Pythagorean trigonometric identity

피타고라스 삼각 항등식(Pythagorean trigonometric identity)은, 역시 간단히 피타고라스 항등식이라고 불리며, 삼각 함수(trigonometric function)의 관점에서 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)를 표현하는 항등식(identity)입니다. 각도-의-합 공식에 따르면, 그것은 사인(sine)과 코사인(cosine) 함수 사이의 기본 관계 중 하나입니다.

그 항등식은 다음과 같습니다:

\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1.

평소와 같이, $sin 2 θ$ 는 ${\textstyle (\sin \theta )^{2}}$ 을 의미합니다.

Proofs and their relationships to the Pythagorean theorem

Proof based on right-angle triangles

임의의 닮은 삼각형(similar triangles)은 만약 우리가 그것들의 모두에서 같은 각도를 선택하면, 각도를 정의하는 두 변의 비율은 실제 크기에 관계없이 닮은 삼각형이 선택되는지 여부에 관계없이 같다는 속성을 가집니다: 그 비율은 변의 길이가 아니라 세 각도에 의존합니다. 따라서 그림에서 닮은 직각 삼각형 중 하나에 대해, 그것의 빗변에 대한 수평 변의 비율은 같은 것, 즉, cos θ입니다.

직각 삼각형의 변의 관점에서 사인과 코사인 함수의 기본 정의는 다음과 같습니다:

\sin \theta ={\frac {\mathrm {opposite} }{\mathrm {hypotenuse} }}={\frac {b}{c}}

\cos \theta ={\frac {\mathrm {adjacent} }{\mathrm {hypotenuse} }}={\frac {a}{c}}

피타고라스식 항등식은 위의 두 정의를 모두 제곱하고 더함으로써 따라옵니다; 항등식의 왼쪽 변(left-hand side)은 그때에 다음이 됩니다:

{\frac {\mathrm {opposite} ^{2}+\mathrm {adjacent} ^{2}}{\mathrm {hypotenuse} ^{2}}}

이것은 피타고라스 정리에 의해 1과 같습니다. 이 정의는 단위 원에 대해 $x=\cos \theta$ and $y=\sin \theta$ 를 정의하는 정의하고 따라서 반지름 c의 원에 대해 $x=c\cos \theta$ 와 $y=c\sin \theta$ 이고 y-축에서 삼각형을 반사하고 $a=x$ 와 $b=y$ 를 설정하는 정의에 기인하여 모든 각도에 대해 유효합니다.

대안적으로, 삼각 대칭, 이동, 및 주기성에서 구해진 항등식이 사용될 수 있습니다. 주기성 항등식에 의해, 우리는 만약 그 공식이 −π < θ ≤ π에 대해 참이면 그것은 모든 실수 θ에 대해 참이라고 말할 수 있습니다. 다음으로 우리는 π/2 < θ ≤ π 범위를 입증하는데, 이것을 하기 위해 t = θ − π/2라고 놓으면, t는 이제 0 < t ≤ π/2 범위에 있게 됩니다. 그런-다음 일부 기본 이동 항등식의 제곱된 버전을 사용할 수 있습니다 (제곱하면 편리하게 음의 부호를 제거합니다):

\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =\sin ^{2}\left(t+{\frac {1}{2}}\pi \right)+\cos ^{2}\left(t+{\frac {1}{2}}\pi \right)=\cos ^{2}t+\sin ^{2}t=1.

남아있는 전부는 그것을 −π < θ < 0에 대해 입증하는 것입니다; 이것은 다음을 얻기 위해 대칭 항등식을 제곱함으로써 수행될 수 있습니다:

\sin ^{2}\theta =\sin ^{2}(-\theta ){\text{ and }}\cos ^{2}\theta =\cos ^{2}(-\theta ).

Related identities

다음 항등식은

1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta

및

1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta

역시 피타고라스 삼각 항등식이라고 불립니다.^[1] 만약 직각 삼각형의 한 다리가 길이 1을 가지면, 해당 다리에 인접한 각도의 탄젠트는 나머지 다른 다리의 길이이고, 그 각도의 시컨트는 빗변의 길이입니다.

\tan \theta ={\frac {b}{a}}\ ,

및:

\sec \theta ={\frac {c}{a}}\ .

이 방법에서, 탄젠트와 시컨트를 포함하는 이 삼각 항등식은 피타고라스 정리로부터 따릅니다. 길이 1의 다리 반대쪽 각도는 (이 각도는 φ = π/2 − θ로 라벨 붙일 수 있음) 나머지 다른 다리의 길이와 같은 코탄젠트와 빗변의 길이와 같은 코시컨트를 가집니다. 그 방법에서, 탄젠트와 코탄젠트를 포함하는 이 삼각 항등식은 역시 피타고라스 정리로부터 따릅니다.

