, 얻어진 결과는 나중에 실제 응용에 대해 유용한 것으로 판명될 수 있지만, 순수 수학자는 그러한 응용에 의해 주로 동기를 부여받지 않습니다. 대신에, 기본 원칙의 논리적 결과를 도출하는 지적 도전과 미적 아름다움에 호소합니다.

순수 수학은 적어도 고대 그리스(Ancient Greece) 이후 활동으로 존재해 왔지만, 그 개념은 반-직관적 속성 (예를 들어, 비-유클리드 기하학(non-Euclidean geometries)과 무한 집합의 칸토어의(Cantor's) 이론)을 가진 이론의 도입과 명백한 역설 (예를 들어, 어느 곳에서도 미분-가능(differentiable)이 아닌 연속 함수(continuous function)와 러셀의 역설(Russell's paradox))의 발견 이후 1900년경에 정교화되었습니다.[2] 이것은 공리적 방법(axiomatic method)의 시스템적인 사용을 갖는 수학적 엄격함(mathematical rigor)의 개념을 새롭게 하고 그에 따라 모든 수학을 다시 쓸 필요성을 도입했습니다. 이것은 많은 수학자들에게 그것 자체에 대한 수학, 즉 순수 수학을 위해 집중하도록 이어졌습니다.

그럼에도 불구하고, 거의 모든 수학적 이론은 현실 세계 또는 덜 추상적인 수학적 이론에서 비롯된 문제에 의해 동기를 부여받았습니다. 역시, 완전하게 순수 수학처럼 보여 왔었던 많은 수학적 이론이 결국 응용된 영역, 주로 물리학(physics)과 컴퓨터 과학(computer science)에서 사용되었습니다. 유명한 초기 예제는 아이작 뉴턴(Isaac Newton)의 만유인력의 법칙(law of universal gravitation)이 행성이 원뿔 단면(conic section)인 궤도, 고대에서 아폴로니우스(Apollonius)에 의해 연구된 기하학적 곡선에서 움직인다는 것을 암시했다는 그의 시연입니다. 또 다른 예제는 인터넷(internet) 통신 보안에 널리 사용되는 RSA 암호시스템(RSA cryptosystem)의 기반이 되는 큰 정수(integer)를 인수화(factoring)하는 문제입니다.[3]

현재, 순수 수학과 응용 수학(applied mathematics) 사이의 구분은 수학의 엄격한 세분화보다는 철학적 관점이나 수학자의 선호에 가깝다는 것을 따릅니다. 특히, 응용수학 분야의 일부 구성원들이 스스로를 순수 수학자라고 표현하는 경우가 드물지 않습니다.

History

Ancient Greece

고대 그리스 수학자들은 순수 수학과 응용 수학 사이의 구별을 만들기 위한 최초의 사람들 중 하나였습니다. 플라톤(Plato)은 지금 숫자 이론(number theory)이라고 불리는 "산술"과 지금 산술(arithmetic)이라고 불리는 "로지스틱" 사이의 틈을 만드는 데 도움을 주었습니다. 플라톤은 "숫자의 기술을 배워야만 하거나 [그들이] [그들의] 군대를 배치하는 방법을 모를" 사업가와 군인에 적절한 것으로 로지스틱 (산술)과, "[그들이] 변화의 바다에서 일어나 참된 존재를 붙잡아야 하기 때문에" 철학자에게 적절한 것으로 산술 (숫자 이론)을 생각했습니다.[4] 알렉산드리아의 유클리드(Euclid of Alexandria)는, 그의 제자 중 한 사람이 기하학을 공부하는 것이 무슨 소용이 있냐는 질문을 받았을 때, 그의 노예에게 학생에게 3펜스를 주도록 명령했는데, "왜냐하면 그는 배울 것을 얻어야 하기 때문입니다."[5] 그리스 수학자 페르가의 아폴로니우스(Apollonius of Perga)는 그가 자랑스럽게 주장한 책 IV의 Conics에서 그의 정리 중 일부의 유용성에 대해 질문을 받았습니다:[6]

그것들은 우리가 다른 이유 없고 이것에 대해 수학에서 많은 다른 것들을 받아들이는 것과 같은 방법에서 시연 자체를 위해 받아들일 가치가 있습니다.

그리고 그의 결과 중 많은 부분이 당시의 과학이나 공학에 적용되지 않았기 때문에 아폴로니우스는 Conics의 다섯 번째 책의 서문에서 그 주제가 "...그 자체로 연구할 가치가 있어 보이는 것" 중 하나라고 추가로 주장했습니다.[6]

19th century

그 용어 자체는 19세기 중반에 (교수직으로) 설립된, Sadleirian Chair, "Sadleirian Professor of Pure Mathematics"의 전체 제목에 새겨져 있습니다. 순수 수학의 별도 분야에 대한 아이디어는 그 당시에 나타났을 수 있습니다. 가우스(Gauss)의 세대는 순수와 응용 사이의 종류의 확실한 구별을 만들지 않았습니다. 다음 몇 년 동안, 특수화와 전문화 (특히 수학적 해석학(mathematical analysis)에 대한 바이어슈트라스(Weierstrass) 접근 방식)는 더욱 분명한 균열을 만들기 시작했습니다.

