Sagitta (geometry)

Original article: w:Sagitta (geometry)

Not to be confused with Sagitta (optics).

Visualization of the sagitta

기하학(geometry)에서, 원형 호(circular arc)의 화살(sagitta, 때때로 줄여서 sag)은 호의 중심에서 그것의 밑면의 중심까지의 거리입니다. 그것은 특정 높이와 거리를 확장하기 위해 필요한 호를 계산할 때 건축에서 광범위하게 사용되고 구형 거울 또는 렌즈의 깊이를 찾기 위해 사용되는 광학 분야에서도 광범위하게 사용됩니다. 그 이름은 화살표를 의미하는 라틴어(Latin) sagitta에서 직접 유래합니다.

Formulae

다음 방정식에서, s는 화살 (호의 깊이 또는 높이)을 나타내고, r은 원(circle)의 반지름(radius)과 같고, l은 호의 밑변을 확장하는 현(chord)의 길이입니다. l/2와 r − s가 r을 빗변(hypotenuse)으로 갖는 직각 삼각형(right triangle)의 두 변일 때, 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)는 다음을 제공합니다:

$r^{2}=\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}+\left(r-s\right)^{2}.$

이것은 다른 세 가지 중 어느 하나를 제공하기 위해 재배열될 수 있습니다:

${\begin{aligned}s&=r-{\sqrt {r^{2}-{\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}}}},\\[5px]l&=2{\sqrt {2rs-s^{2}}},\\[5px]r&={\frac {s^{2}+\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}}{2s}}={\frac {s}{2}}+{\frac {l^{2}}{8s}}.\end{aligned}}$

화살은 역시 Δ = 2θ의 각도를 확장하고, 단위 원에 대해 벌사인과 일치하는 호에 대해, 벌사인(versine) 함수로부터 계산될 수 있습니다:

$s=r\operatorname {versin} \theta =r\left(1-\cos \theta \right)=2r\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}.$

Approximation

화살이 반지름에 비해 작을 때, 그것은 다음 공식에 의해 근사화될 수 있습니다:

$s\approx {\frac {l^{2}}{8r}}.$

대안적으로, 만약 화살이 작고 화살, 반지름, 및 현 길이가 알려져 있으며, 그것들은 다음 공식에 의해 호 길이를 추정하기 위해 사용될 수 있습니다:

$a\approx l+{\frac {2s^{2}}{r}}\approx l+{\frac {8s^{2}}{3l}},$

여기서 a는 호의 길이(length of the arc)입니다; 이 공식은 중국 수학자 심 괄(Shen Kuo)에게 알려져 있었고, 화살을 포함하는 보다 정확한 공식은 2세기 후에 곽 수경(Guo Shoujing)에 의해 개발되었습니다.

Applications

건축가, 공학자, 및 계약자는 이러한 방정식을 곡선 벽, 아치형 천장, 다리, 및 기타 수많은 응용에 사용되는 "평평한" 호를 만들기 위해 사용합니다.

화살은 역시 현 길이와 함께 가속된 입자의 곡률의 반지름을 계산하기 위해 사용되는 물리학에서 사용처를 가집니다. 이것은 붕괴 입자의 운동량(momentum)을 결정하기 위해 사용되는 버블 챔버(bubble chamber) 실험에서 특히 사용됩니다. 마찬가지로 역사적으로 화살은 역시 구심 시스템에서 움직이는 물체의 계산에서 매개변수로 활용됩니다. 이 방법은 뉴턴의(Newton's) 프린키피아(Principia)에서 사용됩니다.

See also

• Circular segment
• Versine

External links

• Calculating the Sagitta of an Arc