Radian

Radian
Radian
Unit system	SI derived unit
Unit of	Angle
Symbol	rad, c or r
In units	Dimensionless with an arc length equal to the radius, i.e. 1 m/m
Conversions
1 rad in ...	... is equal to ...
milliradians	1,000 milliradians
turns	1/2π turn
degrees	180/π ≈ 57.296°
gons	200/π ≈ 63.662g

라디안(radian)은 각도(angle)를 측정하는 것에 대해 SI 단위(SI unit)이고, 수학(mathematics)의 많은 영역에서 사용되는 각도 측정의 표준 단위입니다. 단위 원(unit circle)의 호의 길이는 그것이 끼어있는(subtend) 각도(angle)의 라디안 안에 측정에 대한 수치와 같습니다; 일 라디안은 57.3도(degrees) 바로 아래입니다 (OEIS: A072097에서 전개). 그 단위는 이전에는 SI 보조 단위(SI supplementary unit)였지만, 이 카테고리는 1995년에 폐지되었고 라디안은 이제 SI 유도 단위(SI derived unit)로 여겨집니다.^[1]

기호 rad는 라디안을 나타내기 위해 사용될 수 있지만 (예를 들어, $1.3$ 라디안의 각도는 $1.3 rad$ 로 쓸 수 있습니다), 이것은 종종 생략되며, 특히 수학적 쓰기에서 그렇습니다.

Definition

라디안은 호의 길이가 호의 반지름(radius)으로 나눠진 것일 때 원형 호(arc)에 의해 끼워진(subtended) 평면 각도(angle)를 묘사합니다. 일 라디안은 원의 반지름(radius)에 대한 길이에서 같은 호(arc)에 의해 원(circle)의 중심에 끼워진 각도입니다. 보다 일반적으로, 그러한 끼워진 각도의 라디안에서 크기는 원의 반지름에 대한 호 길이의 비율과 같습니다: 즉, θ = s / r이며, 여기서 θ는 라디안에서 끼워진 각도, s는 원호 길이, 및 r은 반지름입니다. 반대로, 닫힌 호의 길이는 라디안에서 각도의 크기에 의해 곱해진 반지름과 같습니다; 즉, s = rθ입니다.

두 길이의 비율처럼, 라디안은 단위 기호가 필요없는 "순수한 숫자(pure number)"이고, 수학적으로 쓰기에서 기호 "rad"는 거의 항상 생략됩니다^{[citation needed]}. 임의의 기호의 부재에서 각도를 정량화할 때, 라디안이 가정되고, 각도가 의도될 때 기호 °가 사용됩니다. 라디안은 1로 정의됩니다.^[2]

A complete revolution is 2 $π$ radians (shown here with a circle of radius one and thus circumference 2 $π$ ).

그것은 하나의 완전한 회전 (360도)의 라디안에서 크기는 전체 원주 길이를 반지름으로 나눈 것, 또는 2 $π$ r / r, 또는 2 $π$ 임을 따릅니다. 따라서 2 $π$ 라디안은 360도와 같으며, 일 라디안은 180/ $π$ 각도임을 의미합니다.

관계 $2\pi {\text{ rad}}=360^{\circ }$ 는 호 길이(arc length)에 대해 공식을 사용하여 도출될 수 있습니다. 호 길이에 대해 공식, 또는 $\ell _{arc}=2\pi r\left({\frac {\theta }{360^{\circ }}}\right)$ 을 취합니다. 단위 원을 가정합니다; 반지름은 그러므로 일입니다. 라디안의 정의는 원의 반지름과 같은 길이의 호에 끼워진 각도의 측정 값임을 앎으로써, 우리는 $1=2\pi \left({\frac {1{\text{ rad}}}{360^{\circ }}}\right)$ 임을 압니다. 이것은 나아가서 $1={\frac {2\pi {\text{ rad}}}{360^{\circ }}}$ 로 단순화될 수 있습니다. 양쪽 변에 $360^{\circ }$ 를 곱함으로써 $360^{\circ }=2\pi {\text{ rad}}$ 를 제공합니다.