다음 테이블은 그것들을 주요 항등식과 관련된 인수 또는 제수를 갖는 항등식을 제공합니다.

원래 항등식	제수	제수 방정식	도출된 항등식	도출된 항등식 (변 이동)
$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$	$\cos ^{2}\theta$	${\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}+{\frac {\cos ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}$	$\tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta$	$\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta -1$
$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$	$\sin ^{2}\theta$	${\frac {\sin ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}+{\frac {\cos ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}={\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}$	$1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta$	$\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta -1$

Proof using the unit circle

유클리드 평면에서 원점에 중심을 둔 단위 원은 다음 방정식에 의해 정의됩니다:^[2]

x^{2}+y^{2}=1.

각도 θ가 주어지면, x-축에서 각도 θ에서 단위 원 위의 고유한 점 P가 있고, P의 x-좌표와 y-좌표는 다음과 같습니다:^[3]

x=\cos \theta \ \mathrm {and} \ y=\sin \theta \ .

결과적으로, 단위 원에 대해 그 방정식으로부터:

\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1\ ,

이것은 피타고라스 항등식입니다.

그림에서, 점 P는 음의 x-좌표를 가지고, x = cosθ에 의해 적절하게 제공되며, 음수: cosθ = −cos(π−θ )입니다. 점 P는 양의 y-좌표를 가지고, sinθ = sin(π−θ ) > 0입니다. θ가 영에서 전체 원 θ = 2π로 증가함에 따라, 사인과 코사인은 변하는 사분면에서 올바른 부호를 갖는 x와 y를 유지하기 위해 부호를 변경합니다. 그림은 각도가 사분면에 따라 변할 때 사인 함수의 부호가 어떻게 변하는지 보여줍니다.

x-축과 y-축이 수직이기 때문에, 이 피타고라스 항등식은 길이 1의 빗변을 갖는 삼각형에 대해 피타고라스 정리에 동등합니다 (이것은 차례로 닮은-삼각형 논증을 적용함으로써 전체 피타고라스 정리와 동등합니다). 짧은 설명에 대해 단위 원(unit circle)을 참조하십시오.

Proof using power series

삼각 함수는 역시 거듭제곱 급수(power series)를 사용하여 정의될 수 있습니다. 즉 (라디안(radian)에서 측정된 각도 x에 대해):^[4]^[5]

{\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1},\\\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}.\end{aligned}}

거듭제곱 급수의 곱셈과 나눗셈에서 거듭제곱 급수에 대해 형식적 곱셈 법칙을 사용하여 (여기서 급수의 형식을 설명하기 위해 적절하게 수정됨), 우리는 다음을 얻습니다:

{\begin{aligned}\sin ^{2}x&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i+1)!}}{\frac {(-1)^{j}}{(2j+1)!}}x^{(2i+1)+(2j+1)}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{n-1}}{(2i+1)!(2(n-i-1)+1)!}}\right)x^{2n}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n-1}{2n \choose 2i+1}\right){\frac {(-1)^{n-1}}{(2n)!}}x^{2n},\\\cos ^{2}x&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i)!}}{\frac {(-1)^{j}}{(2j)!}}x^{(2i)+(2j)}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{n}}{(2i)!(2(n-i))!}}\right)x^{2n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}{2n \choose 2i}\right){\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}.\end{aligned}}

sin²에 대한 표현에서, n은 적어도 1이어야 하고, 반면에 cos²에 대한 표현에서, 상수 항(constant term)은 1과 같습니다. 그것들의 합의 남아있는 항들은 이항 정리(binomial theorem)에 의해 (제거된 공통 인수를 갖는) 다음입니다:

\sum _{i=0}^{n}{2n \choose 2i}-\sum _{i=0}^{n-1}{2n \choose 2i+1}=\sum _{j=0}^{2n}(-1)^{j}{2n \choose j}=(1-1)^{2n}=0

결과적으로,

\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1\ ,

이것은 피타고라스 삼각 항등식입니다.

삼각 함수가 이런 방법으로 정의될 때, 피타고라스 정리와 조합에서 항등식은 이들 거듭제곱 급수가 우리가 이전 섹션에서 사용했던 단위 원을 매개변수화(parameterize)한다는 것을 보여줍니다. 이 정의는 사인과 코사인 함수를 엄격한 방식으로 구성하고 실제로 앞의 두 함수를 포함하도록 그것들이 미분-가능을 입증합니다.

