Square roots of the eigenvalues of the self-adjoint operator
수학(mathematics) , 특히 함수형 해석(functional analysis) 에서, 힐베르트 공간(Hilbert spaces)
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
컴팩트 연산자(compact operator)
T
:
X
→
Y
{\displaystyle T:X\rightarrow Y}
특이값 (singular values ), 또는 s -숫자s -numbers
T
∗
T
{\displaystyle T^{*}T}
고윳값(eigenvalues) 의 제곱근입니다 (여기서
T
∗
{\displaystyle T^{*}}
T
{\displaystyle T}
인접(adjoint) 을 나타냅니다).
특이값은 비-음의 실수 이며, 보통 감소하는 순서에서 나열됩니다 (σ 1 (T ), σ 2 (T ), …). 가장 큰 특이값 σ 1 (T )는 T 의 연산자 노름과 같습니다 (최소-최대 정리 를 참조).
Visualization of a singular value decomposition (SVD) of a 2-dimensional, real shearing matrix M . First, we see the unit disc in blue together with the two canonical unit vectors . We then see the action of M , which distorts the disc to an ellipse . The SVD decomposes M into three simple transformations: a rotation V * , a scaling Σ along the rotated coordinate axes and a second rotation U . Σ is a (square, in this example) diagonal matrix containing in its diagonal the singular values of M , which represent the lengths σ 1 and σ 2 of the semi-axes of the ellipse. 만약
T
{\displaystyle T}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
단위 구(unit sphere) 의
T
{\displaystyle T}
타원면체(ellipsoid) 이고, 반-축의 길이는
T
{\displaystyle T}
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
특이값은 정규 행렬(normal matrix)
A
{\displaystyle A}
고윳값(eigenvalues) 의 절댓값인데, 왜냐하면 스펙트럼 정리(spectral theorem) 는
A
=
U
Λ
U
∗
{\displaystyle A=U\Lambda U^{*}}
A
{\displaystyle A}
A
∗
A
=
U
Λ
∗
Λ
U
∗
=
U
|
Λ
|
U
∗
{\textstyle {\sqrt {A^{*}A}}={\sqrt {U\Lambda ^{*}\Lambda U^{*}}}=U\left|\Lambda \right|U^{*}}
연구된 힐베르트 공간 연산자에 대한 대부분의 노름(norms) 은 s -숫자를 사용하여 정의됩니다. 예를 들어, 판지(Ky Fan) -k -노름은 처음 k 개의 특이값의 합이고, 대각합 노름(trace norm)은 모든 특이값의 합이고, 샤텐 노름(Schatten norm) 은 특이값의 p- 번째 거듭제곱의 합의 p- 번째 근입니다. 각 노름은 연산자의 특수 클래스에서만 정의되므로, s -숫자는 다른 연산자를 분류하는 데 유용함에 주목하십시오.
유한-차원 경우에서, 행렬(matrix) 은 항상
U
Σ
V
∗
{\displaystyle \mathbf {U\Sigma V^{*}} }
U
{\displaystyle \mathbf {U} }
V
∗
{\displaystyle \mathbf {V^{*}} }
유니태리 행렬(unitary matrices) 이고
Σ
{\displaystyle \mathbf {\Sigma } }
직사각 대각 행렬(rectangular diagonal matrix) 입니다. 이것은 특이값 분해(singular value decomposition) 입니다.
Basic properties
A
∈
C
m
×
n
{\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}}
i
=
1
,
2
,
…
,
min
{
m
,
n
}
{\displaystyle i=1,2,\ldots ,\min\{m,n\}}
특이값에 대한 최소-최대 정리(Min-max theorem for singular values) . 여기서
U
:
dim
(
U
)
=
i
{\displaystyle U:\dim(U)=i}
i
{\displaystyle i}
C
n
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
σ
i
(
A
)
=
min
dim
(
U
)
=
n
−
i
+
1
max
x
∈
U
‖
x
‖
2
=
1
‖
A
x
‖
2
.
