An ellipse (red) obtained as the intersection of a cone with an inclined plane. Ellipse: notations Ellipses: examples with increasing eccentricity 수학(mathematics) 에서, 타원 (ellipse )은, 곡선 위의 모든 점에 대해, 초점에 대한 두 거리의 합이 일정한 것을 만족하는, 두 초점(focal points) 을 둘러싸는 평면 곡선(curve plane) 입니다. 이와 같이, 그것은 원(circle) 을 일반화하는데, 원은 두 초첨이 같은 것에서 타원의 특별한 유형입니다. 타원의 연장선은 그의 이심률(eccentricity) 에 의해 측정되며, 범위 e = 0 (원의 극한적인 경우(limiting case) )부터 e = 1 (무한대 연장선의 극한적인 경우로써, 더이상 타원이 아니고 포물선(parabola) )까지 숫자입니다.
해석적으로(Analytically) , 너비 2a 및 높이 2b 를 가진 원점에 중심을 둔 표준 타원의 방정식은 다음입니다:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1.
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}
a ≥ b 를 가정하면, 초점은,
c
=
a
2
−
b
2
{\displaystyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}
c , 0)입니다. 표준 매개변수의 방정식은 다음입니다:
(
x
,
y
)
=
(
a
cos
(
t
)
,
b
sin
(
t
)
)
for
0
≤
t
≤
2
π
.
{\displaystyle (x,y)=(a\cos(t),b\sin(t))\quad {\text{for}}\quad 0\leq t\leq 2\pi .}
타원은 원뿔 단면(conic section) 의 닫힌(closed) 유형입니다: 평면(plane) 과 함께 원뿔(cone) 의 교차의 자취를 밟은 평면 곡선입니다 (그림을 참조하십시오). 타원은 원뿔 단면의 다른 두 형식, 포물선(parabola) 및 쌍곡선(hyperbola) 과 많은 유사점을 가집니다: 그것 둘 다는 열린(open) 및 무경계(unbounded) 입니다. 원기둥(cylinder) 의 각진(angled) 교차 단면(cross section) 은 역시 타원입니다.
타원은 하나의 초점과 방향선(directrix) 이라고 불리는 타원 밖의 하나의 직선의 관점에서 역시 정의될 수 있습니다: 타원 위의 모든 점에 대해, 초점(focus) 에 대한 거리와 방향선에 대한 거리 사이의 비율이 상수입니다. 이 상수 비율은 위에서-언급된 이심률입니다:
e
=
c
a
=
1
−
b
2
a
2
{\displaystyle e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}
타원은 물리학(physics) , 천문학(astronomy) 및 공학(engineering) 에서 공통입니다. 예를 들어, 태양계(solar system) 에서 각 행성의 궤도(orbit) 는 초점 중 하나에 태양을 가진 근사적으로 타원입니다 (보다 정확하게, 초점은 행성–태양 쌍의 베리센터(barycenter) 입니다). 같은 것은 행성 궤도를 도는 달 및 두 천체의 모든 다음 시스템에 대해 참입니다. 행성과 별의 모양은 타원면체(ellipsoids) 에 의해 종종 잘 묘사됩니다.
측면 각도에서 본 원은 타원처럼 보입니다: 즉, 타원은 평행(parallel) 또는 원근 투영(perspective projection) 아래에서 원의 이미지입니다. 타원은 수평 및 수직 운동이 동일한 주파수를 가진 사인파(sinusoid) 일 때 형성된 가장-단순한 리사주 그림(Lissajous figure) 입니다: 유사한 효과는 광학(optics) 에서 빛의 타원 편광(elliptical polarization) 으로 이어집니다.
이름, ἔλλειψις élleipsis Conics 에서 페르가의 아폴로니우스(Apollonius of Perga) 에 의해 제공되었습니다.