Proof using the differential equation

사인과 코사인은 다음 미분 방정식에 대한 두 가지 해로 정의될 수 있습니다:^[6]

y''+y=0

이때, 각각 $y (0) = 0, y' (0) = 1$ 와 $y (0) = 1, y' (0) = 0$ 를 만족시킵니다. 보통의 미분 방정식(ordinary differential equation)의 이론에서 첫 번째 해, 사인이 두 번째 해, 코사인을 도함수로 갖는 것을 따르고, 이로부터 코사인의 도함수가 사인의 음수임이 따릅니다. 그 항등식은 다음 함수가 상수이고 1과 같다는 역설과 동등합니다:

z=\sin ^{2}x+\cos ^{2}x

.

체인 규칙(chain rule)을 사용하여 미분하면 다음을 제공합니다:

{\frac {d}{dx}}z=2\sin x\ \cos x+2\cos x\ (-\sin x)=0\ ,

따라서 z는 상수입니다. 계산은 z(0) = 1이고 z가 상수이므로 모든 x에 대해 z = 1이므로 피타고라스 항등식이 설립됨을 확인합니다.

유사한 증명은 사인이 도함수로 코사인을 갖고, 코사인은 도함수로 음의 사인을 가짐을 설립하기 위해 위와 같은 거듭제곱 급수를 사용하여 완료될 수 있습니다. 사실, 보통의 미분 방정식과 거듭제곱 급수에 의한 정의는 대부분의 항등식의 유사한 유도로 이어집니다.

이 항등식의 증명은 유클리드의 피타고라스 정리의 시연과 직접적인 관련이 없습니다.

Proof using Euler's formula

오일러 공식(Euler's formula)은 다음임을 말합니다:

e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta

따라서,

\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =(\cos \theta +i\sin \theta )(\cos \theta -i\sin \theta )=e^{i\theta }e^{-i\theta }=1

.

Notes

^ Lawrence S. Leff (2005). PreCalculus the Easy Way (7th ed.). Barron's Educational Series. p. 296. ISBN 0-7641-2892-2.
^ This result can be found using the distance formula $d={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ for the distance from the origin to the point $(x,\ y)$ . See Cynthia Y. Young (2009). Algebra and Trigonometry (2nd ed.). Wiley. p. 210. ISBN 978-0-470-22273-7. This approach assumes Pythagoras' theorem. Alternatively, one could simply substitute values and determine that the graph is a circle.
^ Thomas W. Hungerford, Douglas J. Shaw (2008). "§6.2 The sine, cosine and tangent functions". Contemporary Precalculus: A Graphing Approach (5th ed.). Cengage Learning. p. 442. ISBN 978-0-495-10833-7.
^ James Douglas Hamilton (1994). "Power series". Time series analysis. Princeton University Press. p. 714. ISBN 0-691-04289-6.
^ Steven George Krantz (2005). "Definition 10.3". Real analysis and foundations (2nd ed.). CRC Press. pp. 269–270. ISBN 1-58488-483-5.
^ Tyn Myint U., Lokenath Debnath (2007). "Example 8.12.1". Linear partial differential equations for scientists and engineers (4th ed.). Springer. p. 316. ISBN 978-0-8176-4393-5.

[Leff-1] Lawrence S. Leff (2005). PreCalculus the Easy Way (7th ed.). Barron's Educational Series. p. 296. ISBN 0-7641-2892-2.

[circle-2] This result can be found using the distance formula $d={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ for the distance from the origin to the point $(x,\ y)$ . See Cynthia Y. Young (2009). Algebra and Trigonometry (2nd ed.). Wiley. p. 210. ISBN 978-0-470-22273-7. This approach assumes Pythagoras' theorem. Alternatively, one could simply substitute values and determine that the graph is a circle.

[Shaw-3] Thomas W. Hungerford, Douglas J. Shaw (2008). "§6.2 The sine, cosine and tangent functions". Contemporary Precalculus: A Graphing Approach (5th ed.). Cengage Learning. p. 442. ISBN 978-0-495-10833-7.

[Hamilton-4] James Douglas Hamilton (1994). "Power series". Time series analysis. Princeton University Press. p. 714. ISBN 0-691-04289-6.

[Krantz-5] Steven George Krantz (2005). "Definition 10.3". Real analysis and foundations (2nd ed.). CRC Press. pp. 269–270. ISBN 1-58488-483-5.

[Debnath-6] Tyn Myint U., Lokenath Debnath (2007). "Example 8.12.1". Linear partial differential equations for scientists and engineers (4th ed.). Springer. p. 316. ISBN 978-0-8176-4393-5.

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