20th century

20세기 초에, 수학자들은 다비트 힐베르트(David Hilbert)의 예제에 큰 영향을 받은 공리적 방법(axiomatic method)을 채택했습니다. 버트런드 러셀(Bertrand Russell)에 의해 제안(proposition)의 한정어(quantifier) 구조로 제안된 순수 수학의 논리적 형식화는 수학의 큰 부분이 공리화되었고 따라서 엄격한 증명(rigorous proof)의 단순한 기준에 종속됨에 따라 점점 더 그럴듯해 보였습니다.

부르바키 그룹(Bourbaki group)에 귀속될 수 있는 관점에 따르면, 순수 수학은 증명된 것입니다. "순수 수학자"는 훈련을 통해 달성-가능한 인정된 직업이 되었습니다.

순수 수학이 공학 교육(engineering education)에 유용하다는 사례가 있었습니다: [7]

오직 고등 수학의 연구가 제공할 수 있는 보통의 공학 문제의 사고의 습관, 관점, 및 지적 이해에서 훈련이 있습니다.

Generality and abstraction

An illustration of the Banach–Tarski paradox, a famous result in pure mathematics. Although it is proven that it is possible to convert one sphere into two using nothing but cuts and rotations, the transformation involves objects that cannot exist in the physical world.

순수 수학에서 핵심 개념 중 하나는 일반성의 아이디어입니다; 순수 수학은 종종 증가된 일반성을 향하는 경향을 보입니다. 일반성의 용도와 장점은 다음을 포함합니다:

  • 정리 또는 수학적 구조를 일반화하는 것이 원래의 정리 또는 구조를 더 깊이 이해하는 것으로 이어질 수 있습니다.
  • 일반성은 자료의 제출을 단순화할 수 있으며, 더 짧은 증명 또는 따르기에 더 쉬운 논증을 초래합니다.
  • 우리는 일반성을 노력의 중복을 피하기 위해 사용할 수 있으며, 개별 사례를 독립적으로 증명해야 하거나, 수학의 다른 영역에서 결과를 사용하는 대신 일반적인 결과를 입증합니다.
  • 일반성은 수학의 다른 가지 사이의 연결을 용이하게 할 수 있습니다. 카테고리 이론(Category theory)은 수학의 일부 영역에서 수행되는 이러한 구조의 공통성을 탐구하는 데 전념하는 수학의 한 영역입니다.

직관(intuition)에 대한 일반성의 영향은 주제와 개인 선호도 또는 학습 스타일의 문제 둘 다에 따라 다릅니다. 비록 일반성이 직관에 대한 도움으로 확실히 기능할 수 있지만, 특히 이미 좋은 직관을 갖고 있는 자료에 대한 비유를 제공할 때, 종종 일반성은 직관을 방해하는 것으로 보입니다.

일반성의 주요 예제로서, 에르랑겐 프로그램(Erlangen program)은 기하학을 변환의 그룹(group)과 함께 공간의 연구로 봄으로써 비-유클리드 기하학(non-Euclidean geometries)뿐만 아니라 토폴로지(topology), 및 기타 형식의 기하학을 수용하기 위한 기하학(geometry)의 확장을 포함했습니다. 시작하는 학부 수준에서 대수학(algebra)이라고 불리는 숫자(number)의 연구는 보다 고급 수준에서 추상 대수학(abstract algebra)으로 확장됩니다; 그리고 대학 신입생 수준에서 미적분학(calculus)이라고 불리는 함수(function)의 연구는 더 고급 수준에서 수치 해석학(mathematical analysis)과 함수형 해석학(functional analysis)이 됩니다. 보다 추상적인 수학의 이들 각 가지는 많은 부분-전문 분야를 가지고, 실제로 순수 수학과 응용 수학 분야 사이에 많은 연결이 있습니다. 추상화(abstraction)에서 급격한 상승은 20세기 중반에 나타났습니다.

실제에서, 어쨌든, 이들 발전은 특히 1950년에서 1983년까지 물리학(physics)과의 급격한 분화로 이어졌습니다. 나중에 이것은 예를 들어 블라디미르 아르놀트(Vladimir Arnold)에 의해 힐베르트(Hilbert)는 너무 많고 푸앵카레(Poincaré)는 충분하지 않다는 비판을 받았습니다. 끈 이론(string theory)은 한 방향으로 당기는 반면 이산 수학(discrete mathematics)은 증명을 중심으로 후퇴한다는 점에서 요점은 아직 해결되지 않은 것 같습니다.

Pure vs. applied mathematics

수학자들은 순수 수학과 응용 수학의 구별에 대해 항상 다른 의견을 가지고 있습니다. 이 논쟁의 가장 유명한 (그러나 아마도 오해된) 현대 사례 중 하나는 고드프리 해럴드 하디(G. H. Hardy)의 1940년 에세이 A Mathematician's Apology에서 찾을 수 있습니다. 이 예제에서 "변명(apology)"이라는 단어는 플라톤의 변명에서와 같이 "방어(defense)" 또는 "설명(explanation)"의 고대 정의를 참조합니다.