Definition as locus of points Ellipse: definition by sum of distances to foci Ellipse: definition by focus and circular directrix 타원은 유클리드 평면에서 점의 집합 또는 점의 자취(locus of points) 로 기하학적으로 정의될 수 있습니다:
초점으로 불리는 두 고정된 점
F
1
,
F
2
{\displaystyle F_{1},F_{2}}
2
a
{\displaystyle 2a}
|
P
F
1
|
,
|
P
F
2
|
{\displaystyle |PF_{1}|,\ |PF_{2}|}
2
a
{\displaystyle 2a}
E
=
{
P
∈
R
2
∣
|
P
F
2
|
+
|
P
F
1
|
=
2
a
}
{\displaystyle E=\{P\in \mathbb {R} ^{2}\,\mid \,|PF_{2}|+|PF_{1}|=2a\}\ }
초점을 연결하는 선분의 중점
C
{\displaystyle C}
중심 (center )이라고 불립니다. 초점을 통과하는 직선은 주요 축 (major axis )이라고 불리고, 중심을 통과하면서 그것에 수직인 직선은 보조 축 (minor axis )이라고 불립니다. 주요 축은 중심까지 거리
a
{\displaystyle a}
꼭짓점 (vertex )
V
1
,
V
2
{\displaystyle V_{1},V_{2}}
c
{\displaystyle c}
초점 거리 (focal distance ) 또는 선형 이심률이라고 불립니다. 몫
e
=
c
a
{\displaystyle e={\tfrac {c}{a}}}
이심률 (eccentricity )입니다.
경우
F
1
=
F
2
{\displaystyle F_{1}=F_{2}}
방정식
|
P
F
2
|
+
|
P
F
1
|
=
2
a
{\displaystyle |PF_{2}|+|PF_{1}|=2a}
만약
c
2
{\displaystyle c_{2}}
F
2
{\displaystyle F_{2}}
2
a
{\displaystyle 2a}
c
2
{\displaystyle c_{2}}
P
{\displaystyle P}
F
1
{\displaystyle F_{1}}
|
P
F
1
|
=
|
P
c
2
|
.
{\displaystyle |PF_{1}|=|Pc_{2}|.}
c
2
{\displaystyle c_{2}}
F
2
{\displaystyle F_{2}}
원형 방향선 (circular directrix )으로 불립니다.
[1] [2]
당들랭 구(Dandelin spheres) 를 사용하여, 우리는 평면과 함께 원뿔의 임의의 평면 단면이 타원임을 증명할 수 있으며, 그 평면은 꼭대기를 포함하지 않고 원뿔 위의 직선의 것보다 작은 기울기를 가짐을 가정합니다.
In Cartesian coordinates Shape parameters:a : semi-major axis,b : semi-minor axis,c : linear eccentricity,p : semi-latus rectum (usually
ℓ
{\displaystyle \ell }
Standard equation 데카르트 좌표에서 타원의 표준 형식은 원점이 타원의 중심, x -축이 주요 축이고, 다음임을 가정합니다:
초점은 점
F
1
=
(
c
,
0
)
,
F
2
=
(
−
c
,
0
)
{\displaystyle F_{1}=(c,\,0),\ F_{2}=(-c,\,0)}
꼭짓점은
V
1
=
(
a
,
0
)
,
V
2
=
(
−
a
,
0
)
{\displaystyle V_{1}=(a,\,0),\ V_{2}=(-a,\,0)}
임의의 점
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
(
c
,
0
)
{\displaystyle (c,0)}
(
x
−
c
)
2
+
y
2
{\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}}
(
x
+
c
)
2
+
y
2
{\displaystyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,\,y)}
(
x
−
c
)
2
+
y
2
+
(
x
+
c
)
2
+
y
2
=
2
a
.
{\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=2a\ .}
적절한 제곱으로 제곱근(radicals) 을 제거하고
b
2
=
a
2
−
c
2
{\displaystyle b^{2}=a^{2}-c^{2}}
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
,
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}
또는, y 에 대해 풀면:
y
=
±
b
a
a
2
−
x
2
=
±
(
a
2
−
x
2
)
(
1
−
e
2
)
.
{\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}=\pm {\sqrt {\left(a^{2}-x^{2}\right)\left(1-e^{2}\right)}}.}
너비와 높이 매개변수
a
,
b
{\displaystyle a,\;b}
반-주요 및 반-보조 축(semi-major and semi-minor axes) 으로 불립니다. 꼭대기 및 바닥 점
V
3
=
(
0
,
b
)
,
V
4
=
(
0
,
−
b
)
{\displaystyle V_{3}=(0,\,b),\;V_{4}=(0,\,-b)}
보조-꼭짓점 (co-vertices )입니다. 왼쪽 및 오른쪽 초점에 대한 타원 위의 점
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,\,y)}
a
+
e
x
{\displaystyle a+ex}
a
−
e
x
{\displaystyle a-ex}
그것은, 타원은 좌표 축들에 관한 대칭 (symmetric ) 및 그러므로 원점에 관한 대칭 (symmetric )인 방정식에서 따릅니다.
