Reflection principle

수학(mathematics)의 한 가지, 집합 이론(set theory)에서, 반사 원리(reflection principle)는 모든 집합의 클래스(class)와 닮은 집합을 찾는 것이 가능하다고 말합니다. "닮은"에 대한 의미가 정확히 무엇인지에 따라 반사 원리의 여러 가지 다른 형식이 있습니다. 반사 원리의 약한 형식은 몬터규(Montague) (1961)에 기인한 ZF 집합 이론(ZF set theory)의 정리이고, 반면에 강한 형식은 집합 이론에 대한 새롭고 매우 강력한 공리가 될 수 있습니다.

이름 "반사 원리"는 모든 집합의 전체집합의 속성이 더 작은 집합으로 "반사"된다는 사실로부터 옵니다.

Motivation

반사 원리의 소박한 버전은 "모든 집합의 전체집합의 임의의 속성에 대해 우리는 같은 속성을 가진 집합을 찾을 수 있습니다"라고 말합니다. 이것은 즉각적인 모순으로 이어집니다: 모든 집합의 전체집합은 모든 집합을 포함하지만, 그것이 모든 집합을 포함하는 속성을 가진 집합은 없습니다. 유용하고 모순되지 않는 반사 원리를 얻기 위해, 우리는 "속성"에 의해 의미하는 것과 허용하는 어떤 속성에 대해 더 주의해야 합니다.

모순되지 않는 반사 원리를 찾기 위해, 우리는 다음과 같이 비공식적으로 논할 수 있습니다. 우리가 (예를 들어, 거듭제곱집합(powerset), 부분집합(subset), 대체의 공리(axiom of replacement), 등을 취하여) 집합을 형성하기 위한 방법의 모음 A가 있다고 가정합니다. 우리는 모든 이들 방법을 반복적으로 적용함으로써 얻어진 모든 집합을 취하는 것을 상상할 수 있고, 이들 집합을 일부 집합 이론의 모델(model)로 생각될 수 있는 클래스 V로 형성할 수 있습니다. 그러나 이제 우리는 집합을 형성하는 데 다음과 같은 새로운 원리를 도입할 수 있습니다: "모음 A에서 모든 방법을 반복적으로 적용함으로써 일부 집합에서 얻어진 모든 집합의 모음은 역시 집합입니다." 만약 우리가 집합을 형성하는 이 새로운 원리를 허용하면, 이제 V를 지나 계속할 수 있고, 원리 A와 새 원리를 사용하여 형성된 모든 집합의 클래스 W를 고려할 수 있습니다. 이 클래스 W에서, V는 A의 모든 집합-형성 연산 아래에서 닫힌 집합일 뿐입니다. 다시 말해, 전체집합 W는 모든 방법 A 아래에서 닫혀 있다는 점에서 W와 닮은 집합 V를 포함합니다.

우리는 이 비공식적인 논증을 두 가지 방법으로 사용할 수 있습니다. 우리는 그것을 (말하자면) ZF 집합 이론에서 공식화하려고 시도할 수 있습니다; 이렇게 함으로써 우리는 반사 정리라고 하는 ZF 집합 이론의 몇 가지 정리를 얻습니다. 대안적으로, 우리는 집합 이론에 대한 새로운 공리를 도입하도록 동기를 부여하기 위해 이 논증을 사용할 수 있습니다.

In ZFC

ZF 집합 이론에서 이전 섹션의 반사 원리에 대해 논증을 공식화하려는 시도에서, 속성 A의 모음에 대한 몇 가지 조건을 추가해야 하는 것으로 밝혀졌습니다 (예를 들어, A는 유한일 수 있습니다). 이렇게 하면 우리가 거의 ZFC의 모델인 집합을 찾을 수 있는 모든 상태인 ZFC의 여러 밀접하게 관련된 "반사 정리"가 생성됩니다.

ZFC의 반사 원리의 한 형식은 ZFC의 임의의 유한 공리의 집합에 대해 우리가 이들 공리를 만족시키는 셀-수-있는 transitive model전이 모델을 찾을 수 있다고 말합니다. (특히 이것은 일관성이 없는 한 ZFC가 유한하게 공리화될 수 없다는 것을 증명하는데, 왜냐하면 만약 그것이 그렇다면 그것이 자체의 모델의 존재를 입증하고, 따라서 괴델의 두 번째 불완전성 정리와 모순되는 자체 일관성을 입증할 것이기 때문입니다.) 반사 정리의 이 버전은 뢰벤하임–스콜렘 정리(Löwenheim–Skolem theorem)와 밀접한 관련이 있습니다.