σ
i
(
A
)
=
max
dim
(
U
)
=
i
min
x
∈
U
‖
x
‖
2
=
1
‖
A
x
‖
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{i}(A)&=\min _{\dim(U)=n-i+1}\max _{\underset {\|x\|_{2}=1}{x\in U}}\left\|Ax\right\|_{2}.\\\sigma _{i}(A)&=\max _{\dim(U)=i}\min _{\underset {\|x\|_{2}=1}{x\in U}}\left\|Ax\right\|_{2}.\end{aligned}}}
행렬 전치와 켤레는 특이값을 변경하지 않습니다.
σ
i
(
A
)
=
σ
i
(
A
T
)
=
σ
i
(
A
∗
)
.
{\displaystyle \sigma _{i}(A)=\sigma _{i}\left(A^{\textsf {T}}\right)=\sigma _{i}\left(A^{*}\right).}
임의의 유니태리
U
∈
C
m
×
m
,
V
∈
C
n
×
n
{\displaystyle U\in \mathbb {C} ^{m\times m},V\in \mathbb {C} ^{n\times n}}
σ
i
(
A
)
=
σ
i
(
U
A
V
)
.
{\displaystyle \sigma _{i}(A)=\sigma _{i}(UAV).}
고윳값과의 관계:
σ
i
2
(
A
)
=
λ
i
(
A
A
∗
)
=
λ
i
(
A
∗
A
)
.
{\displaystyle \sigma _{i}^{2}(A)=\lambda _{i}\left(AA^{*}\right)=\lambda _{i}\left(A^{*}A\right).}
대각합(trace) 과의 관계:
∑
i
=
1
n
σ
i
2
=
tr
A
∗
A
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}={\text{tr}}\ A^{\ast }A}
만약
A
⊤
A
{\displaystyle A^{\top }A}
det
A
⊤
A
{\displaystyle {\sqrt {\det A^{\top }A}}}
만약
A
A
⊤
{\displaystyle AA^{\top }}
det
A
A
⊤
{\displaystyle {\sqrt {\det AA^{\top }}}}
만약
A
{\displaystyle A}
|
det
A
|
{\displaystyle |\det A|}
Inequalities about singular values See also.[1]
Singular values of sub-matrices
A
∈
C
m
×
n
{\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}}
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
σ
i
+
1
(
A
)
≤
σ
i
(
B
)
≤
σ
i
(
A
)
{\displaystyle \sigma _{i+1}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)}
B
{\displaystyle B}
와 열 중 하나가 삭제된
A
{\displaystyle A}
σ
i
+
2
(
A
)
≤
σ
i
(
B
)
≤
σ
i
(
A
)
{\displaystyle \sigma _{i+2}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)}
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
(
m
−
k
)
×
(
n
−
l
)
{\displaystyle (m-k)\times (n-l)}
σ
i
+
k
+
l
(
A
)
≤
σ
i
(
B
)
≤
σ
i
(
A
)
{\displaystyle \sigma _{i+k+l}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)}
Singular values of A + B
A
,
B
∈
C
m
×
n
{\displaystyle A,B\in \mathbb {C} ^{m\times n}}
∑
i
=
1
k
σ
i
(
A
+
B
)
≤
∑
i
=
1
k
(
σ
i
(
A
)
+
σ
i
(
B
)
)
,
k
=
min
{
m
,
n
}
{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A+B)\leq \sum _{i=1}^{k}(\sigma _{i}(A)+\sigma _{i}(B)),\quad k=\min\{m,n\}}
σ
i
+
j
−
1
(
A
+
B
)
≤
σ
i
(
A
)
+
σ
j
(
B
)
.