하디는 응용 수학을 추하고 둔하다고 여겼다고 널리 알려져 있습니다. 비록 하디가 종종 그림과 시와 비교했던 순수 수학을 선호한 것은 사실이지만, 그는 순수 수학과 응용 수학의 구별을 단순히 응용 수학이 수학적 틀에서 물리적 진리를 표현하려고 추구하고, 반면에 순수 수학은 물리적 세계와 무관한 진리를 표현한다고 보았습니다. 하디는 그가 "실제" 수학이라고 불렀던, "영구적인 미적 가치를 가지는 것"과 실용적으로 사용되는 "수학의 둔하고 기초적인 부분" 사이를 수학에서 별도의 구별을 만들었습니다.

하디는 아인슈타인(Einstein)과 디랙(Dirac)과 같은 일부 물리학자들을 "실제" 수학자 중 한 명으로 여겼지만, 그의 Apology을 쓸 당시 그는 일반 상대성(general relativity)과 양자 역학(quantum mechanics)을 "쓸모없는 것"으로 여겼으며, 그로 인해 그는 "둔한" 수학만이 유용하다는 의견을 가질 수 있었습니다. 게다가, 하디는 어떤 종류의 아름답고, "실제" 수학도 유용할 수 있는 때가–행렬 이론(matrix theory)과 그룹 이론(group theory)을 물리학에 적용하는 것이 뜻밖에도 찾아온 것처럼–올 수 있음을 간략하게 인정했습니다.

또 다른 통찰력 있는 견해는 미국 수학자 앤디 매기드(Andy Magid)에 의해 제안되었습니다:

나는 항상 여기서 좋은 모델이 링 이론에서 도출될 수 있다고 생각해 왔습니다. 그 주제에서, 우리는 교환 링 이론과 비-교환 링 이론의 하위영역을 가집니다. 정보가 없는 관찰자는 이들이 이분법을 나타낸다고 생각할 수 있지만, 실제로 후자는 전자를 포함합니다: 비-교환 링은 반드시는-아닌-교환 링입니다. 만약 우리가 유사한 규칙을 사용하면, 우리는 응용 수학과 비응용 수학을 참조할 수 있으며, 여기서 후자는 반드시는-아닌-응용 수학을 의미합니다... [강조 추가됨][8]

프리드리히 엥겔스(Friedrich Engels)는 그의 1878년 책 Anti-Dühring에서 "순수 수학에서 마음이 자신의 창조물과 상상만을 다룬다는 것은 전혀 사실이 아닙니다. 숫자와 도형의 개념은 현실의 세계 이외의 임의의 출처에서 발명되어 온 것이 아닙니다"라고 주장했습니다.[9]: 36   그는 더 나아가 "원기둥의 한 변에 대한 직사각형의 회전으로부터 원기둥의 형태를 추론한다는 아이디어를 내기 전에, 많은 실제 직사각형과 원기둥이, 어쨌든 형태에서 불완전하더라도, 조사되어 왔어야 합니다. 다른 모든 과학과 마찬가지로, 수학도 인간의 필요에서 비롯되었습니다...그러나, 모든 각 사고 부문에서와 마찬가지로, 발전의 특정 단계에서, 현실 세계로부터 추상화된 법칙은 현실 세계와 분리되어 있고, 그 세상이 따라야 하는 외부에서 오는 법칙처럼 독립적인 어떤 것으로서 그것에 대항하여 세워졌습니다"라고 주장했습니다.[9]: 37 

See also

References

  1. ^ "Pure Mathematics". University of Liverpool. Retrieved 2022-03-24.
  2. ^ Piaggio, H. T. H., "Sadleirian Professors", in O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (eds.), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
  3. ^ Robinson, Sara (June 2003). "Still Guarding Secrets after Years of Attacks, RSA Earns Accolades for its Founders" (PDF). SIAM News. 36 (5).
  4. ^ Boyer, Carl B. (1991). "The age of Plato and Aristotle". A History of Mathematics (Second ed.). John Wiley & Sons, Inc. pp. 86. ISBN 0-471-54397-7.
  5. ^ Boyer, Carl B. (1991). "Euclid of Alexandria". A History of Mathematics (Second ed.). John Wiley & Sons, Inc. pp. 101. ISBN 0-471-54397-7.
  6. ^ a b Boyer, Carl B. (1991). "Apollonius of Perga". A History of Mathematics (Second ed.). John Wiley & Sons, Inc. pp. 152. ISBN 0-471-54397-7.
  7. ^ A. S. Hathaway (1901) "Pure mathematics for engineering students", Bulletin of the American Mathematical Society 7(6):266–71.
  8. ^ Andy Magid (November 2005) Letter from the Editor, Notices of the American Mathematical Society, page 1173
  9. ^ a b Engels, Frederick (1987). Marx Engels Collected Works (Volume 25) (English ed.). Moscow: Progress Publishers. p. 33-133. ISBN 0-7178-0525-5.

External links

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