Euler's formula

오일러의 공식(Euler's formula)은, 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)의 이름을 따서 지어졌으며, 삼각 함수(trigonometric functions)와 복소(complex) 지수 함수(exponential function) 사이의 기본 관계를 설립하는 복소 해석학(complex analysis)의 수학적(mathematical) 공식(formula)입니다. 오일러의 공식은 임의의 실수(real number) $x$ 에 대해 다음임을 말합니다:

e^{ix}=\cos x+i\sin x,

여기서 $e$ 는 자연 로그의 밑수(base of the natural logarithm), $i$ 는 허수 단위(imaginary unit)이고, $cos$ 와 $sin$ 는 각각 삼각 함수 코사인(cosine)과 사인(sine)입니다. 이 복소 지수 함수는 때때로 $cis x$ ("cosine plus i sine")로 표시됩니다. 공식은 만약 $x$ 가 복소수(complex number)이면 여전히 유효하고, 따라서 일부 저자는 오일러의 공식으로 보다 일반적인 복소 버전을 참조합니다.^[1]

오일러의 공식은 수학, 물리학 및 공학 분야에서 널리 사용됩니다. 물리학자 리처드 파인만(Richard Feynman)은 방정식을 "우리의 보석"과 "수학에서 가장 놀라운 공식"이라고 불렀습니다.^[2]

$x = π$ 일 때, 오일러의 공식은 $e iπ + 1 = 0$ 로 평가되며, 이것은 오일러의 항등식(Euler's identity)으로 알려져 있습니다.

History

영국의 수학자 로저 코츠(Roger Cotes) (그는 1716년, 오일러가 겨우 9살 때 사망했음)는 그 공식을 알았던 첫 번째 사람이었습니다.^[3]

1714년에 그는 다음으로 ( ${\sqrt {-1}}$ 의 잘못-배치된 인수를 수정한 후) 해석될 수 있는 기하학적 논증을 제시했습니다:^[4]^[5]

ix=\ln(\cos x+i\sin x).

이 방정식을 지수화하면 오일러의 공식이 산출합니다. 로그적 명제는 복소수에 대해 보편적으로 정확하지 않는데, 왜냐하면 복소 로그는 $2 πi$ 의 배수만큼 다른, 무한하게 많은 값을 가질 수 있기 때문임을 주목하십시오.

1740년경 오일러는 로그 대신 지수 함수로 관심을 돌렸고 그의 이름을 딴 공식을 얻었습니다. 그는 지수와 삼각 표현의 급수 전개를 비교함으로써 공식을 얻었습니다.^[6]^[5] 그것은 1748년에 Introductio in analysin infinitorum에 출판되었고^[7] 오일러는 스위스 동포 요한 베르누이(Johann Bernoulli)를 통해 지식을 습득했을 수 있습니다.

베르누이는 다음임을 주목했습니다:^[8]

{\frac {1}{1+x^{2}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{1-ix}}+{\frac {1}{1+ix}}\right).

그리고 다음이므로

\int {\frac {dx}{1+ax}}={\frac {1}{a}}\ln(1+ax)+C,

위의 방정식은 자연 로그를 허수 (복소수)와 관련시킴으로써 복소 로그(complex logarithm)에 대한 어떤 것을 알려줍니다. 베르누이는, 어쨌든, 적분을 평가하지 않았습니다.

베르누이와 오일러 (그는 위의 방정식도 알고 있었음)와의 서신-교환은 베르누이가 복소 로그를 완전히 이해하지 못했음을 보여줍니다. 오일러는 역시 복소 로그(complex logarithm)가 무한하게 많은 값을 가질 수 있다고 제안했습니다.

복소수를 복소 평면(complex plane)에서 점으로 보는 것은 약 50년 후 캐스퍼 비슬(Caspar Wessel)에 의해 설명되었습니다.