Parameters Semi-major and semi-minor axes a ≥ b 이 가사 전체에 걸쳐
a
{\displaystyle a}
a
≥
b
>
0
{\displaystyle a\geq b>0\ }
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
a
<
b
{\displaystyle a<b}
b
{\displaystyle b}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
Linear eccentricity c 이것은 중심에서 초점까지의 거리입니다:
c
=
a
2
−
b
2
{\displaystyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}
Eccentricity e 이심률은,
a
>
b
{\displaystyle a>b}
e
=
c
a
=
1
−
(
b
a
)
2
{\displaystyle e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}}
같은 축 (
a
=
b
{\displaystyle a=b}
Semi-latus rectum l 주요 축에 수직이고, 초점 중에 하나를 통과하는 현의 길이는 래투스 렉텀 (latus rectum )으로 불립니다. 그것의 절반은 반-래투스 렉텀 (semi-latus rectum )
ℓ
{\displaystyle \ell }
ℓ
=
b
2
a
=
a
(
1
−
e
2
)
.
{\displaystyle \ell ={\frac {b^{2}}{a}}=a\left(1-e^{2}\right).}
반-래투스 렉텀
ℓ
{\displaystyle \ell }
진동하는 원(osculating circle) 의 곡률의 반지름(radius of curvature) 과 같습니다.
Tangent 임의의 직선
g
{\displaystyle g}
외부 직선 , 접섭 및 가름선 (할선 )이라고 부릅니다. 타원의 임의의 점을 통해 유일한 접선이 있습니다. 타원
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
(
x
1
,
y
1
)
{\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}
x
1
a
2
x
+
y
1
b
2
y
=
1.
{\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}x+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}y=1.}
접선의 벡터 매개-변수 방정식(parametric equation) 은 다음입니다:
x
→
=
(
x
1
y
1
)
+
s
(
−
y
1
a
2
x
1
b
2
)
{\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}\;\!-y_{1}a^{2}\\\;\ \ \ x_{1}b^{2}\end{pmatrix}}\ }
s
∈
R
.
{\displaystyle \ s\in \mathbb {R} \ .}
증명:
(
x
1
,
y
1
)
{\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}
x
→
=
(
x
1
y
1
)
+
s
(
u
v
)
{\textstyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}}
(
x
1
,
y
1
)
{\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}
g
{\displaystyle g}
x
1
2
a
2
+
y
1
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x_{1}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}^{2}}{b^{2}}}=1}
(
x
1
+
s
u
)
2
a
2
+
(
y
1
+
s
v
)
2
b
2
=
1
⟹
2
s
(
x
1
u
a
2
+
y
1
v
b
2
)
+
s
2
(
u
2
a
2
+
v
2
b
2
)
=
0
.
{\displaystyle {\frac {\left(x_{1}+su\right)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left(y_{1}+sv\right)^{2}}{b^{2}}}=1\ \quad \Longrightarrow \quad 2s\left({\frac {x_{1}u}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}v}{b^{2}}}\right)+s^{2}\left({\frac {u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)=0\ .}
다음 경우가 그때에 있습니다:
x
1
a
2
u
+
y
1
b
2
v
=
0.
{\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}u+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}v=0.}
g
{\displaystyle g}
(
x
1
,
y
1
)
{\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}
g
{\displaystyle g}
수직 벡터(perpendicular vector)
(
x
1
a
2
y
1
b
2
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {x_{1}}{a^{2}}}&{\frac {y_{1}}{b^{2}}}\end{pmatrix}}}
k
{\displaystyle k}
x
1
a
2
x
+
y
1
b
2
y
=
k
{\textstyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}x+{\tfrac {y_{1}}{b^{2}}}y=k}
(
x
1
,
y
1
)
{\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}
k
=
1
{\displaystyle k=1}
x
1
a
2
u
+
y
1
b
2
v
≠
0.
