Riemann–Stieltjes integral

Original article: w:Riemann–Stieltjes integral

수학(mathematics)에서, 리만–스틸티어스 적분(Riemann–Stieltjes integral)은 베른하르트 리만(Bernhard Riemann)과 토마스 요아너스 스틸티어스(Thomas Joannes Stieltjes)의 이름을 따서 지은 리만 적분(Riemann integral)의 일반화입니다. 이 적분의 정의는 1894년에 스틸티어스에 의해 처음 출판되었습니다. 그것은 르베그 적분(Lebesgue integral)의 유익하고 유용한 선구자 역할을 하고, 이산과 연속 확률에 적용되는 동등 형식의 통계적 정리를 통합하는 것에서 귀중한 도구입니다.

Formal definition

구간 $[a,b]$에서 실수 변수의 실수-값 함수(real-valued function) $f$를 또 다른 실수-에서-실수 함수 $g$에 관한 리만–스틸티어스 적분(integral)은 다음에 의해 표시됩니다:

$\int _{x=a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x).$

그것의 정의는 구간 $[a,b]$의 분할(partitions) $P$의 수열을 사용합니다:

$P=\{a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b\}.$

적분은, 그런-다음, 다음 근사 합의, 분할의 노름(norm) (가장 긴 부분구간의 길이)이 $0$으로 접근할 때, 극한으로 정의됩니다:

$S(P,f,g)=\sum _{i=0}^{n-1}f(c_{i})\left[g(x_{i+1})-g(x_{i})\right]$

여기서 $c_{i}$는 i-번째 부분구간 [x_i, x_i+1]에 있습니다. 두 함수 $f$와 $g$는 각각 피적분(integrand)과 적분기(integrator)라고 불립니다. 전형적으로 $g$는 단조적(monotone) (또는 적어도 경계진 변화(bounded variation)) 및 오른쪽-반연속(right-semicontinuous)으로 취합니다 (어쨌든 이 마지막은 본질적으로 관례입니다). 우리는 구체적으로 특별히 $g$를 연속이도록 요구하지 않으며, 이것은 점 질량 항을 가지는 적분을 허용합니다.

"극한"은 여기에서 모든 각 ε > 0에 대해, 노름(P) < δ를 갖는 모든 각 분할 P에 대해, 및 [x_i, x_i+1] 내에 있는 점 c_i의 모든 각 선택에 대해 다음을 만족하는 δ > 0가 존재함을 만족하는 숫자 A (리만–스틸티어스 적분의 값)로 이해됩니다:

$|S(P,f,g)-A|<\varepsilon .\,$

Properties

리만–스틸티어스 적분은 다음 형식에서 부분에 의한 적분(integration by parts)을 허용하고

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} f(x)$

둘 중 하나의 적분의 존재가 나머지 하나의 존재를 의미합니다.

다른 한편으로, 고전적인 결과는 적분이 만약 f가 α-횔더 연속(Hölder continuous)이고 g가 α + β > 1를 갖는 β-훨더 연속이면 잘-정의되었음을 보여줍니다.

Application to probability theory

만약 g가 르베그 측정(Lebesgue measure)에 관한 확률 밀도 함수(probability density function)를 가지는 확률 변수(random variable) X의 누적 확률 분포 함수이고, f가 기댓값(expected value) $\operatorname {E} \left[\,\left|f(X)\right|\,\right]$가 유한인 임의의 함수이면, X의 확률 밀도 함수는 g의 도함수이고 우리는 다음을 가집니다:

$\operatorname {E} [f(X)]=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)g'(x)\,\mathrm {d} x.$

그러나 이 공식은 만약 X가 르베그 측정에 관한 확률 밀도 함수를 가지지 않으면 작동하지 않습니다. 특히, 그것은 X의 분포가 이산이면 (즉, 모든 확률이 점-질량에 의해 설명되면), 및 작동하지 않고, 심지어 누적 분포 함수 g가 연속일지라도, g가 절대적으로 연속(absolutely continuous)이 됨에 실패하면 작동하지 않습니다 (다시 말하지만, 칸토어 함수(Cantor function)는 이 실패의 예제가 될 수 있습니다). 그러나 다음 항등식은

$\operatorname {E} [f(X)]=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} g(x)$

만약 g가 실수 직선의 임의의 누적 확률 분포 함수이면, 아무리 나쁜-행동을 할지라도, 유지됩니다. 특히, 확률변수 X의 누적 분포 함수 g가 아무리 나쁜-행동을 하더라도, 만약 모멘트(moment) E(Xⁿ)가 존재하면, 그것은 다음과 같습니다:

$\operatorname {E} \left[X^{n}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,\mathrm {d} g(x).$

Application to functional analysis

리만–스틸티어스 적분은 구간 [a,b]에서 연속 함수의 바나흐 공간(Banach space) C[a,b]의 이중 공간(dual space)을 경계진 변화(bounded variation)의 함수에 대항한 리만–스틸티어스 적분으로 나타내는 리스의 정리(Riesz's theorem)의 원래 공식화에 나타납니다. 나중에, 해당 정리는 측정의 관점에서 재공식화되었습니다.

리만–스틸티어스 적분은 역시 힐베르트 공간에서 (비-컴팩트) 자체-인접 (또는 보다 일반적으로, 정규) 연산자에 대해 스펙트럼 정리(spectral theorem)의 공식화에서 나타납니다. 이 정리에서, 그 적분은 투영의 스펙트럼 가족과 관련하여 고려됩니다.

Existence of the integral

가장 단순한 존재 정리는 만약 f가 연속이고 g가 [a, b]에서 경계진 변화(bounded variation)이면, 그 적분이 존재한다고 말합니다. 함수 g가 경계진 변화인 것과 그것이 둘의 (경계진) 단조 함수 사이의 차이인 것은 필요충분 조건입니다. 만약 g가 경계진 변화의 것이 아니면, g에 관해 적분될 수 없는 연속 함수가 있을 것입니다. 일반적으로, 그 적분은 만약 f와 g가 불연속성(discontinuity)의 임의의 점을 공유하면 잘-정의된 것이 아니지만, 마찬가지로 다른 경우가 있습니다.

Generalization

중요한 일반화는 르베그–스틸티어스 적분(Lebesgue–Stieltjes integrals)으로, 르베그 적분(Lebesgue integral)이 리만 적분을 일반화하는 것과 유사한 방법으로 리만–스틸티어스 적분을 일반화합니다. 만약 부적절한(improper) 리만–스틸티어스 적분이 허용되면, 르베그 적분은 리만–스틸티어스 적분보다 엄격하게 더 일반적이지 않습니다.

리만–스틸티어스 적분은 역시 피적분 ƒ 또는 적분기 g가 바나흐 공간(Banach space)에서 값을 취할 때 경우로 일반화합니다. 만약 g : [a,b] → X가 바나흐 공간 X에서 값을 취하면, 그것이 강하게 경계진 변화(strongly bounded variation)의 것이라고 가정하는 것이 자연스러우며, 다음임을 의미합니다:

$\sup \sum _{i}\|g(t_{i-1})-g(t_{i})\|_{X}<\infty$

상한은 구간 [a,b]의 모든 유한 분할에 걸쳐 취합니다:

$a=t_{0}\leq t_{1}\leq \cdots \leq t_{n}=b$

이 일반화는 라플라스–스틸티어스 변환(Laplace–Stieltjes transform)을 통해 반그룹(semigroup)의 연구에서 역할을 합니다.

이토 적분(Itô-Integral)은 리만–스틸티어스 적분을 단순한 함수가 아닌 확률론적 프로세스(stochastic process)인 피적분과 적분기를 포함하도록 확장됩니다; 역시 확률적 미적분(stochastic calculus)을 참조하십시오.

Generalized Riemann–Stieltjes integral

약간의 일반화는 위의 정의에서 다른 또 다른 분할 P_ε를 세분화하는 분할 P를 고려하는 것이며, P는 더 미세한 메쉬를 갖는 분할로부터가 아니라 P_ε에서 점을 추가하여 발생한다는 의미입니다. 구체적으로 특별히, g에 관한 f의 일반화된 리만–스틸티어스 적분은 모든 각 ε > 0에 대해, P_ε을 세분화하는 모든 각 분할 P에 대해, [x_i, x_i+1]에서 모든 각 선택의 점 c_i에 대해 다음을 만족하는 분할 P_ε가 존재함을 만족하는 숫자 A입니다:

$|S(P,f,g)-A|<\varepsilon$.

이 일반화는 [a, b]의 분할의 방향화된 집합(directed set)에 대한 무어–스미스 극한(Moore–Smith limit)으로 리만–스틸티어스 적분을 나타냅니다.

하나의 결과는 이 정의와 함께, 적분 ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)}$이 여전히 f와 g가 공통으로 불연속성의 점을 가지는 경우에서 정의될 수 있다는 것입니다.