Definitions of complex exponentiation

$x$ 의 실수 값에 대해 지수 함수 $e x$ 는 몇 가지 다른 동등한 방법으로 정의될 수 있습니다 (지수 함수의 특성화를 참조하십시오). 이들 방법 중 여럿은 $x$ 자리에 $z$ 를 대체하고 복소 대수적 연산을 사용함으로써 $z$ 의 복소 값에 대해 $e z$ 의 정의를 제공하기 위해 직접 확장될 수 있습니다. 특히, 우리는 동등한 것들인 세 가지 다음 정의 중 임의의 것을 사용할 수 있습니다. 보다 진보된 관점에서, 이들 각 정의는 복소 평면에 $e x$ 의 고유한 해석적 연속(analytic continuation)을 제공하는 것으로 해석될 수 있습니다.

Differential equation definition

지수 함수 $z\mapsto e^{z}$ 는 다음을 만족하는 복소 변수(complex variable)의 고유한 미분-가능 함수(differentiable function)입니다:

{\frac {de^{z}}{dz}}=e^{z}

및

e^{0}=1.

Power series definition

복소수 $z$ 에 대해,

e^{z}=1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.

비율 테스트(ratio test)를 사용하여, 이 거듭제곱 급수(power series)는 무한 수렴의 반지름(radius of convergence)을 가지고 따라서 모든 복소수 $z$ 에 대해 $e z$ 를 정의함을 보여줄 수 있습니다.

Limit definition

복소수 $z$ 에 대해,

e^{z}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.

여기서, n은 양의 정수(positive integer)로 제한되며, 따라서 지수 n을 갖는 거듭제곱이 무엇을 의미하는지에 대해서는 의문의 여지가 없습니다.

Proofs

공식의 다양한 증명이 가능합니다.

Using differentiation

이 증명은 삼각 함수와 지수 표현의 몫이 상수 함수 일이므로, 그것들은 같아야 함을 보여줍니다 (지수 함수는 결코 0이 아니므로,^[9] 이것이 허용됩니다).^[10]

$f(θ)$ 를 모든 실수 $θ$ 에 대해 다음 함수라고 놓습니다:

f(\theta )=e^{-i\theta }(\cos \theta +i\sin \theta )

.

미분하여, 우리는 곱 규칙(product rule)에 의해 다음을 가집니다:

f'(\theta )=e^{-i\theta }(i\cos \theta -\sin \theta )-ie^{-i\theta }(cos\theta +i\sin \theta )=0

따라서, $f (θ)$ 는 상수입니다. $f (0) = 1$ 이므로, 모든 실수 $θ$ 에 대해 $f (θ) = 1$ 이고, 따라서 다음입니다:

e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .

Using power series

다음은 거듭제곱-급수 전개, 마찬가지로 $i$ 의 거듭제곱에 대한 기본 사실을 사용하여 오일러의 공식의 증명입니다:^[11]

{\begin{aligned}i^{0}&=1,&i^{1}&=i,&i^{2}&=-1,&i^{3}&=-i,\\i^{4}&=1,&i^{5}&=i,&i^{6}&=-1,&i^{7}&=-i\\&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \end{aligned}}

이제 위로부터 거듭제곱-급수 정의를 사용하여, 우리는 $x$ 의 모든 실수 값에 대해 다음임을 보입니다:

{\begin{aligned}e^{ix}&=1+ix+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+{\frac {(ix)^{4}}{4!}}+{\frac {(ix)^{5}}{5!}}+{\frac {(ix)^{6}}{6!}}+{\frac {(ix)^{7}}{7!}}+{\frac {(ix)^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&=1+ix-{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {ix^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {ix^{5}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}-{\frac {ix^{7}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&=\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\[8pt]&=\cos x+i\sin x,\end{aligned}}

여기서 마지막 단계에서 우리는 두 항이 $cos x$ 와 $sin x$ 에 대해 맥클로린 급수(Maclaurin series)임을 인지합니다. 항의 다시-정렬은 정당화되는데 왜냐하면 각 급수는 절대적으로 수렴(absolutely convergent)이기 때문입니다.

