Eccentricity (mathematics)

All types of conic sections, arranged with increasing eccentricity. Note that curvature decreases with eccentricity, and that none of these curves intersect.

수학(mathematics)에서, 원뿔 단면(conic section)의 이심률(eccentricity)은 그것의 모양을 고유하게 특징짓는 비-음의 실수입니다.

보다 공식적으로 둘의 원뿔 단면이 닮은(similar) 것과 그것들이 같은 이심률을 갖는 것은 필요충분(iff) 조건입니다.

우리는 이심률을 원뿔 단면이 원형에서 얼마나 벗어났는지를 나타내는 측정으로 생각할 수 있습니다. 특히:

원(circle)의 이심률은 영입니다.
원이 아닌 타원(ellipse)의 이심률은 영보다 크고 1보다 작습니다.
포물선(parabola)의 이심률은 1입니다.
쌍곡선(hyperbola)의 이심률은 1보다 큽니다.
한 쌍의 직선(lines)의 이심률은 $\infty$ 입니다.

Definitions

임의의 원뿔 단면은 점 (초점)과 직선 (방향선)까지의 거리가 일정한 비율에 있는 점의 자취로 정의될 수 있습니다. 이 비율은 이심률이라고 불리고, 공통적으로 $e$ 로 표시됩니다.

이심률은 역시 평면과 원뿔 단면과 결합된 이중-나팔 원뿔(double-napped cone)의 교차로 정의될 수 있습니다. 만약 원뿔이 축과 수직으로 놓여 있으면, 이심률은 다음과 같습니다:^[1]

e={\frac {\sin \beta }{\sin \alpha }},\ \ 0<\alpha <90^{\circ },\ 0\leq \beta \leq 90^{\circ }\ ,

여기서 β는 평면과 수평 사이의 각도이고 α는 경사 생성기와 수평 사이의 각도입니다. $\beta =0$ 에 대해 평면 단면은 원이고, $\beta =\alpha$ 에 대해 포물선입니다. (그 평면은 원뿔의 꼭짓점과 만나지 않아야 합니다.)

$c$ (또는 때때로 $f$ 또는 $e$ )로 표시되는 타원 또는 쌍곡선의 선형 이심률은 중심과 두 초점(foci) 중 하나 사이의 거리입니다. 이심률은 선형 이심률 대 반-주요 축(semimajor axis) $a$ 의 비율로 정의될 수 있습니다: 즉, $e={\frac {c}{a}}$ (중심이 없으면, 포물선에 대한 선형 이심률이 정의되지 않습니다.)

Alternative names

이심률은 타원에 대해 정의된 두 번째 이심률과 세 번째 이심률과 구별하기 위해 때때로 첫 번째 이심률이라고 합니다 (아래 참조). 이심률은 역시 때때로 수치적 이심률이라고 합니다.

타원과 쌍곡선의 경우에서, 선형 이심률은 때때로 절반-초점 분리(half-focal separation)라고 합니다.

Notation

세 가지 표기법의 관례가 공통적으로 사용됩니다:

이심률에 대해 $e$ 와 선형 이심률에 대해 $c$ .
이심률에 대해 $ε$ 와 선형 이심률에 대해 $e$ .
이심률에 대해 $e$ 또는 $ϵ<$ 와 선형 이심률에 대해 $f$ (절반-초점(focal) 분리에 대한 연상기호).

이 기사는 첫 번째 표기법을 사용합니다.

Values

Conic section	Equation	Eccentricity ( $e$ )	Linear eccentricity ( $c$ )
Circle	$x^{2}+y^{2}=r^{2}$	$0$	$0$
Ellipse	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ or ${\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1$ where $a>b$	${\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$	${\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$
Parabola	$x^{2}=4ay$	$1$	–
Hyperbola	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ or ${\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1$	${\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$	${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

여기서, 타원과 쌍곡선에 대해, $a$ 는 반-주요 축의 길이이고 $b$ 는 반-보조 축의 길이입니다.

원뿔 단면이 일반적인 이차 형식에서 주어질 때,

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,

다음 공식은 원뿔 단면이 포물선 (이심률이 1임)이 아니고, 퇴화 쌍곡선 또는 퇴화 타원이 아니고, 허수 타원이 아니면 이심률 $e$ 를 제공합니다:^[2]

e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}}}

여기서 다음 3x3 행렬의 행렬식(determinant)이 음수이면 $\eta =1$ 이거나:

{\begin{bmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{bmatrix}}

해당 행렬식이 양수이면 $\eta =-1$ 입니다.

Ellipses

타원의 이심률(ellipse)은 엄격하게 1보다 작습니다. 원 (편심률 0을 가짐)이 타원으로 세어질 때, 타원의 이심률은 0보다 크거나 같습니다; 만약 원이 특정 카테고리로 지정되고 타원의 카테고리에서 제외되면, 타원의 이심률은 엄격하게 0보다 큽니다.

임의의 타원에 대해, $a$ 를 반-주요 축(semi-major axis)의 길이로 놓고 $b$ 를 반-보조 축(semi-minor axis)의 길이로 놓습니다.

