Right triangle

직각 삼각형(right triangle: 미국식 또는 right-angled triangle : 영국식), 또는 보다 형식적으로 직교(orthogonal) 삼각형 (Ancient Greek: ὀρθόςγωνία, lit. '똑바른 각도')^[1]은 한 각도(angle)가 직각(right angle) (즉, 90-도(degree))인 삼각형(triangle)입니다. 직각 삼각형의 변과 다른 각도 사이의 관계는 삼각법(trigonometry)에 대해 기초입니다.

직각과 반대되는 변은 빗변(hypotenuse)이라고 불립니다 (그림의 변 c). 직각에 인접한 변은 다리(legs 또는 catheti, 단수형: cathetus)라고 불립니다. 변 a는 각도 B에 인접하고 각도 A와 반대되는 변으로 식별될 수 있고, 반면에 변 b는 각도 A에 인접하고 각도 B와 반대되는 변으로 식별될 수 있습니다.

만약 직각 삼각형의 모든 세 변의 길이가 정수이면, 그 삼각형은 피타고라스 삼각형이라고 말해지고 그것의 변의 길이는 집합적으로 피타고라스 세-쌍(Pythagorean triple)으로 알려져 있습니다.

Principal properties

Area

임의의 삼각형과 마찬가지로, 넓이는 밑변의 절반에 해당하는 높이를 곱한 것과 같습니다. 직각삼각형에서, 만약 하나의 다리가 밑변으로 취하면 다른 다리가 높이이므로, 직각 삼각형의 넓이는 두 다리의 곱의 절반입니다. 공식으로 넓이 T는

T={\tfrac {1}{2}}ab

여기서 a와 b는 삼각형의 다리입니다.

만약 내원(incircle)이 점 P에서 빗변 AB에 접하면, 반-둘레(semi-perimeter) (a + b + c) / 2를 s로 나타내면, 우리는 PA = s − a와 PB = s − b를 가지고, 그 넓이는 다음에 의해 제공됩니다:

T={\text{PA}}\cdot {\text{PB}}=(s-a)(s-b).

이 공식은 오직 직각 삼각형에 적용됩니다.^[2]

Altitudes

만약 고도(altitude)가 빗변에 직각으로 꼭짓점에서 그려지면, 그 삼각형은 원래 삼각형이고 둘 다 닮았고(similar) 따라서 서로 닮은 둘의 더 작은 삼각형으로 나뉩니다. 이것으로부터:

빗변까지의 고도는 빗변의 두 선분의 기하 평균(geometric mean) (평균 비례(mean proportional))입니다.^[3]^: 243
삼각형의 각 다리는 빗변과 다리에 인접한 빗변의 선분의 평균 비례입니다.

방정식에서,

\displaystyle f^{2}=de,

(이것은 때때로 직각 삼각형 고도 정리(right triangle altitude theorem)로 알려져 있습니다)

\displaystyle b^{2}=ce,

\displaystyle a^{2}=cd

여기서 a, b, c, d, e, f는 다이어그램에서 보입니다.^[4] 따라서

f={\frac {ab}{c}}.

게다가, 빗변에 대한 고도는 다음에 의해 직각 삼각형의 다리와 관련됩니다:^[5]^[6]

{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}.

a, b, f, 및 c의 정수 값에서 이 방정식의 해에 대해, 여기를 참조하십시오.

한쪽 다리로부터 고도가 다른 쪽 다리와 일치합니다. 이것들은 직각 꼭짓점에서 교차하기 때문에, 직각 삼각형의 직교중심(orthocenter)–세 고도의 교차점–은 직각 꼭짓점과 일치합니다.

Pythagorean theorem

피타고라스 정리(Pythagorean theorem)는 다음임을 말합니다:

임의의 직각 삼각형에서, 그것의 변이 빗변 (직각의 대변)인 정사각형(square)의 넓이는 그것의 변이 두 다리 (직각에서 만나는 두 변)인 정사각형의 넓이의 합과 같습니다.

