Semi-major and semi-minor axes

기하학(geometry)에서, 타원(ellipse)의 주요 축(major axis)은 가장 긴 지름(diameter)입니다: 즉, 중심과 양쪽 초점(foci)을 통과하고, 끝이 둘레(perimeter)에서 가장 넓게 분리된 두 점에 있는 선분(line segment)입니다. 장반축(장반축)은 가장 긴 반지름 또는 장축의 절반이므로 중심에서 초점을 거쳐 둘레까지 이어집니다. 타원 또는 쌍곡선의 반단축(단반축)은 반장축과 직각을 이루고 원뿔 단면의 중심에 한쪽 끝이 있는 선분입니다. 원의 특별한 경우에는 반축의 길이가 모두 원의 반지름과 같습니다.

반-주요 축(semi-major axis, 주요 반축(major semiaxis))은 가장 긴 반-지름(semidiameter) 또는 주요 축의 절반이고, 따라서 중심에서 초점을 통과하고 둘레까지 이어집니다. 타원 또는 쌍곡선(hyperbola)의 반-보조 축(semi-minor axis, 보조 반축(minor semiaxis))은 반-주요 축과 직각을 이루고 원뿔 단면(conic section)의 중심에 한쪽 끝이 있는 선분입니다. 원의 특별한 경우에 대해, 반-축의 길이가 모두 원의 반지름(radius)과 같습니다.

타원의 반-주요 축 $a$ 의 길이는 이심률(eccentricity) $e$ 와 반-래투스 렉텀(semi-latus rectum) $\ell$ 을 통해 다음과 같이 반-보조 축의 길이 $b$ 와 관련됩니다:

{\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}},\\\ell &=a(1-e^{2}),\\a\ell &=b^{2}.\end{aligned}}

쌍곡선(hyperbola)의 반-주요 축은, 관례에 따라, 더하기 또는 빼기 두 가지 사이 거리의 절반입니다. 따라서 그것은 중심에서 쌍곡선의 두 꼭짓점(vertex)까지의 거리입니다.

포물선(parabola)은 하나의 초점이 고정되어 있고 다른 초점이 한 방향으로 임의적으로 멀리 이동하여 고정된 상태로 $\ell$ 을 유지하는 타원의 수열의 극한으로 얻을 수 있습니다. 따라서 $a$ 와 $b$ 는 무한대로 가는 경향이 있으며, $a$ 는 $b$ 보다 빠릅니다.

주요 축과 보조 축은 곡선에 대해 대칭의 축(axes of symmetry)입니다: 타원에서, 보조 축이 더 짧습니다; 쌍곡선에서, 그것은 쌍곡선과 교차하지 않는 것입니다.

Ellipse

타원의 방정식은 다음입니다:

{\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1,

여기서 (h, k)는 데카르트 좌표(Cartesian coordinates)에서 타원의 중심이며, 이것에서 임의적인 점은 (x, y)에 의해 주어집니다.

반-주요 축은 초점으로부터 타원의 최대 및 최소 거리 $r_{\text{max}}$ 및 $r_{\text{min}}$ — 즉, 초점에서 주요 축의 끝점까지의 거리의 평균값입니다:

a={\frac {r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}{2}}.

천문학에서, 이들 극단 점은 장축단(apsides)이라고 불립니다.^[1]

타원의 반-보조 축은 이들 거리의 기하 평균(geometric mean)입니다:

b={\sqrt {r_{\text{max}}r_{\text{min}}}}.

타원의 이심률(eccentricity)은 다음으로 정의됩니다:

e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}},

따라서

r_{\text{min}}=a(1-e),\quad r_{\text{max}}=a(1+e).

이제 한 초점은 원점에 있고 나머지 다른 초점은 $\theta =\pi$ 방향에 있는 극 좌표(polar coordinates)에서 방정식을 생각해 보십시오:

r(1+e\cos \theta )=\ell .

$r=\ell /(1-e)$ 과 $r=\ell /(1+e)$ 의 평균값은, $\theta =\pi$ 와 $\theta =0$ 에 대해, 다음입니다:

a={\frac {\ell }{1-e^{2}}}.

타원에서, 반-주요 축은 중심에서 한 초점까지의 거리와 중심에서 두 방향선(directx)까지의 거리의 기하 평균(geometric mean)입니다.