Using polar coordinates

또 다른 증명은 모든 복소수가 극 좌표에서 표현될 수 있다는 사실에 근거합니다.^[12] 그러므로, $x$ 에 의존하는 어떤 $r$ 과 $θ$ 에 대해,

e^{ix}=r(\cos \theta +i\sin \theta ).

가정은 $r$ 과 $θ$ 에 대해 만들어지지 않았습니다; 그것들은 증명의 과정에서 결정될 것입니다. 지수 함수의 정의의 임의의 것으로부터, $e ix$ 의 도함수가 $ie ix$ 임을 보일 수 있습니다. 그러므로, 양쪽 변을 미분하면 다음을 제공합니다:

ie^{ix}=(\cos \theta +i\sin \theta ){\frac {dr}{dx}}+r(-\sin \theta +i\cos \theta ){\frac {d\theta }{dx}}.

$r (cos θ + i sin θ)$ 를 $e ix$ 로 대체하고 이 공식에서 실수 부분과 허수 부분을 같게 하면 $dr / dx = 0$ 와 $dθ / dx = 1$ 를 제공합니다. 따라서, $r$ 은 상수이고, $θ$ 는 어떤 상수 $C$ 에 대해 $x + C$ 입니다. 초기 값 $r (0) = 1$ 과 $θ (0) = 0$ 은 $e 0 i = 1$ 에서 오며, $r = 1$ 과 $θ = x$ 를 제공합니다. 이것은 다음 공식을 입증합니다:

e^{ix}=1(\cos x+i\sin x)=\cos x+i\sin x.

Applications

Applications in complex number theory

Interpretation of the formula

이 공식은 함수 $e iφ$ 가 단위 복소수(unit complex number)라는 말하는 것으로 해석될 수 있습니다. 즉, 그것은 $φ$ 가 실수를 통해 범위를 지정함에 따라 복소 평면(complex plane)에서 단위 원(unit circle)을 추적합니다. 여기서 $φ$ 는 원점과 단위 원 위의 한 점을 연결하는 직선이 양의 실수 축(positive real axis)과 만드는 각도(angle)이며, 반시계-방향 및 라디안(radian)으로 측정됩니다.

원래 증명은 지수 함수(exponential function) $e z$ (여기서 $z$ 는 복소수) 및 실수 $x$ 에 대해 $sin x$ 와 $cos x$ 의 테일러 급수(Taylor series) 전개를 기반으로 합니다 (아래를 참조하십시오). 사실, 같은 증명은 오일러의 공식이 심지어 모든 복소수 $x$ 에 대해 유효함을 보여줍니다.

복소 평면(complex plane)에서 한 점은 데카르트 좌표(cartesian coordinates)에서 쓰인 복소수에 의해 표현될 수 있습니다. 오일러의 공식은 데카르트 좌표와 극 좌표(polar coordinates) 사이의 변환의 수단을 제공합니다. 극 좌표는 복소수의 곱셈 또는 거듭제곱에서 사용될 때 수학을 단순화합니다. 임의의 복소수 $z = x + iy$ 와 그것의 복소 켤레 $z = x - iy$ 는 다음으로 쓸 수 있습니다:

{\begin{aligned}z&=x+iy=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi },\\{\bar {z}}&=x-iy=|z|(\cos \varphi -i\sin \varphi )=re^{-i\varphi },\end{aligned}}

여기서

x = Re z

는 실수 부분,

y = Im z

는 허수 부분,

r = | z | = \sqrt x 2 + y 2

는

z

의 크기(magnitude)이고

φ = arg z = atan2 (y, x)

입니다.