Darboux sums

리만–스틸티어스 적분은 다르부 합(Darboux sum)의 적절한 일반화를 사용하여 효율적으로 처리될 수 있습니다. 분할 P와 [a, b] 위에 비감소 함수 g에 대해, g에 관한 f의 위쪽 다르부 합을 다음과 같이 정의합니다:

$U(P,f,g)=\sum _{i=1}^{n}\,\,[\,g(x_{i})-g(x_{i-1})\,]\,\sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x)$

그리고 아래쪽 합을 다음에 의해 정의합니다:

$L(P,f,g)=\sum _{i=1}^{n}\,\,[\,g(x_{i})-g(x_{i-1})\,]\,\inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x).$

그런-다음 g에 관한 f의 일반화된 리만–스틸티어스 적분이 존재하는 것과 모든 각 ε > 0에 대해, 다음을 만족하는 분할 P가 존재하는 것은 필요충분 조건입니다:

$U(P,f,g)-L(P,f,g)<\varepsilon .$

게다가, f는 만약 다음이면 g에 관한 (고전적 의미에서) 리만–스틸티어스 적분-가능입니다:

$\lim _{\operatorname {mesh} (P)\to 0}[\,U(P,f,g)-L(P,f,g)\,]=0.\quad$

Examples and special cases

Differentiable g(x)

$\mathbb {R}$에 걸쳐 연속적으로 미분-가능(differentiable)인 $g(x)$가 주어지면, 다음 상등이 있음을 보일 수 있습니다:

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,\mathrm {d} x$

여기서 오른쪽 변의 적분은 표준 리만 적분이며, $f$가 리만–스틸티어스 적분에 의해 적분될 수 있음을 가정합니다.

보다 일반적으로, 리만 적분은 $g$가 그것의 도함수의 르베그 적분(Lebesgue integral)이면 리만–스틸티어스 적분과 같습니다; 이 경우에서 $g$는 절대적으로 연속(absolutely continuous)이라고 말합니다.

그것은 $g$가 도약 불연속성을 가지거나, 여전히 연속이고 증가하는 동안 거의 모든 곳에서 도함수 영을 가질 수 있는 경우일 수 있습니다 (예를 들어, $g$는 칸토어 함수(Cantor function) 또는 "악마의 계단”일 수 있습니다), 두 경우 모두에서 리만–스틸티어스 적분은 g의 도함수를 포함하는 표현에 의해 포착되지 않습니다.

Riemann integral

표준 리만 적분은 $g(x)=x$인 리만–스틸티어스 적분의 특수한 경우입니다.

Rectifier

정류된 선형 단위 (ReLU)라고 불리는 신경망(neural network) 연구에 사용되는 함수 $g(x)=\max\{0,x\}$를 생각해 보십시오. 그런-다음 리만–스틸티어스 적분은 다음으로 평가될 수 있습니다:

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=\int _{g(a)}^{g(b)}f(x)\,\mathrm {d} x$

여기서 오른쪽 변의 적분은 표준 리만 적분입니다.

Cavaliere integration

Visualisation of the Cavaliere integral for the function $f(x)=(2x+8)^{3}$

카발리에리의 원리(Cavalieri's principle)는 리만–스틸티어스 적분을 사용하여 곡선으로 둘러싸인 넓이를 계산하기 위해 사용될 수 있습니다. 리만 적분의 적분 조각은 모양에서 직사각형이 아닌 조각으로 대체됩니다. 그 방법은 "카발리에리 영역"을 변환 $h$로 변환하기 위해, 또는 $g=h^{-1}$ 피적분으로 사용하기 위해 변환하는 것입니다.

구간 $[a,b]$에서 주어진 함수 $f(x)$에 대해, a "평행이동적 함수" $a(y)$는 $(x,f(x))$와 구간에서 임의의 이동에 대해 정확히 한 번 교차해야 합니다. "카발리에리 영역"은 그때에 $f(x),a(y)$, $x$-축, 및 $b(y)=a(y)+(b-a)$에 의해 경계집니다. 그 영역의 넓이는 그때에 다음입니다:

$\int _{a(y)}^{b(y)}f(x)\,dx\ =\ \int _{a'}^{b'}f(x)\,dg(x),$

여기서 $a'$와 $b'$는 $x$-값이고 여기서 $a(y)$와 $b(y)$는 $f(x)$와 교차합니다.

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