Row and column vectors

Original article: w:Row and column vectors

선형 대수(linear algebra)에서, $m$ 원소를 갖는 열 벡터(column vector)는 $m$ 엔트리의 단일 열, 예를 들어, 다음과 같이 구성된 $m\times 1$ 행렬(matrix)입니다: $${\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}.$$

유사하게, 행 벡터(row vector)는 $n$ 엔트리의 단일 행으로 구성된 일부 $n$에 대해 $1\times n$ 행렬입니다: $${\boldsymbol {a}}={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}.$$ (이 문서 전체에서, 행 벡터와 열 벡터 모두에 굵은 글꼴이 사용됩니다.)

임의의 행 벡터의 전치 (T로 표시됨)는 열 벡터이고, 임의의 열 벡터의 전치는 행 벡터입니다: $${\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}$$ 그리고 $${\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}.$$

주어진 필드 (예를 들어, 실수)에 n 엔트리를 갖는 모든 행 벡터의 집합은 n-차원 벡터 공간(vector space)을 형성합니다; 유사하게, m 엔트리를 갖는 모든 열 벡터의 집합은 m-차원 벡터 공간을 형성합니다.

열 벡터의 공간 위에 임의의 선형 함수형은 고유한 행 벡터의 왼쪽-곱셈으로 나타낼 수 있기 때문에, n 엔트리를 갖는 행 벡터의 공간은 n 엔트리를 갖는 열 벡터의 공간의 이중 공간(dual space)으로 고려될 수 있습니다.

Notation

다른 텍스트와 함께 열 벡터를 인-라인으로 작성하는 것을 단순화하기 위해, 그것들은 때로는 전치 연산이 적용된 행 벡터로 작성됩니다.

$${\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}$$

또는

$${\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}$$

일부 저자는 역시 열 벡터와 행 벡터를 모두 행으로 작성하지만, 행 벡터 원소는 쉼표로, 열 벡터 원소는 세미콜론으로 구분하는 관례를 사용합니다 (아래 테이블에서 대안적인 표기법 2를 참조).

	행 벡터	열 벡터
표준 행렬 표기법 (배열 공간, 쉼표 없음, 전치 기호)	${\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}{\text{ or }}{\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}$
대안적인 표기법 1 (쉼표, 전치 기호)	${\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}$
대안적인 표기법 2 (쉼표와 세미콜론, 전치 기호 없음)	${\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}x_{1};x_{2};\dots ;x_{m}\end{bmatrix}}$

Operations

행렬 곱셈(Matrix multiplication)은 한 행렬의 각 행 벡터를 또 다른 행렬의 각 열 벡터와 곱하는 동작을 포함합니다.

좌표 공간의 원소로 고려되는 두 열 벡터 a, b의 점 곱(dot product)은 a의 전치와 b의 행렬 곱과 같습니다,

$$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\intercal }\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\,,$$

점 곱의 대칭에 의해, 두 열 벡터 a, b의 점 곱(dot product)은 역시 b의 전치와 a의 행렬 곱과 같습니다,

$$\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {b} ^{\intercal }\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}b_{1}&\cdots &b_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\,.$$

열과 행 벡터의 행렬 곱은 보다 일반적인 텐서 곱(tensor product)의 예제, 두 벡터 a, b의 밖의 곱(outer product)을 제공합니다. a의 열 벡터 표현과 b의 행 벡터 표현의 행렬 곱은 이원적 곱의 구성 요소를 제공합니다:

$$\mathbf {a} \otimes \mathbf {b} =\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\intercal }={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\\\end{bmatrix}}\,,$$

이는 b의 열 벡터 표현과 a의 행 벡터 표현의 행렬 곱의 전치(transpose)입니다:

$$\mathbf {b} \otimes \mathbf {a} =\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\intercal }={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}a_{1}&b_{1}a_{2}&b_{1}a_{3}\\b_{2}a_{1}&b_{2}a_{2}&b_{2}a_{3}\\b_{3}a_{1}&b_{3}a_{2}&b_{3}a_{3}\\\end{bmatrix}}\,.$$

Matrix transformations

Main article: Transformation matrix

n × n 행렬 M은 선형 맵(linear map)을 나타낼 수 있고 선형 맵의 변환 행렬(transformation matrix)로 행 벡터와 열 벡터에 동작합니다. 행 벡터 v에 대해, 곱 vM은 또 다른 행 벡터 p입니다.

$$\mathbf {v} M=\mathbf {p} \,.$$

또 다른 n × n 행렬 Q는 p 위에 동작할 수 있습니다,

$$\mathbf {p} Q=\mathbf {t} \,.$$

그런-다음 t = pQ = vMQ라고 쓸 수 있으므로, 행렬 곱(matrix product) 변환 MQ는 v를 t에 직접 매핑합니다. 행 벡터를 계속 사용하여, n-공간을 추가로 재구성하는 행렬 변환은 이전 출력의 오른쪽에 적용될 수 있습니다.

열 벡터가 n × n 행렬 동작 아래에서 또 다른 열 벡터로 변환되면, 연산은 왼쪽에서 발생하며,

$$\mathbf {p} ^{\mathrm {T} }=M\mathbf {v} ^{\mathrm {T} }\,,\quad \mathbf {t} ^{\mathrm {T} }=Q\mathbf {p} ^{\mathrm {T} },$$

v^T 입력에서 합성된 출력에 대한 대수적 표현 QM v^T로 이어집니다. 행렬 변환에 대한 입력을 위한 열 벡터 사용에서 행렬 변환은 왼쪽에 마운트됩니다.

See also

• Covariance and contravariance of vectors
• Index notation
• Vector of ones
• Single-entry vector
• Standard unit vector
• Unit vector

References

See also: Linear algebra § Further reading

• Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
• Lay, David C. (August 22, 2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
• Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, archived from the original on March 1, 2001
• Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
• Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th ed.), Wiley International
• Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th ed.), Pearson Prentice Hall