$φ$ 는 $z$ 의 편각(argument), 즉, $2 π$ 의 덧셈까지(up to) 정의되는 라디안(radian)에서 반-시계방향으로 측정된 x축과 벡터 z 사이의 각도입니다. 많은 교재는 $φ = atan2(y, x)$ 대신에 $φ = tan -1 y / x$ 를 쓰지만, 첫 번째 방정식은 $x \leq 0$ 일 때 조정이 필요합니다. 이것은 임의의 실수 $x$ 와 $y$ 에 대해, 둘 다 영이 아니고, 벡터 $(x, y)$ 와 $(- x, - y)$ 의 각도가 $π$ 라디안만큼 다르지만, $tan φ = y / x$ 의 동일한 값을 가지기 때문입니다.

Use of the formula to define the logarithm of complex numbers

이제, 이 유도된 공식을 취하면, 우리는 오일러의 공식을 복소수의 로그(logarithm)를 정의하기 위해 사용할 수 있습니다. 이것을 하기 위해, 우리는 역시 (지수의 역 연산으로) 로그의 정의를 사용합니다:

a=e^{\ln a},

그리고 임의의 복소수 $a$ 와 $b$ 에 대해 모두 유효함을 사용합니다:

e^{a}e^{b}=e^{a+b}

.

그러므로, 우리는 임의의 $z \neq 0$ 에 대해 다음을 쓸 수 있습니다:

z=|z|e^{i\varphi }=e^{\ln |z|}e^{i\varphi }=e^{\ln |z|+i\varphi }

.

양쪽 변에 로그를 취하면 다음임을 보여줍니다:

\ln z=\ln |z|+i\varphi ,

그리고 사실 이것은 복소 로그(complex logarithm)에 대해 정의로 사용될 수 있습니다. 복소수의 로그는 따라서 다중-값 함수(multi-valued function)인데, 왜냐하면 $φ$ 가 다중-값이기 때문입니다.

마지막으로, 다음 다른 지수 법칙과 함께 오일러의 공식은

\left(e^{a}\right)^{k}=e^{ak},

이것은 모든 정수 $k$ 에 대해 유지됨을 볼 수 있으며, 여러 삼각 함수(trigonometric identities), 마찬가지로 드 무아브르의 공식(de Moivre's formula)을 의미합니다.

Relationship to trigonometry

오일러의 공식은 해석학(analysis)과 삼각법(trigonometry) 사이의 강력한 연결을 제공하고, 지수 함수의 가중된 합(weighted sum)으로 사인과 코사인 함수의 해석을 제공합니다:

{\begin{aligned}\cos x&=\operatorname {Re} \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\\\sin x&=\operatorname {Im} \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.\end{aligned}}

위의 두 방정식은 오일러의 공식을 더하거나 빼고 코사인 또는 사인 중 하나로 풂으로써 유도될 수 있습니다:

{\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x,\\e^{-ix}&=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x\end{aligned}}

.

이들 공식은 심지어 복소 인수 $x$ 에 대해 삼각 함수의 정의로 사용될 수 있습니다. 예를 들어, $x = iy$ 라고 놓으면, 우리는 다음을 가집니다:

{\begin{aligned}\cos iy&={\frac {e^{-y}+e^{y}}{2}}=\cosh y,\\\sin iy&={\frac {e^{-y}-e^{y}}{2i}}={\frac {e^{y}-e^{-y}}{2}}i=i\sinh y.\end{aligned}}

복소 지수는 삼각법을 단순화하는데, 왜냐하면 그것들은 정현파 성분보다 조작하기 쉽기 때문입니다. 하나의 기법은 단순히 정현파를 지수의 관점에서 동등한 표현으로 변환하는 것입니다. 조작 후에도, 단순화된 결과는 여전히 실수-값입니다. 예를 들어:

{\begin{aligned}\cos x\cos y&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\cdot {\frac {e^{iy}+e^{-iy}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}{\bigg (}\underbrace {\frac {e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2}} _{\cos(x+y)}+\underbrace {\frac {e^{i(x-y)}+e^{-i(x-y)}}{2}} _{\cos(x-y)}{\bigg )}.\end{aligned}}

또 다른 기법은 복소 표현의 실수 부분(real part)의 관점에서 정현파를 표현하고 복소 표현에 대한 조작을 수행하는 것입니다. 예를 들어:

