Class (set theory)

집합 이론(set theory)과 수학(mathematics) 전반에 걸친 그것의 응용에서, 클래스(class)는 모든 그 구성원이 공유하는 속성(property)에 의해 모호하지 않게 정의될 수 있는 집합(sets, 또는 때로는 다른 수학적 대상)의 모음입니다. 클래스는 러셀의 역설(Russell's paradox)을 피하기 위해 집합과 다르지만 집합-같은 모음을 갖는 방법으로 작동합니다 (§ Paradoxes를 참조하십시오). "클래스"의 정확한 정의는 토대적 문맥에 따라 다릅니다. 체르멜로–프렝켈 집합 이론(Zermelo–Fraenkel set theory)에 대한 연구에서, 클래스의 개념은 비-형식적이고, 반면에 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합 이론(Von Neumann–Bernays–Gödel set theory)과 같은 다른 집합 이론은 "적절한 클래스", 예를 들어, 다른 실재의 구성원이 아닌 실제로의 개념을 공리화합니다.

집합이 아닌 클래스 (비형식적으로 체르멜로–프렝켈에서)는 적절한 클래스(proper class)라고 불리고, 집합인 클래스는 때때로 작은 클래스(small class)라고 불립니다. 예를 들어, 모든 순서-숫자(ordinal numbers)의 클래스와 모든 집합의 클래스는 많은 형식적 시스템에서 적절한 클래스입니다.

콰인(Quine)의 집합론적 저술에서, 문구 "궁극적 클래스"가 종종 그가 고려하는 시스템에서 특정 클래스는 구성원이 될 수 없고 따라서 임의의 구성원 체인에서 그것들이 속하는 최종 용어임을 강조하는 문구 "적절한 클래스" 대신 사용됩니다.

집합 이론 밖에서, "클래스"라는 단어는 때때로 "집합"과 동의어로 사용됩니다. 이 사용법은 클래스와 집합이 현대 집합-이론적 용어에서와 같이 구분되지 않은 역사적 기간부터 시작됩니다.^[1] 19세기와 그 이전에서 "클래스"에 대한 많은 논의는 실제로 집합을 참조하거나, 오히려 특정 클래스가 집합이 아닐 수 있다는 점을 고려하지 않고 발생할 수 있습니다.

Examples

주어진 유형의 모든 대수적 구조(algebraic structures)의 모음은 보통 적절한 클래스일 것입니다. 예제는 모든 그룹(groups)의 클래스, 모든 벡터 공간(vector spaces)의 클래스, 등을 포함합니다. 카테고리 이론(category theory)에서, 그 대상(objects)의 모음이 적절한 클래스를 형성하는 (또는 그 사상(morphisms)의 모음이 적절한 클래스를 형성하는) 카테고리(category)는 큰 카테고리(large category)라고 불립니다.

초현실수(surreal numbers)는 필드(field)의 속성을 가지는 대상의 적절한 클래스입니다.

집합 이론 내에서, 집합의 많은 모음이 적절한 클래스로 판명됩니다. 예제는 모든 집합의 클래스, 모든 순서-숫자의 클래스, 및 모든 세는-숫자(cardinal numbers)의 클래스를 포함합니다.

클래스가 적절하다는 것을 입증하는 한 가지 방법은 그것을 모든 순서-숫자의 클래스로 전단사(bijection)에서 배치하는 것입니다. 이 방법은, 예를 들어, 3개 이상의 생성기(generators) 위에 자유(free) 완비 격자(complete lattice)가 없다는 증명에서 사용됩니다.

Paradoxes

소박한 집합 이론의 역설(paradoxes of naive set theory)은 "모든 클래스는 집합이다"라는 일관되지 않은 암묵적 가정(tacit assumption)의 관점에서 설명될 수 있습니다. 엄격한 토대를 통해, 이들 역설은 대신 특정 클래스가 적절하다는 (즉, 그것들은 집합이 아님) 증명(proofs)을 제시합니다. 예를 들어, 러셀의 역설(Russell's paradox)은 자신을 포함하지 않는 모든 집합의 클래스가 적절하다는 증명을 제시하고, 부랄리-포르티 역설(Burali-Forti paradox)은 모든 순서-숫자(ordinal numbers)의 클래스가 적절하다는 증명을 제시합니다. 클래스를 포함하는 클래스의 개념이 없기 때문에 클래스와 함께 역설이 발생하지 않습니다. 그렇지 않으면, 예를 들어, 자신을 포함하지 않는 모든 클래스의 클래스를 정의할 수 있으며, 이는 클래스에 대해 러셀 역설로 이어질 수 있습니다. 복합(conglomerate)은, 다른 한편으로, 비록 복합의 이론이 아직 정립되지는 않았지만 구성원으로 적절한 클래스를 가질 수 있습니다.