History

각도의 도에 반대로, 라디안 측정의 개념은 통상적으로 1714년에 로저 코츠(Roger Cotes)에게 인정되었습니다.^[3]^[4] 그는 이름 이외의 모든 것에서 라디안을 묘사했고, 그는 그것의 자연스러움을 각도 측정의 단위로 인식했습니다. 용어 라디안은 널리 퍼지게 되기 전에, 단위는 공통적으로 각도의 원형 측정으로 불렀습니다.^[5]

호의 길이에 의해 각도를 측정하는 것의 아이디어는 다른 수학자들에 의해 이미 사용 중에 있었습니다. 예를 들어, 알-캐시(al-Kāshī) (c. 1400)는 단위로 소위 지름 부분을 사용했으며 여기서 일 지름 부분은 1/60 라디안였었고 그들은 지름의 육십의 부분-단위를 역시 사용했습니다.^[6]

용어 radian은, 벨패스트(Belfast) 퀸즈 대학교(Queen's College)에서 제임스 톰슨(James Thomson) (캘빈 경(Lord Kelvin)의 형제)에 의해 설정된 시험 문제에서, 1873년 6월 5일 인쇄물에서 처음으로 나타났습니다. 그는 1871년 초에 이 용어를 사용했었지만, 1869년에, 세인트 앤드류 대학교(University of St Andrews)의 그 당시의 토머스 뮤어(Thomas Muir)는 용어 rad, radial, 및 radian 사이에서 흔들흔들했습니다. 1874년에, 제임스 톰슨과 협의 후, 뮤어는 radian을 채택했다.^[7]^[8]^[9] 이름 radian은 이것 후에 얼마 동안 보편적으로 채택되지 않았습니다. Longmans' School Trigonometry는 1890년에 출판되었을 때 여전히 라디안 circular measure으로 불렀습니다.^[10]

Unit symbol

국제 도량형국(International Bureau of Weights and Measures)^[11] 및 표준화에 대해 국제 기구(International Organization for Standardization)^[12]는 라디안에 대해 기호로 rad를 지정합니다. 100년 전에 사용된 대체 기호는 ^c ( "원형 측정"에 대해, 위첨자 문자 c), 문자 r, 또는 위첨자 ^R이지만,^[13] 이들 변형은 자주 사용되지 않았는데, 그들이 각도 기호(degree symbol) (°) 또는 반지름 (r)로 오인될 수 있기 때문이었습니다. 그래서, 예를 들어, 1.2 라디안의 값은 1.2 rad로 가장 공통적으로 쓰일 것입니다; 다른 표기법은 1.2 r, 1.2^rad, 1.2^c, 또는 1.2^R을 포함합니다.

Conversions

Conversion of common angles
Turns	Radians	Degrees	Gradians (Gons)
0	0	0°	0^g
1/24	$π$ /12	15°	16+2/3^g
1/12	$π$ /6	30°	33+1/3^g
1/10	$π$ /5	36°	40^g
1/8	$π$ /4	45°	50^g
1/2 $π$	1	c. 57.3°	c. 63.7^g
1/6	$π$ /3	60°	66+2/3^g
1/5	2 $π$ /5	72°	80^g
1/4	$π$ /2	90°	100^g
1/3	2 $π$ /3	120°	133+1/3^g
2/5	4 $π$ /5	144°	160^g
1/2	$π$	180°	200^g
3/4	3 $π$ /2	270°	300^g
1	2 $π$	360°	400^g

Conversion between radians and degrees

언급된 것처럼, 일 라디안은 180/ $π$ 각도와 같습니다. 따라서, 라디안에서 각도로 변환하기 위해, 180/ $π$ 를 곱하십시오.

{\text{angle in degrees}}={\text{angle in radians}}\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}

예를 들어:

1{\text{ rad}}=1\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57.2958^{\circ }

2.5{\text{ rad}}=2.5\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 143.2394^{\circ }

{\frac {\pi }{3}}{\text{ rad}}={\frac {\pi }{3}}\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}=60^{\circ }

반대로, 각도에서 라디안으로 변환하기 위해, $π$ /180를 곱하십시오.