{\begin{aligned}\cos nx&=\operatorname {Re} \left(e^{inx}\right)\\&=\operatorname {Re} \left(e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\right)\\&=\operatorname {Re} {\Big (}e^{i(n-1)x}\cdot {\big (}\underbrace {e^{ix}+e^{-ix}} _{2\cos x}-e^{-ix}{\big )}{\Big )}\\&=\operatorname {Re} \left(e^{i(n-1)x}\cdot 2\cos x-e^{i(n-2)x}\right)\\&=\cos[(n-1)x]\cdot [2\cos x]-\cos[(n-2)x].\end{aligned}}

이 공식은 $n$ 의 정수 값과 임의의 (라디안에서) $x$ 에 대해 $cos nx$ 의 재귀 생성에 사용됩니다.

역시 페이저 산술(Phasor arithmetic)을 참조하십시오.

Topological interpretation

토폴로지(topology)의 언어에서, 오일러의 공식은 허수 지수 함수 $t\mapsto e^{it}$ 가 실수 직선 $\mathbb {R}$ 에서 단위 원 $\mathbb {S} ^{1}$ 으로의 토폴로지적 그룹(topological group)의 (전사(surjective)) 사상(morphism)임을 말합니다. 사실, 이것은 $\mathbb {R}$ 을 $\mathbb {S} ^{1}$ 의 덮는 공간(covering space)으로 전시합니다. 유사하게, 오일러의 항등식(Euler's identity)은 이 맵의 커널(kernel)이 $\tau \mathbb {Z}$ 임을 말하며, 여기서 $\tau =2\pi$ 입니다. 이들 관찰은 아래의 교환적 다이어그램(commutative diagram)에서 결합되고 요약될 수 있습니다:

Other applications

미분 방정식(differential equation)에서, 함수 $e ix$ 는, 심지어 최종 답이 사인과 코사인을 포함하는 실수 함수일지라도, 종종 해를 단순화기 위해 사용됩니다. 이것에 대한 이유는 지수 함수가 미분화(differentiation) 연산의 고유함수(eigenfunction)이기 때문입니다.

전기 공학(electrical engineering), 신호 처리(signal processing), 및 유사 분야에서, 시간이 지남에 따라 주기적으로 변하는 신호는 종종 정현파 함수의 조합으로 설명되고 (푸리에 해석(Fourier analysis) 참조), 이것들은 오일러의 공식을 사용하여 허수(imaginary) 지수를 갖는 지수 함수의 합으로 더 편리하게 표현됩니다. 역시, 회로의 페이저 분석(phasor analysis)은 커패시터 또는 인덕터의 임피던스를 나타내기 위해 오일러의 공식이 포함할 수 있습니다.

쿼터니언(quaternion)의 4-차원 공간에서, 허수 단위(imaginary unit)의 구(sphere)가 있습니다. 이 구 위의 임의의 점 r과 실수 x에 대해, 오일러의 공식이 적용됩니다:

\exp xr=\cos x+r\sin x,

그리고 그 원소는 쿼터니언에서 버서(versor)라고 불립니다. 모든 버서의 집합은 4-공간에서 3-구(3-sphere)를 형성합니다.