{\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}u+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}v\neq 0.}
g
{\displaystyle g}
(1)을 사용하여 우리는
(
−
y
1
a
2
x
1
b
2
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}-y_{1}a^{2}&x_{1}b^{2}\end{pmatrix}}}
(
x
1
,
y
1
)
{\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}
만약
(
x
1
,
y
1
)
{\displaystyle (x_{1},y_{1})}
(
u
,
v
)
{\displaystyle (u,v)}
x
1
u
a
2
+
y
1
v
b
2
=
0
{\textstyle {\frac {x_{1}u}{a^{2}}}+{\tfrac {y_{1}v}{b^{2}}}=0}
켤레 지름 (conjugate diameters ) 위에 놓입니다. (아래(below) 를 참조하십시오). (만약
a
=
b
{\displaystyle a=b}
Shifted ellipse 만약 표준 타원이 중심
(
x
∘
,
y
∘
)
{\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)}
(
x
−
x
∘
)
2
a
2
+
(
y
−
y
∘
)
2
b
2
=
1
.
{\displaystyle {\frac {\left(x-x_{\circ }\right)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left(y-y_{\circ }\right)^{2}}{b^{2}}}=1\ .}
축은 x- 및 y-축에 대해 여전히 평행입니다.
General ellipse 해석 기하학(analytic geometry) 에서, 타원은 이차 초곡면으로 정의됩니다: 데카르트 평면(Cartesian plane) 의 점
(
X
,
Y
)
{\displaystyle (X,\,Y)}
B
2
−
4
A
C
<
0
{\displaystyle B^{2}-4AC<0}
암시적(implicit) 방정식을 만족시킵니다:[3] [4]
A
X
2
+
B
X
Y
+
C
Y
2
+
D
X
+
E
Y
+
F
=
0
{\displaystyle AX^{2}+BXY+CY^{2}+DX+EY+F=0}
비-퇴화 경우로부터 퇴화 경우(degenerate cases) 를 구별하기 위해, ∆ 를 다음 행렬식(determinant) 으로 놓습니다:
Δ
=
|
A
1
2
B
1
2
D
1
2
B
C
1
2
E
1
2
D
1
2
E
F
|
=
(
A
C
−
B
2
4
)
F
+
B
E
D
4
−
C
D
2
4
−
A
E
2
4
.
{\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}A&{\frac {1}{2}}B&{\frac {1}{2}}D\\{\frac {1}{2}}B&C&{\frac {1}{2}}E\\{\frac {1}{2}}D&{\frac {1}{2}}E&F\end{vmatrix}}=\left(AC-{\frac {B^{2}}{4}}\right)F+{\frac {BED}{4}}-{\frac {CD^{2}}{4}}-{\frac {AE^{2}}{4}}.}
그런-다음 타원이 비-퇴화 실수 타원인 것과 C∆ < 0인 것은 필요충분 조건입니다. 만약 C∆ > 0이면, 우리는 허수 타원을 가지고, 만약 ∆ = 0이면, 우리는 점 타원을 가집니다.[5] : p.63
일반적인 방정식의 계수는 알려진 반-주요 축
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
(
x
∘
,
y
∘
)
{\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)}
Θ
{\displaystyle \Theta }
A
=
a
2
(
sin
Θ
)
2
+
b
2
(
cos
Θ
)
2
B
=
2
(
b
2
−
a
2
)
sin
Θ
cos
Θ
C
=
a
2
(
cos
Θ
)
2
+
b
2
(
sin
Θ
)
2
D
=
−
2
A
x
∘
−
B
y
∘
E
=
−
B
x
∘
−
2
C
y
∘
F
=
A
x
∘
2
+
B
x
∘
y
∘
+
C
y
∘
2
−
a
2
b
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}A&=a^{2}(\sin \Theta )^{2}+b^{2}(\cos \Theta )^{2}\\B&=2\left(b^{2}-a^{2}\right)\sin \Theta \cos \Theta \\C&=a^{2}(\cos \Theta )^{2}+b^{2}(\sin \Theta )^{2}\\D&=-2Ax_{\circ }-By_{\circ }\\E&=-Bx_{\circ }-2Cy_{\circ }\\F&=Ax_{\circ }^{2}+Bx_{\circ }y_{\circ }+Cy_{\circ }^{2}-a^{2}b^{2}.\end{aligned}}}
이들 표현은 좌표
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,\,y)}
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
x
=
(
X
−
x
∘
)
cos
Θ
+
(
Y
−
y
∘
)
sin
Θ
y
=
−
(
X
−
x
∘
)
sin
Θ
+
(
Y
−
y
∘
)
cos
Θ
.
