Vertex (curve)
평면 곡선(plane curves)의 기하학에서, 꼭짓점(vertex)은 곡률(curvature)의 1차 도함수가 영이 되는 점입니다.[1] 이것은 전형적으로 곡률의 지역적 최댓값 또는 최솟값이고,[2] 일부 저자는 꼭짓점을 보다 구체적으로 곡률의 지역적 극단값(local extremum)으로 정의합니다.[3] 어쨌든, 다른 특수한 경우는, 예를 들어 2차 도함수도 영이거나, 곡률이 상수일 때, 발생할 수 있습니다. 다른 한편으로, 공간 곡선(space curves)에 대해, 꼭짓점(vertex)은 꼬임(torsion)이 사라지는 점입니다.
Examples
쌍곡선은 각 가지에 하나씩 두 개의 꼭짓점을 가집니다; 그것들은 쌍곡선의 반대 가지에 놓이는 임의의 두 점 중 가장 가까운 점이고, 그것들은 주요 축에 놓입니다. 포물선에서, 유일한 꼭짓점은 대칭의 축 위에 놓이고 다음 형식의 이차 형식에 있습니다:
그것은 제곱을 완성하거나 미분(differentiation)을 통해 찾을 수 있습니다.[2] 타원(ellipse)에서, 네 개의 꼭짓점 중 두 개는 주요 축 위에 놓이고 두 개는 보조 축 위에 놓입니다.[4]
원(circle)에 대해, 이는 상수 곡률을 가지며, 모든 각 점이 꼭짓점입니다.
Cusps and osculation
꼭짓점은 곡선이 해당 점에서 진동하는 원(osculating circle)과 4-점 접촉(4-point contact)을 가집니다.[5][6] 대조적으로, 곡선 위의 일반 점은 전형적으로 진동하는 원과 3-점 접촉만 가집니다. 곡선의 진화(evolute)는 일반적으로 곡선이 꼭짓점을 가질 때 뾰족점(cusp)을 가집니다;[6] 다른 것, 더 퇴화되고 불안정한 특이점은 진동 원이 4보다 높은 차수의 접촉을 가지는 고차 꼭짓점에서 발생할 수 있습니다.[5] 비록 단일 일반적인 곡선이 임의의 고차 꼭짓점을 가지지 않을지라도, 그것들은 일반적으로 두 개의 보통의 꼭짓점이 합쳐져 더 높은 꼭짓점을 형성하고 그런-다음 소멸되는 곡선 가족의 곡선에서 단일 매개변수 곡선의 가족 내에서 발생합니다.
곡선의 대칭 집합(symmetry set)은 꼭짓점에 해당하는 뾰족점에 끝점을 가지고, 대칭 집합의 부분집합인 중앙 축(medial axis)도 뾰족점에 끝점을 가집니다.
Other properties
고전적인 4-꼭짓점 정리(four-vertex theorem)에 따르면, 모든 각 단순 닫힌 평면 매끄러운 곡선은 적어도 4개의 꼭짓점을 가져야 합니다.[7] 보다 일반적인 사실은 볼록 몸체의 경계에 놓이거나, 심지어 지역적으로 볼록 디스크의 경계에 놓이는 모든 각 단순 닫힌 공간 곡선은 4개의 꼭짓점을 가져야 한다는 것입니다.[8] 상수 너비를 갖는 모든 각 곡선은 적어도 6개의 꼭짓점을 가져야 합니다.[9]
만약 평면 곡선이 양측 대칭(bilaterally symmetric)이면, 그것은 대칭 축이 곡선과 교차하는 점 또는 점들에서 꼭짓점을 가질 것입니다. 따라서, 곡선에 대해 꼭짓점의 개념은 광축이 렌즈 표면과 교차하는 점, 광학 꼭짓점(optical vertex)의 개념과 밀접하게 관련되어 있습니다.
Notes
- ^ Agoston (2005), p. 570; Gibson (2001), p. 126.
- ^ a b Gibson (2001), p. 127.
- ^ Fuchs & Tabachnikov (2007), p. 141.
- ^ Agoston (2005), p. 570; Gibson (2001), p. 127.
- ^ a b Gibson (2001), p. 126.
- ^ a b Fuchs & Tabachnikov (2007), p. 142.
- ^ Agoston (2005), Theorem 9.3.9, p. 570; Gibson (2001), Section 9.3, "The Four Vertex Theorem", pp. 133–136; Fuchs & Tabachnikov (2007), Theorem 10.3, p. 149.
- ^ Sedykh (1994); Ghomi (2015)
- ^ Martinez-Maure (1996); Craizer, Teixeira & Balestro (2018)
References
- Agoston, Max K. (2005), Computer Graphics and Geometric Modelling: Mathematics, Springer, ISBN 9781852338176.
- Craizer, Marcos; Teixeira, Ralph; Balestro, Vitor (2018), "Closed cycloids in a normed plane", Monatshefte für Mathematik, 185 (1): 43–60, arXiv:1608.01651, doi:10.1007/s00605-017-1030-5, MR 3745700, S2CID 254062096.
- Fuchs, D. B.; Tabachnikov, Serge (2007), Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics, American Mathematical Society, ISBN 9780821843161
- Ghomi, Mohammad (2015), Boundary torsion and convex caps of locally convex surfaces, arXiv:1501.07626, Bibcode:2015arXiv150107626G
- Gibson, C. G. (2001), Elementary Geometry of Differentiable Curves: An Undergraduate Introduction, Cambridge University Press, ISBN 9780521011075.
- Martinez-Maure, Yves (1996), "A note on the tennis ball theorem", American Mathematical Monthly, 103 (4): 338–340, doi:10.2307/2975192, JSTOR 2975192, MR 1383672.
- Sedykh, V.D. (1994), "Four vertices of a convex space curve", Bull. London Math. Soc., 26 (2): 177–180, doi:10.1112/blms/26.2.177