References

^ Moskowitz, Martin A. (2002). A Course in Complex Analysis in One Variable. World Scientific Publishing Co. p. 7. ISBN 981-02-4780-X.
^ Feynman, Richard P. (1977). The Feynman Lectures on Physics, vol. I. Addison-Wesley. p. 22-10. ISBN 0-201-02010-6.
^ Sandifer, C. Edward (2007), Euler's Greatest Hits, Mathematical Association of America ISBN 978-0-88385-563-8
^
Cotes wrote: "Nam si quadrantis circuli quilibet arcus, radio CE descriptus, sinun habeat CX sinumque complementi ad quadrantem XE ; sumendo radium CE pro Modulo, arcus erit rationis inter $EX+XC{\sqrt {-1}}$ & CE mensura ducta in ${\sqrt {-1}}$ ." (Thus if any arc of a quadrant of a circle, described by the radius CE, has sinus CX and sinus of the complement to the quadrant XE ; taking the radius CE as modulus, the arc will be the measure of the ratio between $EX+XC{\sqrt {-1}}$ $EX+XC{\sqrt {-1}}$ & CE multiplied by ${\sqrt {-1}}$ ${\sqrt {-1}}$ .) That is, consider a circle having center E (at the origin of the (x,y) plane) and radius CE. Consider an angle θ with its vertex at E having the positive x-axis as one side and a radius CE as the other side. The perpendicular from the point C on the circle to the x-axis is the "sinus" CX ; the line between the circle's center E and the point X at the foot of the perpendicular is XE, which is the "sinus of the complement to the quadrant" or "cosinus". The ratio between $EX+XC{\sqrt {-1}}$ $EX+XC{\sqrt {-1}}$ and CE is thus $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \$ $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \$ . In Cotes' terminology, the "measure" of a quantity is its natural logarithm, and the "modulus" is a conversion factor that transforms a measure of angle into circular arc length (here, the modulus is the radius (CE) of the circle). According to Cotes, the product of the modulus and the measure (logarithm) of the ratio, when multiplied by ${\sqrt {-1}}$ ${\sqrt {-1}}$ , equals the length of the circular arc subtended by θ, which for any angle measured in radians is CE • θ. Thus, ${\sqrt {-1}}CE\ln {\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\ }=(CE)\theta$ ${\sqrt {-1}}CE\ln {\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\ }=(CE)\theta$ . This equation has the wrong sign: the factor of ${\sqrt {-1}}$ ${\sqrt {-1}}$ should be on the right side of the equation, not the left side. If this change is made, then, after dividing both sides by CE and exponentiating both sides, the result is: $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta =e^{{\sqrt {-1}}\theta }$ $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta =e^{{\sqrt {-1}}\theta }$ , which is Euler's formula.
See:
- Roger Cotes (1714) "Logometria," Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 29 (338) : 5-45 ; see especially page 32. Available on-line at: Hathi Trust
- Roger Cotes with Robert Smith, ed., Harmonia mensurarum … (Cambridge, England: 1722), chapter: "Logometria", p. 28.
^ ^a ^b John Stillwell (2002). Mathematics and Its History. Springer.
^ Leonard Euler (1748) Chapter 8: On transcending quantities arising from the circle of Introduction to the Analysis of the Infinite, page 214, section 138 (translation by Ian Bruce, pdf link from 17 century maths).
^ Conway & Guy, p. 254–255
^ Bernoulli, Johann (1702). "Solution d'un problème concernant le calcul intégral, avec quelques abrégés par rapport à ce calcul" [Solution of a problem in integral calculus with some notes relating to this calculation]. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris. 1702: 289–297.
^ Apostol, Tom (1974). Mathematical Analysis. Pearson. p. 20. ISBN 978-0201002881. Theorem 1.42
^ user02138 (https://math.stackexchange.com/users/2720/user02138), How to prove Euler's formula: $e^{i\varphi}=\cos(\varphi) +i\sin(\varphi)$?, URL (version: 2018-06-25): https://math.stackexchange.com/q/8612
^ Ricardo, Henry J. A Modern Introduction to Differential Equations. p. 428.
^ Strang, Gilbert (1991). Calculus. Wellesley-Cambridge. p. 389. ISBN 0-9614088-2-0. Second proof on page.

External links

Elements of Algebra

[1] Moskowitz, Martin A. (2002). A Course in Complex Analysis in One Variable. World Scientific Publishing Co. p. 7. ISBN 981-02-4780-X.

[2] Feynman, Richard P. (1977). The Feynman Lectures on Physics, vol. I. Addison-Wesley. p. 22-10. ISBN 0-201-02010-6.

