Chord (geometry)

원(circle)의 현은 끝점이 모두 원형 호(circular arc)에 놓이는 똑바른 선분(straight line segment)입니다. 현의 무한 직선(infinite line) 연장은 가름 직선(secant line) 또는 그냥 가름선(secant)입니다. 보다 일반적으로, 현은 임의의 곡선, 예를 들어, 타원(ellipse) 위의 두 점을 연결하는 선분입니다. 원의 중심 점을 지나는 현은 원의 지름(diameter)입니다. 단어 chord는 활끈을 의미하는 라틴어 chorda에서 유래했습니다.

In circles

원(circle)의 현 속성은 다음과 같습니다:

현이 원에서 같은 거리인 것과 그것들의 길이가 같은 것은 필요충분 조건입니다.
같은 현은 그 원의 중심에서 같은 각도에 의해 끼워집니다.
원의 중심을 통과하는 현은 지름이라고 불리고 특정 원의 가장 긴 현입니다.
만약 현 AB와 CD의 연장선 (가름 직선)이 점 P에서 교차하면, 그것들의 길이는 AP·PB = CP·PD를 만족시킵니다 (점의 배율 정리(power of a point theorem)).

In ellipses

타원(ellipse)의 평행 현의 집합의 중간점은 공선형(collinear)에 있습니다.^[1]

In trigonometry

현은 삼각법(trigonometry)의 초기 개발에서 광범위하게 사용되었습니다. 히파르코스(Hipparchus)에 의해 편집된, 최초의 알려진 삼각법 테이블은 매 7+1/2 도(degree)마다 현 함수의 값을 테이블로 작성했습니다. 2세기에, 알렉산드리아의 프톨레마이오스(Ptolemy)는 천문학에 관한 그의 책에서 보다 광범위한 현의 테이블을 편집하여, 1/2에서 1/2도의 증분만큼 180도까지 범위의 각도에 대해 현의 값을 제공했습니다. 그 원의 지름은 120이었고, 현 길이는 정수 부분 뒤의 둘의 밑수-60 자릴수까지 정확합니다.^[2]

현 함수는 그림에서 보인 것처럼 기하학적으로 정의됩니다. 각도(angle)의 현은 그 중심각에 의해 분리된 단위 원 위의 두 점 사이의 현의 길이(length)입니다. 각도 θ는 양의 의미로 취해지고 구간 $0 < θ \leq π$ (라디안 측정)에 있어야 합니다. 현 함수는 점의 하나를 (1,0)로 취하고, 다른 점을 ( $cos θ, sin θ$ )로 취하고, 그런-다음 현 길이를 계산하기 위해 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)를 사용함으로써 현대 사인(sine) 함수와 관련될 수 있습니다:^[2]

\operatorname {crd} \ \theta ={\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}+\sin ^{2}\theta }}={\sqrt {2-2\cos \theta }}=2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right).

마지막 단계는 절반-각도 공식(half-angle formula)을 사용합니다. 현대 삼각법이 사인 함수를 기반으로 구축된 것처럼, 고대 삼각법은 현 함수를 기반으로 구축되었습니다. 히파르코스는 현에 관한 12권의 연구를 저술했다고 알려져 있으며, 지금은 모두 소실되었으므로, 아마도 그것에 대해 많이 알려졌을 것입니다. 아래 테이블에서 (여기서 c는 현 길이, D는 원의 지름), 현 함수는 잘-알려진 현대 것과 유사한 많은 항등식을 만족시키는 것으로 표시될 수 있습니다:

이름	사인-기반	현-기반
피타고라스	$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,$	$\operatorname {crd} ^{2}\theta +\operatorname {crd} ^{2}(\pi -\theta )=4\,$
절반-각도	$\sin {\frac {\theta }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\,$	$\operatorname {crd} \ {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {2-\operatorname {crd} (\pi -\theta )}}\,$
아포팀 (a)	$c=2{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}$	$c={\sqrt {D^{2}-4a^{2}}}$
각도 (θ)	$c=2r\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)$	$c={\frac {D}{2}}\operatorname {crd} \ \theta$

역 함수가 마찬가지로 존재합니다:^[3]

\theta =2\arcsin {\frac {c}{2r}}

References

^ Chakerian, G. D. (1979). "7". In Honsberger, R. (ed.). A Distorted View of Geometry. Washington, DC, USA: Mathematical Association of America. p. 147. {{cite book}}: |work= ignored (help)
^ ^a ^b Maor, Eli (1998), Trigonometric Delights, Princeton University Press, pp. 25–27, ISBN 978-0-691-15820-4
^ Simpson, David G. (2001-11-08). "AUXTRIG" (FORTRAN-90 source code). Greenbelt, Maryland, USA: NASA Goddard Space Flight Center. Retrieved 2015-10-26.

External links

History of Trigonometry Outline
Trigonometric functions, focusing on history
Chord (of a circle) With interactive animation

[Chakerian_1979-1] Chakerian, G. D. (1979). "7". In Honsberger, R. (ed.). A Distorted View of Geometry. Washington, DC, USA: Mathematical Association of America. p. 147. {{cite book}}: |work= ignored (help)

[Maor-2] Maor, Eli (1998), Trigonometric Delights, Princeton University Press, pp. 25–27, ISBN 978-0-691-15820-4

[Simpson_2001-3] Simpson, David G. (2001-11-08). "AUXTRIG" (FORTRAN-90 source code). Greenbelt, Maryland, USA: NASA Goddard Space Flight Center. Retrieved 2015-10-26.

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