타원의 반-보조 축은 타원의 중심 (초점 사이를 지나는 직선 사이와 위의 중간 점)에서 타원의 가장자리까지 이어집니다. 반-보조 축은 보조 축의 절반입니다. 보조 축은 타원 가장자리의 두 점을 연결하는 주요 축에 수직인 가장 긴 선분입니다.

반-보조 축 $b$ 는 이심률 $e$ 와 반-래투스 렉텀(semi-latus rectum) $\ell$ 을 통해 다음과 같이 반-주요 축 $a$ 와 관련됩니다:

{\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}},\\a\ell &=b^{2}.\end{aligned}}

포물선(parabola)은 하나의 초점이 고정되어 있고 나머지 다른 초점이 한 방향으로 임의적으로 멀리 이동하여 고정된 상태로 $\ell$ 을 유지하는 타원의 수열의 극한으로 얻을 수 있습니다. 따라서 $a$ 와 $b$ 는 무한대로 가는 경향이 있으며, $a$ 는 $b$ 보다 빠릅니다.

반-보조 축의 길이는 다음 공식을 사용하여 구할 수도 있습니다:^[2]

2b={\sqrt {(p+q)^{2}-f^{2}}},

여기서 $f$ 는 초점 사이의 거리이고, $p$ 와 $q$ 는 각 초점에서 타원에서 임의의 점까지의 거리입니다.

Hyperbola

쌍곡선(hyperbola)의 반-주요 축은, 관례에 따라, 더하기 또는 빼기 두 가지 사이 거리의 절반입니다; 만약 이것이 x-방향에서 $a$ 이면, 그 방정식은 다음입니다:

{\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1.

반-래투스 렉텀과 이심률의 관점에서, 다음을 가집니다:

a={\ell \over e^{2}-1}.

쌍곡선의 가로 축은 주요 축과 일치합니다.^[3]

쌍곡선에서, 타원의 보조 축에 해당하는 길이 $2b$ 의 켤레 축 또는 보조 축은 가로 축 또는 보조 축에 수직으로 그려질 수 있으며, 후자는 쌍곡선의 두 꼭짓점 (전환 점)을 연결하여, 두 축이 쌍곡선의 중심에서 교차합니다. 보조 축의 끝점 $(0,\pm b)$ 은 쌍곡선의 꼭짓점 위/아래 점근선의 높이에 놓입니다. 보조 축의 절반은 길이 $b$ 의 반-보조 축이라고 불립니다. 반-주요 축 길이 (중심에서 꼭짓점까지의 거리)를 $a$ 로 나타내어, 반-주요 축과 반-보조 축의 길이는 이들 축에 관한 쌍곡선 방정식에 다음과 같이 나타납니다:

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.

반-보조 축은 쌍곡선의 초점 중 하나에서 점근선까지의 거리이기도 합니다. 종종 충격 매개변수(impact parameter)라고 불리는, 이것은 물리학과 천문학에서 중요하고, 입자의 이동이 초점에 있는 몸체에 의해 교란되지 않으면 입자가 초점을 놓치는 거리를 측정합니다.

반-보조 축과 반-주요 축은 다음과 같이 이심률을 통해 관련됩니다:

b=a{\sqrt {e^{2}-1}}.

^[4]

쌍곡선에서 $b$ 는 $a$ 보다 클 수 있음에 주목하십시오.^[5]

Astronomy

Orbital period

천체역학(astrodynamics)에서, 원형 또는 타원형 궤도에서 중심 천체를 공전하는 작은 천체의 궤도 주기(orbital period) $T$ 는 다음입니다:^[1]

T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}},

여기서:

a

는 궤도의 반-주요 축의 길이입니다.

\mu

는 중심 천체의 표준 중력 매개변수입니다.

주어진 반-주요 축을 갖는 모든 타원에 대해, 궤도 주기는 이심률을 무시하고 같음에 주목하십시오.

원형 또는 타원형 궤도에서 중심 몸체를 공전하는 작은 몸체의 특정 각 운동량(specific angular momentum) $h$ 는 다음입니다:^[1]

h={\sqrt {a\mu (1-e^{2})}},

여기서:

a

와

\mu

는 위에서 처럼 정의됩니다,

e

는 궤도의 이심률입니다.