{\text{angle in radians}}={\text{angle in degrees}}\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}

예를 들어:

1^{\circ }=1\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}\approx 0.0175{\text{ rad}}

$23^{\circ }=23\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}\approx 0.4014{\text{ rad}}$

라디안은 라디안의 숫자를 2 $π$ 로 나눔으로써 바퀴(turns) (완전한 회전)로 변환될 수 있습니다.

Radian to degree conversion derivation

원의 둘레의 길이는 $2\pi r$ 로 제공되며, 여기서 $r$ 은 원의 반지름입니다.

그래서 다음 동등한 관계는 참입니다:

$360^{\circ }\iff 2\pi r$ [왜냐하면 $360^{\circ }$ 쓸기는 완전한 원을 그리기 위해 필요되기 때문입니다]

라디안의 정의에 의해, 완전한 원은 다음으로 나타냅니다:

{\frac {2\pi r}{r}}{\text{ rad}}

=2\pi {\text{ rad}}

위의 둘 관계를 결합함으로써:

2\pi {\text{ rad}}=360^{\circ }

\Rrightarrow 1{\text{ rad}}={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}

\Rrightarrow 1{\text{ rad}}={\frac {180^{\circ }}{\pi }}

Conversion between radians and gradians

$2\pi$ 라디안은 한 바퀴와 같으며, 이것은 정의 400 그라디안(gradians) (400 곤(gon) 또는 400^g)에 의한 것입니다. 그래서, 라디안에서 그라디안으로 변환하기 위해, $200/\pi$ 를 곱하고, 그라디안에서 라디안으로 변환하기 위해 $\pi /200$ 를 곱합니다. 예를 들어,

1.2{\text{ rad}}=1.2\cdot {\frac {200^{\text{g}}}{\pi }}\approx 76.3944^{\text{g}}

50^{\text{g}}=50\cdot {\frac {\pi }{200^{\text{g}}}}\approx 0.7854{\text{ rad}}

Advantages of measuring in radians

Some common angles, measured in radians. All the large polygons in this diagram are regular polygons.

미적분학 및 실용적인 기하학을 넘어서는 수학의 대부분의 다른 가지에서, 각도는 보편적으로 라디안으로 측정됩니다. 이것은 라디안이 수학적 "자연스러움"을 가지고 많은 중요한 결과의 보다 우아한 공식화로 이어지기 때문입니다.

가장 주목할만한, 삼각 함수(trigonometric function)를 포함한 해석학(analysis)에서 결과는 함수의 인수가 라디안으로 표현될 때 간단하고 우아한 것입니다. 예를 들어, 라디안의 사용은 다음 단순한 극한(limit) 공식으로 이어집니다:

\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin h}{h}}=1,

이것은 수학에서 많은 다른 항등식의 기초이며, 다음을 포함합니다:

{\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sin x=-\sin x.

이들 속성과 다른 속성때문에, 삼각 함수는 함수의 기하학적 의미와 명백하게 관련이 없는 수학적 문제에 대한 해에 나타납니다 (예를 들어, 미분 방정식 ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-y$ 에 대한 해, 적분 $\int {\frac {dx}{1+x^{2}}}$ 의 평가, 등등). 그러한 모든 경우에서, 함수에 대한 인수는, 각도의 라디안 측정에, 기하학적 문맥에서, 대응하는 형식으로 가장 자연스럽게 쓰이는 것으로 발견됩니다.

삼각 함수는, 라디안을 사용할 때, 간단하고 우아한 급수 전개를 역시 가집니다; 예를 들어, sin x에 대해 테일러 급수(Taylor series)는 다음입니다:

\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots .

만약 x가 각도로 표현되면 급수는 $π$ /180의 거듭제곱을 포함한 지저분한 인수를 포함할 것입니다: 만약 x가 각도의 숫자이면, 라디안의 숫자는 y = $π$ x / 180이므로, 다음입니다:

\sin x_{\mathrm {deg} }=\sin y_{\mathrm {rad} }={\frac {\pi }{180}}x-\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{3}\ {\frac {x^{3}}{3!}}+\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{5}\ {\frac {x^{5}}{5!}}-\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{7}\ {\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots .

사인 함수와 코사인 함수와 지수 함수(exponential function) 사이의 수학적으로 중요한 관계는 함수의 인수가 라디안일 때, 다시, 우아하고 다른 것으로는 지저분합니다 (예를 들어, 오일러의 공식(Euler's formula)을 참조하십시오).