우리는 여러 관련된 추가 개념을 정의합니다 (오직 타원 전용):

Name	Symbol	in terms of $a$ and $b$	in terms of $e$
First eccentricity	$e$	${\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$	$e$
Second eccentricity	$e'$	${\sqrt {{\frac {a^{2}}{b^{2}}}-1}}$	${\frac {e}{\sqrt {1-e^{2}}}}$
Third eccentricity	$e''={\sqrt {m}}$	${\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$	${\frac {e}{\sqrt {2-e^{2}}}}$
Angular eccentricity	$\alpha$	$\cos ^{-1}\left({\frac {b}{a}}\right)$	$\sin ^{-1}e$

Other formulae for the eccentricity of an ellipse

타원의 이심률은, 가장 간단하게, 타원의 중심과 각 초점 사이의 거리 $c$ 와 반-주요 축 $a$ 의 길이의 비율입니다.

e={\frac {c}{a}}.

이심률은 역시 반-주요 축 $a$ 와 중심에서 방향선까지 거리 $d$ 의 비율입니다:

e={\frac {a}{d}}.

이심률은 평탄화(flattening) $f$ 의 관점에서 표현될 수 있습니다 (반-주요 축 $a$ 와 반-보조 축 $b$ 에 대해 $f=1-b/a$ 로 정의됨):

e={\sqrt {f(2-f)}}.

(평탄화는 $f$ 가 선형 이심률이면 일부 주제 영역에서 $g$ 로 나타낼 수 있습니다.)

최대와 최소 반지름 $r_{\text{max}}$ 와 $r_{\text{min}}$ 을 어느 한 초점에서 타원까지 최대와 최소 거리로 정의합니다 (즉, 어느 한 초점에서 주요 축의 두 끝까지의 거리). 그런-다음 반-주요 축 $a$ 와 함께, 이심률은 다음에 의해 제공됩니다:

e={\frac {r_{\text{max}}-r_{\text{min}}}{r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}}={\frac {r_{\text{max}}-r_{\text{min}}}{2a}},

이것은 초점 사이의 거리를 주요 축의 길이로 나눈 값입니다.

Hyperbolas

쌍곡선(hyperbola)의 이심률은 위쪽 경계없이 1보다 큰 임의의 실수일 수 있습니다. 직교 쌍곡선(rectangular hyperbola)의 이심률은 ${\sqrt {2}}$ 입니다.

Quadrics

삼-차원 이차-초곡면(quadric)의 이심률은 그것의 지정된 단면(section)의 이심률입니다. 예를 들어, 삼축 타원체에서, 자오선 이심률(meridional eccentricity)은 가장 긴 축과 가장 짧은 축 (그것 중 하나는 극축이 됨)을 모두 포함하는 단면에 의해 형성된 타원의 이심률이고, 적도 이심률(equatorial eccentricity)은 극축에 수직인 (즉, 적도 평면에서), 중심을 통과하는 단면에 의해 형성된 타원의 이심률입니다. 그러나: 원뿔 단면은 더 높은 차원의 표면에서도 발생할 수 있습니다 (이미지 참조).

Celestial mechanics

천체 역학(celestial mechanics)에서, 구형 퍼텐셜에서 구속된 궤도에 대해, 위의 정의는 비공식적으로 일반화됩니다. 최장-중심점(apocenter) 거리가 최단-중심점(pericenter) 거리에 가까울 때, 그 궤도는 낮은 이심률을 가진다고 말합니다; 그것들이 매우 다를 때, 그 궤도는 이심적 또는 단위에 가까운 이심률을 가진다고 말합니다. 이 정의는 케플러-학파(Keplerian)에서 타원에 대한 이심률, 즉, $1/r$ 퍼텐셜과 일치합니다.

Analogous classifications

수학에서 많은 분류는 이심률에 의한 원뿔 단면의 분류에서 파생된 용어를 사용합니다:

타원, 포물선 및 쌍곡선으로 SL₂(R)의 원소의 분류 – 그리고 PSL₂(R), 실제 뫼비우스 변환(Möbius transformation)의 원소의 분류와 유사하게.
분산-대-평균 비율에 의한 이산 분포의 분류; 자세한 내용에 대해 일부 이산 확률 분포의 누적을 참조하십시오.
부분 미분 방정식의 분류는 원뿔 단면의 분류와 유사합니다; 타원형, 포물선형, 및 쌍곡선형 부분 미분 방정식을 참조하십시오.^[3]

References

^ Thomas, George B.; Finney, Ross L. (1979), Calculus and Analytic Geometry (fifth ed.), Addison-Wesley, p. 434. ISBN 0-201-07540-7
^ Ayoub, Ayoub B., "The eccentricity of a conic section", The College Mathematics Journal 34(2), March 2003, 116-121.
^ "Classification of Linear PDEs in Two Independent Variables". Retrieved 2 July 2013.

External links

MathWorld: Eccentricity

[1] Thomas, George B.; Finney, Ross L. (1979), Calculus and Analytic Geometry (fifth ed.), Addison-Wesley, p. 434. ISBN 0-201-07540-7

[2] Ayoub, Ayoub B., "The eccentricity of a conic section", The College Mathematics Journal 34(2), March 2003, 116-121.

[ornl.gov-3] "Classification of Linear PDEs in Two Independent Variables". Retrieved 2 July 2013.

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