이것은 방정식 형식으로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:

\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}

여기서 c는 빗변의 길이이고, a와 b는 남아있는 두 변의 길이입니다.

피타고라스 세-쌍은 이 방정식을 만족시키는 a, b, c의 정수 값입니다.

Inradius and circumradius

다리 a와 b 및 빗변 c를 갖는 직각 삼각형의 내원(incircle)의 반지름은 다음입니다:

r={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}.

둘레원(circumcircle)의 반지름은 빗변의 길이의 절반입니다:

R={\frac {c}{2}}.

따라서 둘레반지름과 내반지름의 합은 다리의 합의 절반입니다:^[7]

R+r={\frac {a+b}{2}}.

다리 중 하나는 다음과 같이 내반지름과 나머지 다리의 관점에서 표현될 수 있습니다:

\displaystyle a={\frac {2r(b-r)}{b-2r}}.

Characterizations

변 $a\leq b<c$ , 반둘레 s, 넓이 T, 가장 긴 변에 반대편 고도 h, 둘레반지름 R, 내반지름 r, 외반지름 r_a, r_b, r_c (각가 a, b, c에 접합), 및 중선(medians) m_a, m_b, m_c를 갖는 삼각형 ABC가 직각 삼각형인 것과 다음 여섯 카테고리에서 명제 중 임의의 하나가 참인 것은 필요충분(iff) 조건입니다. 그것들 모두는 물론 역시 직각 삼각형의 속성인데, 왜냐하면 특성화는 동치이기 때문입니다.

Sides and semiperimeter

$\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\quad$ (피타고라스 정리)
$\displaystyle (s-a)(s-b)=s(s-c)$
$\displaystyle s=2R+r.$ ^[8]
$\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}.$ ^[9]

Angles

A와 B는 보완(complementary)입니다.^[10]
$\displaystyle \cos {A}\cos {B}\cos {C}=0.$ ^[9]^[11]
$\displaystyle \sin ^{2}{A}+\sin ^{2}{B}+\sin ^{2}{C}=2.$ ^[9]^[11]
$\displaystyle \cos ^{2}{A}+\cos ^{2}{B}+\cos ^{2}{C}=1.$ ^[11]
$\displaystyle \sin {2A}=\sin {2B}=2\sin {A}\sin {B}.$

Area

$\displaystyle T={\frac {ab}{2}}$
$\displaystyle T=r_{a}r_{b}=rr_{c}$
$\displaystyle T=r(2R+r)$
$\displaystyle T={\frac {(2s-c)^{2}-c^{2}}{4}}=s(s-c)$
$T=PA\cdot PB,$ 여기서 P는 가장 긴 변 AB에서 내원(incircle)의 접점입니다.^[12]

Inradius and exradii

$\displaystyle r=s-c=(a+b-c)/2$
$\displaystyle r_{a}=s-b=(a-b+c)/2$
$\displaystyle r_{b}=s-a=(-a+b+c)/2$
$\displaystyle r_{c}=s=(a+b+c)/2$
$\displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=a+b+c$
$\displaystyle r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$
$\displaystyle r={\frac {r_{a}r_{b}}{r_{c}}}.$ ^[13]

Altitude and medians

$\displaystyle h={\frac {ab}{c}}$
$\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=6R^{2}.$ ^[7]^{: Prob. 954, p. 26}
하나의 중선(median)의 길이가 둘레반지름(circumradius)과 같습니다.
가장 짧은 고도(altitude) (가장 큰 각도를 갖는 꼭짓점에서 고도)는 반대편 (가장-긴) 변을 나누는 선분(line segment)의 기하 평균(geometric mean)입니다. 이것은 직각 삼각형 고도 정리(right triangle altitude theorem)입니다.