천문학(astronomy)에서, 반-주요 축은 궤도 주기(orbital period)와 함께 궤도(orbit)의 가장 중요한 궤도 원소(orbital elements) 중 하나입니다. 태양 시스템(Solar System) 천체에 대해, 반-주요 축은 케플러의 세 번째 법칙(Kepler's third law, 원래는 경험적으로 도출됨)에 의해 궤도의 주기와 관련됩니다:^[1]

T^{2}\propto a^{3},

여기서 $T$ 는 주기이고, $a$ 는 반-주요 축입니다. 이 형식은 뉴턴에 의해 결정된 것처럼 두-몸체 문제(two-body problem)의 일반적인 형식을 단순화한 것으로 밝혀졌습니다:^[1]

T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3},

여기서 $G$ 는 중력 상수(gravitational constant), $M$ 은 중심 몸체의 질량(mass)이고, $m$ 은 궤도를 도는 몸체의 질량입니다. 전형적으로, 중심 몸체의 질량은 궤도를 도는 몸체의 질량보다 훨씬 크기 때문에, $m$ 은 무시될 수 있습니다. 그러한 가정을 하고 전형적인 천문학 단위를 사용하여 케플러가 발견한 더 간단한 형태가 탄생합니다.

베리센터(barycenter) 주위를 선회하는 몸체의 경로와 주요 중심에 관한 경로는 모두 타원입니다.^[1] 반-주요 축은 때때로 천문학에서 주요 대 보조 질량 비율이 상당히 클 때 ( $M\gg m$ ) 주요-대-보조 거리로 사용되었습니다; 따라서, 행성의 궤도 매개변수는 태양-중심의 항으로 제공됩니다. 원시-중심 궤도와 "절대" 궤도 사이의 차이는 지구-달 시스템을 봄으로써 가장 잘 설명될 수 있습니다. 이 경우에서 질량 비율은 81.30059입니다. 지구-중심의(geocentric) 달 궤도의 반-주요 축, 지구-달 특성 거리는 384,400 km입니다. (달 궤도의 이심률 e = 0.0549를 주어지면, 그것의 반-보조 축은 383,800 km입니다. 따라서 달의 궤도는 거의 원형입니다.) 다른 한편으로, 베리센터의(barycentric) 달 궤도의 반-주요 축은 379,730 km이며, 지구의 역-궤도는 4,670 km의 차이를 차지합니다. 달의 평균 베리센터 궤도 속력은 1.010 km/s이고, 반면에 지구의 평균 궤도 속력은 0.012 km/s입니다. 이들 속력의 전체 합은 지구-중심의 달 평균 궤도 속력이 1.022 km/s임을 나타냅니다; 지구-중심 반-주요 축만 고려함으로써 같은 값을 얻을 수 있습니다.

Average distance

반-주요 축은 타원의 주요 초점과 궤도를 도는 몸체 사이의 "평균" 거리라고 흔히 말합니다. 이것은 평균이 무엇인지에 따라 다르기 때문에 정확하지 않습니다.

이심률 이상(eccentric anomaly)에 걸쳐 거리를 평균화하는 것은 실제로 반-주요 경 축을 초래합니다.
참 이상(true anomaly, 초점에서 측정된 참 궤도 각도)에 걸쳐 평균화하는 것은 반-보조 축 $b=a{\sqrt {1-e^{2}}}$ 을 초래합니다.
평균 이상(mean anomaly, 근심점 이후 경과되어 온 궤도 주기의 비율, 각도로 표시)에 걸쳐 평균화하는 것은 시간-평균 $a\left(1+{\frac {e^{2}}{2}}\right)\,$ 을 제공합니다.

반지름의 역수 $r^{-1}$ 의 시간-평균된 값은 $a^{-1}$ 입니다.

Energy; calculation of semi-major axis from state vectors

천체역학(astrodynamics)에서, 반-주요 축 $a$ 는 타원 궤도(elliptical orbit)에 대해, 그리고 관례에 따라, 궤도 상태 벡터(orbital state vectors)로부터 계산될 수 있습니다:

a=-{\frac {\mu }{2\varepsilon }}

쌍곡선 궤적(hyperbolic trajectory)에 대해 같거나 또는,

a={\frac {\mu }{2\varepsilon }}

그리고

\varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{|\mathbf {r} |}}

(특정 궤도 에너지(specific orbital energy)) 그리고

\mu =GM,

(표준 중력 매개변수(standard gravitational parameter)), 여기서:

v

는 궤도를 도는 물체의 속도 벡터(velocity vector)로부터 얻은 궤도 속도입니다.

r

은 궤도의 원소가 계산되는 참조 프레임(reference frame)의 좌표에서 궤도를 도는 물체의 데카르트 위치 벡터입니다 (예를 들어, 지구 주위 궤도에 대한 지구-중심의 적도, 또는 태양 주위 궤도에 대한 태양-중심의 황도).