i
,
j
∈
N
,
i
+
j
−
1
≤
min
{
m
,
n
}
{\displaystyle \sigma _{i+j-1}(A+B)\leq \sigma _{i}(A)+\sigma _{j}(B).\quad i,j\in \mathbb {N} ,\ i+j-1\leq \min\{m,n\}}
Singular values of AB
A
,
B
∈
C
n
×
n
{\displaystyle A,B\in \mathbb {C} ^{n\times n}}
∏
i
=
n
i
=
n
−
k
+
1
σ
i
(
A
)
σ
i
(
B
)
≤
∏
i
=
n
i
=
n
−
k
+
1
σ
i
(
A
B
)
∏
i
=
1
k
σ
i
(
A
B
)
≤
∏
i
=
1
k
σ
i
(
A
)
σ
i
(
B
)
,
∑
i
=
1
k
σ
i
p
(
A
B
)
≤
∑
i
=
1
k
σ
i
p
(
A
)
σ
i
p
(
B
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{i=n}^{i=n-k+1}\sigma _{i}(A)\sigma _{i}(B)&\leq \prod _{i=n}^{i=n-k+1}\sigma _{i}(AB)\\\prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(AB)&\leq \prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A)\sigma _{i}(B),\\\sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(AB)&\leq \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(A)\sigma _{i}^{p}(B),\end{aligned}}}
σ
n
(
A
)
σ
i
(
B
)
≤
σ
i
(
A
B
)
≤
σ
1
(
A
)
σ
i
(
B
)
i
=
1
,
2
,
…
,
n
.
{\displaystyle \sigma _{n}(A)\sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(AB)\leq \sigma _{1}(A)\sigma _{i}(B)\quad i=1,2,\ldots ,n.}
A
,
B
∈
C
m
×
n
{\displaystyle A,B\in \mathbb {C} ^{m\times n}}
[2]
2
σ
i
(
A
B
∗
)
≤
σ
i
(
A
∗
A
+
B
∗
B
)
,
i
=
1
,
2
,
…
,
n
.
{\displaystyle 2\sigma _{i}(AB^{*})\leq \sigma _{i}\left(A^{*}A+B^{*}B\right),\quad i=1,2,\ldots ,n.}
Singular values and eigenvalues
A
∈
C
n
×
n
{\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}
See[3]
λ
i
(
A
+
A
∗
)
≤
2
σ
i
(
A
)
,
i
=
1
,
2
,
…
,
n
.
{\displaystyle \lambda _{i}\left(A+A^{*}\right)\leq 2\sigma _{i}(A),\quad i=1,2,\ldots ,n.}
|
λ
1
(
A
)
|
≥
⋯
≥
|
λ
n
(
A
)
|
{\displaystyle \left|\lambda _{1}(A)\right|\geq \cdots \geq \left|\lambda _{n}(A)\right|}
k
=
1
,
2
,
…
,
n
{\displaystyle k=1,2,\ldots ,n}
바일의 정리(Weyl's theorem)
∏
i
=
1
k
|
λ
i
(
A
)
|
≤
∏
i
=
1
k
σ
i
(
A
)
.
{\displaystyle \prod _{i=1}^{k}\left|\lambda _{i}(A)\right|\leq \prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A).}
p
>
0
{\displaystyle p>0}
∑
i
=
1
k
|
λ
i
p
(
A
)
|
≤
∑
i
=
1
k
σ
i
p
(
A
)
.
{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left|\lambda _{i}^{p}(A)\right|\leq \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(A).}
History 이 개념은 1907년 에르하르트 슈미트(Erhard Schmidt) 에 의해 소개되었습니다. 슈미트는 당시 특이값을 "고윳값(eigenvalues)"이라고 불렀습니다. "특이값"이라는 이름은 1937년에 Smithies에 의해 처음 인용되었습니다. 1957년에 Allahverdiev는 n- 번째 s -숫자의 다음과 같은 특성화를 입증했습니다:[4]
s
n
(
T
)
=
inf
{
‖
T
−
L
‖
:
L
is an operator of finite rank
<
n
}
.
{\displaystyle s_{n}(T)=\inf {\big \{}\,\|T-L\|:L{\text{ is an operator of finite rank }}<n\,{\big \}}.}
이 공식은 s -숫자의 개념을 바나흐 공간(Banach space) 에서 연산자로 확장하는 것을 가능하게 했습니다.
See also References
^ R. A. Horn and C. R. Johnson . Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, Cambridge, 1991. Chap. 3^ X. Zhan. Matrix Inequalities. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2002. p.28
^ R. Bhatia. Matrix Analysis. Springer-Verlag, New York, 1997. Prop. III.5.1
^ I. C. Gohberg and M. G. Krein . Introduction to the Theory of Linear Non-selfadjoint Operators. American Mathematical Society, Providence, R.I.,1969. Translated from the Russian by A. Feinstein. Translations of Mathematical Monographs, Vol. 18.