[3] Sandifer, C. Edward (2007), Euler's Greatest Hits, Mathematical Association of America ISBN 978-0-88385-563-8

[4] Cotes wrote: "Nam si quadrantis circuli quilibet arcus, radio CE descriptus, sinun habeat CX sinumque complementi ad quadrantem XE ; sumendo radium CE pro Modulo, arcus erit rationis inter $EX+XC{\sqrt {-1}}$ & CE mensura ducta in ${\sqrt {-1}}$ ." (Thus if any arc of a quadrant of a circle, described by the radius CE, has sinus CX and sinus of the complement to the quadrant XE ; taking the radius CE as modulus, the arc will be the measure of the ratio between $EX+XC{\sqrt {-1}}$ & CE multiplied by ${\sqrt {-1}}$ .) That is, consider a circle having center E (at the origin of the (x,y) plane) and radius CE. Consider an angle θ with its vertex at E having the positive x-axis as one side and a radius CE as the other side. The perpendicular from the point C on the circle to the x-axis is the "sinus" CX ; the line between the circle's center E and the point X at the foot of the perpendicular is XE, which is the "sinus of the complement to the quadrant" or "cosinus". The ratio between $EX+XC{\sqrt {-1}}$ and CE is thus $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \$ . In Cotes' terminology, the "measure" of a quantity is its natural logarithm, and the "modulus" is a conversion factor that transforms a measure of angle into circular arc length (here, the modulus is the radius (CE) of the circle). According to Cotes, the product of the modulus and the measure (logarithm) of the ratio, when multiplied by ${\sqrt {-1}}$ , equals the length of the circular arc subtended by θ, which for any angle measured in radians is CE • θ. Thus, ${\sqrt {-1}}CE\ln {\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\ }=(CE)\theta$ . This equation has the wrong sign: the factor of ${\sqrt {-1}}$ should be on the right side of the equation, not the left side. If this change is made, then, after dividing both sides by CE and exponentiating both sides, the result is: $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta =e^{{\sqrt {-1}}\theta }$ , which is Euler's formula.
See:
Roger Cotes (1714) "Logometria," Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 29 (338) : 5-45 ; see especially page 32. Available on-line at: Hathi Trust

Roger Cotes with Robert Smith, ed., Harmonia mensurarum … (Cambridge, England: 1722), chapter: "Logometria", p. 28.

[5] Roger Cotes (1714) "Logometria," Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 29 (338) : 5-45 ; see especially page 32. Available on-line at: Hathi Trust

[6] Roger Cotes with Robert Smith, ed., Harmonia mensurarum … (Cambridge, England: 1722), chapter: "Logometria", p. 28.

[Stillwell-5] John Stillwell (2002). Mathematics and Its History. Springer.

[6] Leonard Euler (1748) Chapter 8: On transcending quantities arising from the circle of Introduction to the Analysis of the Infinite, page 214, section 138 (translation by Ian Bruce, pdf link from 17 century maths).

[7] Conway & Guy, p. 254–255

[8] Bernoulli, Johann (1702). "Solution d'un problème concernant le calcul intégral, avec quelques abrégés par rapport à ce calcul" [Solution of a problem in integral calculus with some notes relating to this calculation]. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris. 1702: 289–297.

[Apostol-9] Apostol, Tom (1974). Mathematical Analysis. Pearson. p. 20. ISBN 978-0201002881. Theorem 1.42

[10] user02138 (https://math.stackexchange.com/users/2720/user02138), How to prove Euler's formula: $e^{i\varphi}=\cos(\varphi) +i\sin(\varphi)$?, URL (version: 2018-06-25): https://math.stackexchange.com/q/8612

[11] Ricardo, Henry J. A Modern Introduction to Differential Equations. p. 428.

[Strang-12] Strang, Gilbert (1991). Calculus. Wellesley-Cambridge. p. 389. ISBN 0-9614088-2-0. Second proof on page.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

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[8]

[9]

[10]

[11]

[12]