G

는 중력 상수(gravitational constant),

M

은 중력 몸체의 질량이고,

\varepsilon

는 궤도를 도응 몸체의 특정 에너지입니다.

주어진 전체 질량의 총양에 대해, 특정 에너지와 반-주요 축은 이심률이나 질량 비율에 관계없이 항상 같다는 점에 주목하십시오. 반대로, 주어진 전체 질량과 반-주요 축에 대해, 전체 특정 궤도 에너지(specific orbital energy)는 항상 같습니다. 이 명제는 임의의 주어진 조건 아래에서 항상 참입니다.

Semi-major and semi-minor axes of the planets' orbits

행성 궤도는 항상 타원 (케플러의 첫 번째 법칙)의 주요 예제로 인용됩니다. 어쨌든, 반-주요 축과 반-보조 축 사이의 최소 차이는 그것들이 보기에 사실상 원형임을 나타냅니다. 해당 차이 (또는 비율)는 이심률을 기반으로 하고 ${\frac {a}{b}}={\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}$ 로 계산되며, 이는 전형적인 행성 이심률에 대해 매우 작은 결과를 산출합니다.

눈에 띄는 타원 궤도를 가정하는 이유는 아마도 원일점과 근일점 사이의 차이가 아마도 훨씬 더 크기 때문일 것입니다. 해당 차이 (또는 비율)도 이심률을 기반으로 하고 ${\frac {r_{\text{a}}}{r_{\text{p}}}}={\frac {1+e}{1-e}}$ 로 계산됩니다. 원일점과 근일점 사이의 큰 차이로 인해 케플러의 두 번째 법칙은 쉽게 시각화됩니다.

	Eccentricity	Semi-major axis a (AU)	Semi-minor axis b (AU)	Difference (%)	Perihelion (AU)	Aphelion (AU)	Difference (%)
Mercury	0.206	0.38700	0.37870	2.2	0.307	0.467	52
Venus	0.007	0.72300	0.72298	0.002	0.718	0.728	1.4
Earth	0.017	1.00000	0.99986	0.014	0.983	1.017	3.5
Mars	0.093	1.52400	1.51740	0.44	1.382	1.666	21
Jupiter	0.049	5.20440	5.19820	0.12	4.950	5.459	10
Saturn	0.057	9.58260	9.56730	0.16	9.041	10.124	12
Uranus	0.046	19.21840	19.19770	0.11	18.330	20.110	9.7
Neptune	0.010	30.11000	30.10870	0.004	29.820	30.400	1.9

1 AU (천문학적 단위)는 149.6 million km와 같습니다.

References

^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Lissauer, Jack J.; de Pater, Imke (2019). Fundamental Planetary Sciences: physics, chemistry, and habitability. New York: Cambridge University Press. pp. 24–31. ISBN 9781108411981.
^ "Major / Minor axis of an ellipse", Math Open Reference, 12 May 2013.
^ "7.1 Alternative Characterization". www.geom.uiuc.edu. Archived from the original on 2018-10-24. Retrieved 2007-09-06.
^ "The Geometry of Orbits: Ellipses, Parabolas, and Hyperbolas". www.bogan.ca.
^ "7.1 Alternative Characterization". Archived from the original on 2018-10-24. Retrieved 2007-09-06.

External links

Semi-major and semi-minor axes of an ellipse With interactive animation

[lissauer2019-1] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Lissauer, Jack J.; de Pater, Imke (2019). Fundamental Planetary Sciences: physics, chemistry, and habitability. New York: Cambridge University Press. pp. 24–31. ISBN 9781108411981.

[2] "Major / Minor axis of an ellipse", Math Open Reference, 12 May 2013.

[3] "7.1 Alternative Characterization". www.geom.uiuc.edu. Archived from the original on 2018-10-24. Retrieved 2007-09-06.

[4] "The Geometry of Orbits: Ellipses, Parabolas, and Hyperbolas". www.bogan.ca.

[5] "7.1 Alternative Characterization". Archived from the original on 2018-10-24. Retrieved 2007-09-06.

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