Dimensional analysis

비록 라디안이 측정의 단위일지라도, 그것은 무차원 양(dimensionless quantity)입니다. 이것은 앞에서 주어진 정의로부터 알 수 있습니다: 라디안에서 측정된, 원의 중심에 끼워진 각도는 원의 반지름의 길이에 대한 둘러싸인 호의 길이의 비율과 같습니다. 측정 단위가 취소되므로, 이 비율은 무차원입니다.

비록 극좌표(polar) 및 구형 좌표(spherical coordinates)는 좌표를 이차원 및 삼차원에서 좌표를 묘사하기 위해 라디안을 사용할지라도, 단위는 반지름 좌표에서 도출되므로, 각도 측정은 여전히 무차원입니다.^[14]

Use in physics

라디안은 각도의 측정이 요구될 때 물리학(physics)에서 널리 사용됩니다. 예를 들어, 각속도(angular velocity)는 전형적으로 초당 라디안(radians per second) (rad/s)에서 측정됩니다. 초당 일 회전은 초당 2 $π$ 라디안과 같습니다.

비슷하게, 각가속도(angular acceleration)는 종종 초 제곱당 라디안 (rad/s²)으로 측정됩니다.

차원 해석학의 목적에 대해, 각속도 및 각가속도의 단위는 각각 s⁻¹ 및 s⁻²입니다.

마찬가지로, 두 파동의 위상 차이(phase difference)는 라디안에서 역시 측정될 수 있습니다. 예를 들어, 만약 두 파동의 위상 차이가 (k⋅2 $π$ ) 라디안, 여기서 k가 정수이면, 그들은 위상(phase)으로 여겨지지만, 만약 두 파동의 위상 차이가 (k⋅2 $π$ + $π$ ), 여기서 k가 정수이면, 역위상으로 여겨집니다.

SI multiples

메트릭 접두사(Metric prefix)는 라디안과 함께 제한된 사용을 가지고, 수학에서 사용되지 않습니다. 밀리라디안(milliradian) (mrad)은 천분의 1라디안이고 마이크로라디안 (μrad)은 백만 분의 1라디안, 즉, 1 rad = 10³ mrad = 10⁶ μrad입니다.

원 안에 2 $π$ × 1000 밀리라디안 (≈ 6283.185 mrad)이 있습니다. 그래서 삼각법 밀리라디안은 원의 1/6283 바로 아래에 있습니다. 이것은 원의 각도 측정의 이 "실수" 삼각법 단위는 십자선(reticle)에서 (스태디아메트릭) 범위-찾기를 사용하여 망원경 조준경(telescopic sight) 제조사에 의한 사용에서 있습니다. 레이저(laser) 빔의 발산(divergence)은 보통 밀리라디안에서 역시 측정됩니다.

삼각법 밀리라디안 (0.001 rad)의 근사는 나토(NATO) 및 기타 군사 조직에 의해 총포술 및 표적화에 사용됩니다. 각 각도 밀(mil)은 원의 1/6400을 나타내고 삼각법 밀리라디안보다 15/8% 또는 1.875% 더 작습니다. 표적화 작업에서 전형적으로 발견되는 작은 각도에 대해, 계산에서 숫자 6400을 사용하는 편리함은 그것이 도입하는 작은 수학적 오류보다 무겁습니다. 과거에서, 다른 총포술 시스템은 1/2000 $π$ 에 대한 다른 근사를 사용해 왔습니다; 예를 들어 스웨덴은 1/6300 streck을 사용했었고, 소련은 1/6000을 사용했습니다. 밀리라디안에 기초한, 나토 밀은 대략 1000 m의 범위에서 대략 1 m를 끼웁니다 (그러한 작은 각도에서, 곡률은 무시될 수 있습니다).

마이크로라디안 (μrad) 및 나노라디안 (nrad)과 같은 더 작은 단위는 천문학에서 사용되고, 초-저 발산을 갖는 레이저의 빔 품질을 측정하기 위해 역시 사용될 수 있습니다. 보다 공통은 호 초(arc second)이며, 이것은 $π$ /648,000 rad (약 4.8481 마이크로라디안)입니다. 비슷하게, 밀리- 보다 더 작은 접두사는 매우 작은 각도를 측정하는 것에서 잠재적으로 유용합니다.