Circumcircle and incircle

삼각형은 지름의 전체와 일치하는 한 변을 갖는 반원(semicircle)에 내접될 수 있습니다 (탈레스의 정리(Thales' theorem)).
둘레중심(circumcenter)은 가장 긴 변의 중점(midpoint)입니다.
가장 긴 변은 둘레원(circumcircle)의 지름(diameter) $\displaystyle (c=2R)$ 입니다.
둘레원은 아홉-점 원(nine-point circle)에 접합니다.^[9]
직교중심(orthocenter)은 둘레원 위에 놓입니다.^[7]
내중심(incenter)과 직교중심 사이의 거리는 ${\sqrt {2}}r$ 와 같습니다.^[7]

Trigonometric ratios

예각에 대한 삼각 함수(trigonometric functions)는 직각 삼각형의 변의 비율로 정의될 수 있습니다. 주어진 각도에 대해, 직각 삼각형은 이 각도와 위의 정의에 따라 이 각도를 참조하여 대변, 인접변과 빗변으로 이름-지은 변으로 구성될 수 있습니다. 이들 변의 비율은 선택한 특정 직각 삼각형에 의존하지 않지만, 오직 주어진 각도에 의존하는데, 왜냐하면 이러한 방법으로 구성된 모든 삼각형은 닮은(similar) 것이기 때문입니다. 만약, 주어진 각도 α에 대해, 대변, 인접변, 및 빗변이 각각 O, A, 및 H로 표시되면, 삼각 함수는 다음과 같습니다:

\sin \alpha ={\frac {O}{H}},\,\cos \alpha ={\frac {A}{H}},\,\tan \alpha ={\frac {O}{A}},\,\sec \alpha ={\frac {H}{A}},\,\cot \alpha ={\frac {A}{O}},\,\csc \alpha ={\frac {H}{O}}.

직각 삼각형의 변의 비율로 쌍곡선 함수(hyperbolic function)의 표현에 대해, 쌍곡선 부채꼴(hyperbolic sector)의 쌍곡선 삼각형(hyperbolic triangle)을 참조하십시오.

Special right triangles

삼각 함수의 값은 특별한 각도를 갖는 직각 삼각형을 사용하여 특정 각도에 대해 정확하게 평가될 수 있습니다. 이것들은 π/6의 임의의 배수에 대해 삼각 함수를 평가하기 위해 사용될 수 있는 30-60-90 삼각형과 π/4의 임의의 배수에 대해 삼각 함수를 평가하기 위해 사용될 수 있는 45-45-90 삼각형을 포함합니다.

Kepler triangle

H, G, A를 a > b와 함께 두 양수 a와 b의 조화 평균(harmonic mean), 기하 평균(geometric mean), 산술 평균(arithmetic mean)으로 놓습니다. 만약 직각 삼각형이 다리 H와 G, 빗변 A를 가지면, 다음입니다:^[14]

{\frac {A}{H}}={\frac {A^{2}}{G^{2}}}={\frac {G^{2}}{H^{2}}}=\phi \,

및

{\frac {a}{b}}=\phi ^{3},\,

여기서 $\phi$ 는 황금 비율(golden ratio) ${\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\,$ 입니다. 직각 삼각형의 변은 기하 진행(geometric progression)에 있으므로, 이것은 케플러 삼각형(Kepler triangle)입니다.

Thales' theorem

탈레스의 정리는 만약 A가 지름 BC를 갖는 원의 임의의 점 (B 또는 C 자체 제외)이면, ABC는 A가 직각인 직각 삼각형이라고 말합니다. 그 전환은 만약 직각삼각형이 원에 내접되면 빗변은 원의 지름일 것이라고 말합니다. 따름정리는 빗변의 길이는 직각 꼭짓점에서 빗변의 중점까지 거리의 두 배라는 것입니다. 역시, 직각삼각형을 둘레접하는(circumscribes) 원의 중심은 빗변의 중점이고 그것의 반지름은 빗변 길이의 절반입니다.

Medians

다음 공식은 직각 삼각형의 중앙선(medians)에 대해 유지됩니다:

m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}={\frac {5}{4}}c^{2}.

직각 삼각형의 빗변에 대한 중앙선은 그 삼각형을 둘의 이등변 삼각형으로 나누는데, 왜냐하면 중앙선은 빗변의 절반과 같기 때문입니다.