반사 원리의 또 다른 버전은 ZFC의 공식의 임의의 유한 숫자에 대해 우리는 집합에서 모든 공식은 V_α에 대해 절대적(absolute)임을 만족하는 누적 계층 구조(cumulative hierarchy)에서 집합 V_α를 찾을 수 있다고 말합니다 (이것은 그것들이 V_α에서 유지되는 것과 그것들이 모든 집합의 전체집합에서 유지되는 것과 필요충분 조건임을 아주 대충 의미합니다). 따라서 이것은 적어도 주어진 유한 숫자의 공식이 관계되는 한 집합 V_α가 모든 집합의 전체집합과 닮았다고 말합니다. 특히 ZFC의 임의의 공식에 대해 공식이 V_α 참조에 상대적인 모든 한정어를 갖는 그것의 버전과 논리적으로 동등하다는 ZFC의 정리가 있습니다 (Jech 2002, p. 168).

만약 κ가 강력한 접근할 수 없는 세는 숫자이면, 모든 각 α∈C에 대해, V_α에서 V_κ로의 항등 함수가 기본 삽입됨을 만족하는 κ의 닫힌 무경계진 부분집합(closed unbounded subset) C가 있습니다.

As new axioms

Bernays는 집합 이론의 한 버전에 대한 공리로 반사 원리를 사용했습니다 (더 약한 이론인 폰 노이만–베르나이스–괴델 집합 이론(Von Neumann–Bernays–Gödel set theory)이 아닙니다). 그의 반사 원리는 만약 A가 어떤 속성을 갖는 클래스이며, 우리는 A∩u가 "전체집합" u의 부분집합으로 고려될 때 같은 속성을 가짐을 만족하는 전이 집합 u를 찾을 수 있다고 대략적으로 말했습니다. 이것은 매우 강력한 공리이고 접근할 수 없는 세는 숫자(inaccessible cardinal)와 같이 여러 더 작은 큰 세는 숫자(large cardinal)의 존재를 의미합니다. (대략적으로 말하면, ZFC에서 모든 순서 숫자(ordinals)의 클래스는 그것이 집합이 아니라는 사실을 제외하고는 접근할 수 없는 세는 숫자이고, 반사 원리는 그런-다음 같은 속성을 갖는 집합이 있음, 다시 말해서, 접근할 수 없는 세는 숫자임을 보이기 위해 사용될 수 있습니다.) 불행히도, 이것은 ZFC에서 직접 공리화될 수 없고, 통상적으로 모스–켈리 집합 이론(Morse–Kelley set theory)과 같은 클래스 이론이 사용되어야 합니다. Bernays의 반사 원리의 일관성은 ω-에르되시 세는 숫자(ω-Erdős cardinal)의 존재에 의해 암시됩니다.

다양한 큰 세는 숫자 공리와 밀접하게 관련된 훨씬 더 강력한 반사 원리가 있습니다. 거의 모든 각 알려진 큰 세는 숫자 공리에 대해, 이를 암시하는 알려진 반사 원리가 있고, 반대로 가장 강력한 알려진 반사 원리를 제외한 모두는 알려진 큰 세는 숫자 공리에 의해 암시됩니다 (Marshall R. 1989). 이것의 예제는 전체성 공리(wholeness axiom)이며, 이는 모든 유한 n에 대한 초월적-및-거대한 세는 숫자(super-n-huge cardinal)의 존재를 의미하고 그것의 일관성은 I3 랭크-에서-랭크-로의 세는 숫자(rank-into-rank cardinal)에 의해 암시됩니다.

References

Jech, Thomas (2002), Set theory, third millennium edition (revised and expanded), Springer, ISBN 3-540-44085-2
Kunen, Kenneth (1980), Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, North-Holland, ISBN 0-444-85401-0
Lévy, Azriel (1960), "Axiom schemata of strong infinity in axiomatic set theory", Pacific Journal of Mathematics, 10: 223–238, doi:10.2140/pjm.1960.10.223, ISSN 0030-8730, MR 0124205
Marshall R., M. Victoria (1989), "Higher order reflection principles", The Journal of Symbolic Logic, 54 (2), Vol. 54, No. 2: 474–489, doi:10.2307/2274862, JSTOR 2274862, MR 0997881
Montague, Richard (1961), "Fraenkel's addition to the axioms of Zermelo", in Bar-Hillel, Yehoshua; Poznanski, E. I. J.; Rabin, M. O.; Robinson, Abraham (eds.), Essays on the foundations of mathematics, Hebrew Univ., Jerusalem: Magnes Press, pp. 91–114, MR 0163840
Reinhardt, W. N. (1974), "Remarks on reflection principles, large cardinals, and elementary embeddings.", Axiomatic set theory, Proc. Sympos. Pure Math., vol. XIII, Part II, Providence, R. I.: Amer. Math. Soc., pp. 189–205, MR 0401475
Koellner, Peter (2008), On Reflection Principles (PDF)
Corazza, Paul (2000), "The Wholeness Axiom and Laver Sequences", Annals of Pure and Applied Logic, 105: 157–260, doi:10.1016/s0168-0072(99)00052-4

External links

Mizar system proof: http://mizar.org/version/current/html/zf_refle.html