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Quadrature (mathematics)

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Original article: w:Quadrature (mathematics)
For other uses, see Quadrature (disambiguation).

수학(mathematics)에서, 구적법(quadrature)은 넓이(area)를 결정하는 것의 과정을 의미하는 역사적인 용어입니다. 이 용어는 미분 방정식(differential equation)의 문맥에서 오느날에도 여전히 사용되며, 여기서 "구적법에 의한 방정식을 푸는 것"은 적분(integrals)의 관점에서 그의 해를 표현하는 것을 의미합니다.

구적법 문제는 미적분학(calculus) 개발에서 주요 문제 원인 중 하나로 사용되고, 수학적 해석학(mathematical analysis)에서 중요한 주제로 소개합니다.

History

Antique method to find the geometric mean

피타고라스(Pythagorean) 주의에 따르면, 고대 그리스의 수학자들(Mathematicians of ancient Greece)은 같은 넓이(area)를 가지는 정사각형(square) (정사각형화)을 기하학적으로 구성하는 과정으로 그림의 넓이의 결정, 따라서 이 과정에 대해 이름 구적법을 이해했습니다. 그리스 기하학자가 항상 성공한 것은 아니지만 (원의 구적법(quadrature of the circle)을 참조하십시오), 그들은 히포크라테스의 달(lunes of Hippocrates) 및 포물선의 구적법(the quadrature of the parabola)과 같은 그의 변이 단순한 선분이 아닌 일부 그림의 구적법을 수행했습니다. 그리스 전통에 의해, 이들 구조는 오직 나침반과 직선자(compass and straightedge)을 사용하여 수행해야 했습니다.

변 a와 b를 가진 직사각형(rectangle)의 구적법에 대해, 변 (a와 b의 기하 평균(geometric mean))을 가진 정사각형을 구성하는 것이 필연적입니다. 이 목적에 대해, 다음을 사용하는 것이 가능합니다: 만약 우리가 길이 a와 b의 선분을 결함으로 만들어진 지름을 가진 원을 그리면, 지름에 수직으로 그려진 선분의 높이 (다이어그램에서 BH)는, 그들의 연결의 점에서 그것이 원을 교차하는 점까지, a와 b의 기하 평균과 같습니다. 유사한 기하학적 구성은 평행사변형과 삼각형의 구적법의 문제를 해결합니다.

The area of a segment of a parabola is 4/3 that of the area of a certain inscribed triangle.

곡선형(curvilinear) 그림에 대한 구적법의 문제는 훨씬 더 어렵습니다. 나침반과 직선자와 함께 원의 구적법은 19세기에 불가능하다는 것이 입증되었습니다. 그럼에도 불구하고, 일부 그림 (예를 들어 히포크라테스의 달)에 대해 구적법이 수행될 수 있습니다. 아르키메데스(Archimedes)에 의해 발견된 구의 표면 및 포물선(parabola) 부분의 구적법은 고대에서 해석학의 가장-높은 성과가 되었습니다.

  • 구의 표면의 넓이는 이 구의 큰 원(great circle)에 의해 형성된 원의 넓이의 네 배와 같습니다.
  • 자르는 직선에 의해 결정된 포물선의 부분의 넓이는 이 부분에 내접된 삼각형 넓이의 4/3입니다.

이들 결과의 증명에 대해, 아르키메데스는 에우독소스(Eudoxus)의 소진의 방법(method of exhaustion)을 사용했습니다.[1]: 113 

중세 유럽에서, 구적법은 임의의 방법에 의해 넓이의 계산을 의미했습니다. 가장 자주 불가분의 방법(method of indivisibles)이 사용되었습니다; 그것은 그리스인의 기하학적 구성보다 덜 엄격했었지만, 그것은 더 단순하고 보다 강력했습니다. 그것의 도움과 함께, 갈릴레오 갈릴레이(Galileo Galilei) 및 질 두 호베르발(Gilles de Roberval)은 사이클로이드(cycloid) 아치의 넓이를 발견했었고, 그레고와르 데 생-빈센트(Grégoire de Saint-Vincent)는 쌍곡선(hyperbola) 아래의 넓이를 조사했었고 (Opus Geometricum, 1647),[1]: 491  및 알폰스 안토니오 데 사라사 (Alphonse Antonio de Sarasa), 두 세인트-빈센트의 학생이자 주석자는 이 넓이와 로그(logarithm)의 관계에 주목했습니다.[1]: 492 [2]

존 월리스(John Wallis)는 이 방법을 대수화했습니다; 그는 자신의 Arithmetica Infinitorum (1656)에서 지금 한정 적분(definite integral)으로 불리는 것과 동등한 일부 급수를 썼었고, 그는 그들의 값을 계산했습니다. 아이작 배로(Isaac Barrow) 및 제임스 그레고리(James Gregory)는 일부 대수적 곡선(algebraic curves)과 나선(spiral)에 대한 구적법을 발전 시켰습니다. 크리스티안 하위헌스(Christiaan Huygens)는 일부 회전 고체(solids of revolution)의 표면 넓이의 구적법을 성공적으로 수행했습니다.

생-빈센트와 데 사라사에 의한 쌍곡선의 구적법은 결정적으로 중요한 새로운 함수(function), 자연 로그(natural logarithm)를 제공했습니다. 적분 미적분(integral calculus)의 발명과 함께 넓이 계산에 대해 보편적인 방법이 생겼습니다. 이에 따라, 용어 구적법은 전통적으로 변해 왔고, 대신 현대 문구 넓이를 찾는 것이 기술적으로 일변수 한정 적분의 계산에 대해 보다 공통적으로 사용됩니다.

See also

Notes

  1. ^ a b c Katz, Victor J. (1998). A History of Mathematics: An Introduction (2nd ed.). Addison Wesley Longman. ISBN 0321016181.
  2. ^ Enrique A. Gonzales-Velasco (2011) Journey through Mathematics, § 2.4 Hyperbolic Logarithms, page 117

References

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