다리로부터 중앙선 m_a과 m_b은 다음을 만족시킵니다:^[7]^{: p.136, #3110}

4c^{4}+9a^{2}b^{2}=16m_{a}^{2}m_{b}^{2}.

Euler line

직각 삼각형에서 오일러 직선(Euler line)은 빗변의 중앙선을 포함합니다–즉, 그것은 직각 꼭짓점과 해당 꼭짓점 반대편 변의 중앙점 둘 다를 통과합니다. 이것은 직각 삼각형의 직교중심, 그것의 고도의 교점이 직각 꼭짓점 위에 떨어지고 반면에 그것의 둘레중심, 변의 수직 이등분선의 교점은 빗변의 중점 위에 떨어지기 때문입니다.

Inequalities

임의의 직각 삼각형에서, 내원의 지름은 빗변의 절반보다 작고, 보다 강하게 그것은 빗변의 곱하기 $({\sqrt {2}}-1)$ 보다 작거나 같습니다.^[15]^: p.281

다리 a, b, 및 빗변 c를 갖는 직각 삼각형에서,

c\geq {\frac {\sqrt {2}}{2}}(a+b)

이때 상등은 오직 이등변 경우에서 그렇습니다.^[15]^{: p.282, p.358}

만약 빗변에서 고도가 h_c로 표시되면, 다음입니다:

h_{c}\leq {\frac {\sqrt {2}}{4}}(a+b)

이때 상등은 오직 이등변 경우에서 그렇습니다.^[15]^: p.282

Other properties

만약 꼭짓점 C에서 나오는 길이 p와 q의 선분이 빗변을 길이 c/3의 선분으로 삼등분하면, 다음입니다:^[3]^{: pp. 216–217}

p^{2}+q^{2}=5\left({\frac {c}{3}}\right)^{2}.

직각 삼각형은 하나 또는 셋의 구별되는 내접하는 정사각형이 아닌 둘을 가지는 유일한 삼각형입니다.^[16]

h > k가 주어집니다. h와 k를 빗변 c를 갖는 직각 삼각형에서 둘의 내접된 정사각형이라고 놓습니다. 그런-다음:

{\frac {1}{c^{2}}}+{\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{k^{2}}}.

이들 변과 내원 반지름 r은 유사한 공식에 의해 관련됩니다:

\displaystyle {\frac {1}{r}}=-{\frac {1}{c}}+{\frac {1}{h}}+{\frac {1}{k}}.

직각 삼각형의 둘레는 내원과 셋의 외원의 반지름의 합과 같습니다:

a+b+c=r+r_{a}+r_{b}+r_{c}.

References

^ Daniel Parrochia (24 July 2018). Mathematics and Philosophy. John Wiley & Sons. pp. 72–. ISBN 978-1-78630-209-0.
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Weisstein, Eric W. "Right Triangle". MathWorld.
Wentworth, G.A. (1895). A Text-Book of Geometry. Ginn & Co.

External links

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[Posamentier-3] Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T. Challenging Problems in Geometry, Dover, 1996.

[4] Wentworth p. 156

[5] Voles, Roger, "Integer solutions of $a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}$ ," Mathematical Gazette 83, July 1999, 269–271.

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[10] Properties of Right Triangles

[CTK-11] CTK Wiki Math, A Variant of the Pythagorean Theorem, 2011, [2].

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[14] Di Domenico, A., "The golden ratio — the right triangle — and the arithmetic, geometric, and harmonic means," Mathematical Gazette 89, July 2005, 261. Also Mitchell, Douglas W., "Feedback on 89.41", vol 90, March 2006, 153-154.

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[16] Bailey, Herbert, and DeTemple, Duane, "Squares inscribed in angles and triangles", Mathematics Magazine 71(4), 1998, 278-284.

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Principal properties

Area

Altitudes

Pythagorean theorem

Inradius and circumradius

Characterizations

Sides and semiperimeter

Angles

Area

Inradius and exradii

Altitude and medians

Circumcircle and incircle

Trigonometric ratios

Special right triangles

Kepler triangle

Thales' theorem

Medians

Euler line

Inequalities

Other properties

See also

References

External links