Semiperimeter

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기하학(geometry)에서, 다각형(polygon)의 반둘레는 그것의 둘레(perimeter)의 절반입니다. 비록 그것이 둘레에서 이렇게 간단하게 유도되지만, 반 둘레는 삼각형(triangles)과 기타 도형에 대한 공식에서 충분히 자주 나타나 별도의 이름이 지정됩니다. 반둘레가 공식의 일부로 발생할 때, 그것은 전형적으로 문자 s에 의해 표시됩니다.

Triangles

In any triangle, the distance along the boundary of the triangle from a vertex to the point on the opposite edge touched by an excircle equals the semiperimeter.

반둘레는 삼각형에 대해 가장 자주 사용됩니다; 변 길이 a, b, 및 c를 갖는 삼각형의 반둘레에 대해 공식은 다음과 같습니다:

$s={\frac {a+b+c}{2}}.$

Properties

임의의 삼각형에서, 꼭짓점과 반대쪽 외원(excircle)이 삼각형에 접촉하는 점은 삼각형의 둘레를 둘의 같은 길이로 분할하고, 따라서 그것의 각각은 반둘레와 같은 길이를 가지는 두 경로를 생성합니다. 만약 A, B, C, A', B', 및 C'가 그림에서 처럼 보이면, 반대편 외원 접선 (다이어그램에서 빨간색으로 보인, AA', BB', 및 CC')을 갖는 꼭짓점을 연결하는 선분은 스플리터(splitters)로 알려져 있고, 다음입니다:

$s=|AB|+|A'B|=|AB|+|AB'|=|AC|+|A'C|$

$=|AC|+|AC'|=|BC|+|B'C|=|BC|+|BC'|.$

셋의 스플리터는 삼각형의 나겔 점(Nagel point)에서 공점(concur)입니다.

삼각형의 클리버(cleaver)는 삼각형의 둘레를 이등분하고 세 변 중 하나의 중점에 한 끝점이 있는 선분입니다. 따라서 임의의 클리버는, 임의의 스플리터와 마찬가지로, 삼각형을 그것의 길이가 반둘레와 같은 둘의 경로로 나눕니다. 셋의 클리버는 중점 삼각형(medial triangle)의 내원(incircle)인 슈피커 원의 중심에서 공점입니다; 슈피커 중심은 삼각형 가장자리에 위에 모든 점의 질량 중심(center of mass)입니다.

삼각형의 내중심(incenter)을 통과하는 직선이 둘레를 이등분하는 것과 그것이 역시 넓이를 이등분하는 것은 필요충분 조건입니다.

삼각형의 반둘레는 중점 삼각형(medial triangle)의 둘레와 같습니다.

삼각형 부등식(triangle inequality)에 의해, 삼각형의 가장 긴 변의 길이는 반둘레보다 작습니다.

Formulas invoking the semiperimeter

임의의 삼각형의 넓이 A는 내반지름(inradius) (내접하는 원의 반지름)과 그것의 반둘레의 곱입니다:

$A=rs.$

삼각형의 넓이는 역시 헤론의 공식(Heron's formula)을 사용하여 그것의 반둘레와 변 길이 a, b, c에서 계산될 수 있습니다:

$A={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}.$

삼각형의 둘레반지름(circumradius) R은 역시 반둘레와 변 길이로부터 계산될 수 있습니다:

$R={\frac {abc}{4{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}.$

이 공식은 사인의 법칙(law of sines)으로부터 유도될 수 있습니다.

내반지름은 다음입니다:

$r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}.$

코탄젠트의 법칙(law of cotangents)은 반둘레, 변, 및 내반지름의 관점에서 삼각형의 꼭짓점에서 반-각의 코탄젠트(cotangent)를 제공합니다.

길이 a의 변과 반대편의 각도의 내부 이등분선의 길이는

$t_{a}={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}.$

직각 삼각형(right triangle)에서 빗변(hypotenuse)에 대한 외원(excircle)의 반지름은 반둘레와 같습니다. 반둘레는 내반지름과 둘레반지름의 두 배의 합입니다. 직각 삼각형의 넓이는 $(s-a)(s-b)$이며, 여기서 a와 b는 다리입니다.

Quadrilaterals

변 길이 a, b, c, 및 d를 갖는 사변형(quadrilateral)의 반둘레에 대해 공식은 다음과 같습니다:

$s={\frac {a+b+c+d}{2}}.$

반둘레를 포함하는 삼각형 넓이 공식 중 하나는 역시 내원을 가지고 (피토 정리(Pitot theorem)에 따르면) 반대 변의 쌍이 반둘레에 합해지는 길이를 갖는 접하는 사변형(tangential quadrilateral)에 적용됩니다–즉, 넓이는 내반지름과 반둘레의 곱입니다:

$K=rs.$

순환 사변형(cyclic quadrilateral)의 넓이에 대해 브라마굽타 공식(Brahmagupta's formula)의 가장 단순한 형식은 삼각형 넓이에 대해 헤론의 공식과 유사한 형식을 가집니다:

$K={\sqrt {\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)}}.$

브레치나이더 공식(Bretschneider's formula)은 이것을 모든 볼록(convex) 사변형으로 일반화합니다:

$K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}},$

이것에서 $\alpha \,$와 $\gamma \,$는 두 반대편 각도입니다.

이-중심 사변형(bicentric quadrilateral)의 네 변은 반둘레, 내반지름, 및 둘레반지름에 의해 매개변수화된 사차 방정식의 넷의 해입니다.

Regular polygons

볼록(convex) 정규 다각형(regular polygon)의 넓이는 그것의 반둘레와 그것의 아포팀(apothem)의 곱입니다.

See also

• Semidiameter

External links

• Weisstein, Eric W. "Semiperimeter". MathWorld.