Classes in formal set theories

ZF 집합 이론은 클래스의 개념을 형식화하지 않으므로, 클래스를 갖는 각 형식은 문법적으로 클래스 없이 형식으로 축소되어야 합니다.^[2] 예를 들어, 형식 $A=\{x\mid x=x\}$ 를 $\forall x(x\in A\leftrightarrow x=x)$ 로 줄일 수 있습니다. 의미론적으로, 메타-언어(metalanguage)에서, 클래스는 논리적 형식(logical formulas)의 동치 클래스(equivalence classes)로 설명될 수 있습니다: 만약 ${\mathcal {A}}$ 가 ZF를 해석하는 구조(structure)이면, 대상 언어 "클래스-구축 표현" $\{x\mid \phi \}$ 는 $\lambda x\phi$ 가 유지되는 ${\mathcal {A}}$ 의 도메인에서 원소 모두의 집합에 의해 ${\mathcal {A}}$ 에서 해석됩니다; 따라서, 클래스는 $\phi$ 와 동등한 모든 술어의 집합 ( $\phi$ 자체를 포함)으로 설명될 수 있습니다. 특히, "모든 집합의 클래스"를 $x=x$ 와 동등한 모든 술어의 집합으로 식별할 수 있습니다.

클래스는 ZF의 이론에서 임의의 형식적 지위를 가지지 않기 때문에, ZF의 공리는 클래스에 즉시 적용되지 않습니다. 어쨌든, 만약 비-접근가능 세는-숫자(inaccessible cardinal) $\kappa$ 가 가정되면, 더 작은 순위의 집합이 ZF (그로텐디크 우주(Grothendieck universe))의 모델을 형성하고, 그 부분집합은 "클래스"로 생각될 수 있습니다.

ZF에서, 함수(function)의 개념은 클래스로 일반화될 수도 있습니다. 클래스 함수는 그것이 집합이 아니기 때문에 보통의 의미에서 함수가 아닙니다; 그것은 오히려 임의의 집합 $x$ 에 대해 쌍 $(x,y)$ 가 $\Phi .$ 를 만족시킴을 만족하는 하나의 집합 $y$ 만 있다는 속성을 갖는 형식 $\Phi (x,y)$ 입니다. 예를 들어, 각 집합을 그것의 후속 집합으로 매핑하는 클래스 함수는 형식 $y=x\cup \{x\}$ 로 표현될 수 있습니다. 순서화된 쌍 $(x,y)$ 가 $\Phi$ 를 만족시킨다는 사실은 약식 표기법 $\Phi (x)=y$ 로 표현될 수 있습니다.

또 다른 접근 방식은 폰 노이만-베르나이스-괴델 공리(von Neumann–Bernays–Gödel axioms) (NBG)에 의해 취합니다; 클래스는 이 이론에서 기본 대상이고, 집합은 그때에 일부 다른 클래스의 원소인 클래스로 정의됩니다. 어쨌든, NBG의 클래스 존재 공리는 모든 클래스에 걸친 것이 아닌 집합에 걸친 것에 대해서만 정량화하도록 제한됩니다. 이것은 NBG는 ZF의 보존적 확장(conservative extension)이 된다는 이유입니다.

모스-켈리 집합 이론(Morse–Kelley set theory)은 NBG와 같은 기본 대상으로 적절한 클래스를 인정하지만, 그것의 클래스 존재 공리에서 모든 적절한 클래스에 걸쳐 정량화도 허용합니다. 이것은 MK는 NBG와 ZF보다 엄격하게 더 강한 것이라는 이유입니다.

새로운 토대(New Foundations) 또는 반집합(semisets)의 이론과 같은 다른 집합 이론에서, "적절한 클래스"의 개념은 여전히 의미가 있지만 (모든 클래스가 집합인 것은 아님) 집합-사이(sethood)의 기준은 부분집합 아래에서 닫혀 있지 않습니다. 예를 들어, 우주 집합(universal set)을 갖는 임의의 집합 이론은 집합의 부분-클래스인 적절한 클래스를 가집니다.

Notes

^ Bertrand Russell (1903). The Principles of Mathematics, Chapter VI: Classes, via Internet Archive
^ "abeq2 - Metamath Proof Explorer". us.metamath.org. 1993-08-05. Retrieved 2016-03-09.

References

Jech, Thomas (2003), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics (third millennium ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-44085-7
Levy, A. (1979), Basic Set Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag
Raymond M. Smullyan, Melvin Fitting, 2010, Set Theory And The Continuum Problem. Dover Publications ISBN 978-0-486-47484-7.
Monk Donald J., 1969, Introduction to Set Theory. McGraw-Hill Book Co. ISBN 9780070427150.

External links

Weisstein, Eric W. "Set Class". MathWorld.

[1] Bertrand Russell (1903). The Principles of Mathematics, Chapter VI: Classes, via Internet Archive

[2] "abeq2 - Metamath Proof Explorer". us.metamath.org. 1993-08-05. Retrieved 2016-03-09.

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