Notes and references

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External links

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Radian at MathWorld

[1] "Resolution 8 of the CGPM at its 20th Meeting (1995)". Bureau International des Poids et Mesures. Retrieved 2014-09-23.

[2] ISO 80000-3:2006

[3] O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (February 2005). "Biography of Roger Cotes". The MacTutor History of Mathematics.

[4] Roger Cotes died in 1716. By 1722, his cousin Robert Smith had collected and published Cotes' mathematical writings in a book, Harmonia mensurarum … . In a chapter of editorial comments by Smith, he gives, for the first time, the value of one radian in degrees. See: Roger Cotes with Robert Smith, ed., Harmonia mensurarum … (Cambridge, England: 1722), chapter: Editoris notæ ad Harmoniam mensurarum, top of page 95. From page 95: After stating that 180° corresponds to a length of $π$ (3.14159…) along a unit circle (i.e., $π$ radians), Smith writes: "Unde Modulus Canonis Trigonometrici prodibit 57.2957795130 &c. " (Whence the unit of trigonometric measure, 57.2957795130… [degrees per radian], will appear.)

[5] Isaac Todhunter, Plane Trigonometry: For the Use of Colleges and Schools, p. 10, Cambridge and London: MacMillan, 1864 OCLC 500022958

[6] Luckey, Paul (1953) [Translation of 1424 book]. Siggel, A. (ed.). Der Lehrbrief über den kreisumfang von Gamshid b. Mas'ud al-Kasi [Treatise on the Circumference of al-Kashi]. Berlin: Akademie Verlag. p. 40.

[7] Cajori, Florian (1929). History of Mathematical Notations. Vol. 2. pp. 147–148. ISBN 0-486-67766-4.

[8] Muir, Thos. (1910). "The Term "Radian" in Trigonometry" (PDF). Nature. 83 (2110): 156. Bibcode:1910Natur..83..156M. doi:10.1038/083156a0.Thomson, James (1910). "The Term "Radian" in Trigonometry". Nature. 83 (2112): 217. Bibcode:1910Natur..83..217T. doi:10.1038/083217c0.Muir, Thos. (1910). "The Term "Radian" in Trigonometry". Nature. 83 (2120): 459–460. Bibcode:1910Natur..83..459M. doi:10.1038/083459d0.

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[10] Frederick Sparks, Longmans' School Trigonometry, p. 6, London: Longmans, Green, and Co., 1890 OCLC 877238863 (1891 edition)

[11] 2019 BIPM Brochure

[12] ISO 80000-3:2006 Quantities and Units - Space and Time

[Hall_1909-13] Hall, Arthur Graham; Frink, Fred Goodrich (January 1909). "Chapter VII. The General Angle [55] Signs and Limitations in Value. Exercise XV.". Written at Ann Arbor, Michigan, USA. Trigonometry. Vol. Part I: Plane Trigonometry. New York, USA: Henry Holt and Company / Norwood Press / J. S. Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Norwood, Massachusetts, USA. p. 73. Retrieved 2017-08-12.{{cite book}}: CS1 maint: url-status (link)

[14] For a debate on this meaning and use see: Brownstein, K. R. (1997). "Angles—Let's treat them squarely". American Journal of Physics. 65 (7): 605–614. Bibcode:1997AmJPh..65..605B. doi:10.1119/1.18616., Romain, J.E. (1962). "Angles as a fourth fundamental quantity". Journal of Research of the National Bureau of Standards Section B. 66B (3): 97. doi:10.6028/jres.066B.012., LéVy-Leblond, Jean-Marc (1998). "Dimensional angles and universal constants". American Journal of Physics. 66 (9): 814–815. Bibcode:1998AmJPh..66..814L. doi:10.1119/1.18964., and Romer, Robert H. (1999). "Units—SI-Only, or Multicultural Diversity?". American Journal of Physics. 67 (1): 13–16. Bibcode:1999AmJPh..67...13R. doi:10.1119/1.19185.

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