{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\left(X-x_{\circ }\right)\cos \Theta +\left(Y-y_{\circ }\right)\sin \Theta \\y&=-\left(X-x_{\circ }\right)\sin \Theta +\left(Y-y_{\circ }\right)\cos \Theta .\end{aligned}}}
거꾸로, 정식 형식 매개-변수는 다음 방정식에 의해 일반적인 형식 계수로부터 얻어질 수 있습니다:
a
,
b
=
−
2
(
A
E
2
+
C
D
2
−
B
D
E
+
(
B
2
−
4
A
C
)
F
)
(
(
A
+
C
)
±
(
A
−
C
)
2
+
B
2
)
B
2
−
4
A
C
x
∘
=
2
C
D
−
B
E
B
2
−
4
A
C
y
∘
=
2
A
E
−
B
D
B
2
−
4
A
C
Θ
=
{
arctan
(
1
B
(
C
−
A
−
(
A
−
C
)
2
+
B
2
)
)
for
B
≠
0
0
for
B
=
0
,
A
<
C
90
∘
for
B
=
0
,
A
>
C
{\displaystyle {\begin{aligned}a,b&={\frac {-{\sqrt {2{\Big (}AE^{2}+CD^{2}-BDE+(B^{2}-4AC)F{\Big )}\left((A+C)\pm {\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}\right)}}}{B^{2}-4AC}}\\x_{\circ }&={\frac {2CD-BE}{B^{2}-4AC}}\\[3pt]y_{\circ }&={\frac {2AE-BD}{B^{2}-4AC}}\\[3pt]\Theta &={\begin{cases}\arctan \left({\frac {1}{B}}\left(C-A-{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}\right)\right)&{\text{for }}B\neq 0\\0&{\text{for }}B=0,\ A<C\\90^{\circ }&{\text{for }}B=0,\ A>C\\\end{cases}}\end{aligned}}}
Parametric representation The construction of points based on the parametric equation and the interpretation of parameter t , which is due to de la Hire Ellipse points calculated by the rational representation with equal spaced parameters (
Δ
u
=
0.2
{\displaystyle \Delta u=0.2}
Standard parametric representation 삼각 함수(trigonometric function) 를 사용하여, 표준 타원
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
(
x
,
y
)
=
(
a
cos
t
,
b
sin
t
)
,
0
≤
t
<
2
π
.
{\displaystyle (x,\,y)=(a\cos t,\,b\sin t),\ 0\leq t<2\pi \ .}
(천문학에서 편심 이각 (eccentric anomaly )t 는 x -축과 함께
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
)
{\displaystyle (x(t),y(t))}
필립 드 라 이어(Philippe de La Hire) 에 기인한 기하학적 의미를 가집니다 (아래의 타원 그리기 (Drawing ellipses )[6]
Rational representation 치환
u
=
tan
(
t
2
)
{\textstyle u=\tan \left({\frac {t}{2}}\right)}
cos
t
=
1
−
u
2
u
2
+
1
,
sin
t
=
2
u
u
2
+
1
{\displaystyle \cos t={\frac {1-u^{2}}{u^{2}+1}}\ ,\quad \sin t={\frac {2u}{u^{2}+1}}}
그리고 타원의 유리수 매개-변수 방정식은 다음입니다:
x
(
u
)
=
a
1
−
u
2
u
2
+
1
y
(
u
)
=
2
b
u
u
2
+
1
,
−
∞
<
u
<
∞
,
{\displaystyle {\begin{aligned}x(u)&=a{\frac {1-u^{2}}{u^{2}+1}}\\y(u)&={\frac {2bu}{u^{2}+1}}\end{aligned}}\;,\quad -\infty <u<\infty \;,}
이것은 왼쪽 꼭짓점
(
−
a
,
0
)
{\displaystyle (-a,\,0)}
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
u
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle u\in [0,\,1]}
u
{\displaystyle u}
lim
u
→
±
∞
(
x
(
u
)
,
y
(
u
)
)
=
(
−
a
,
0
)
{\displaystyle \lim _{u\to \pm \infty }(x(u),\,y(u))=(-a,\,0)\;}
원뿔 단면의 유리수 표현은 컴퓨터 지원 설계(Computer Aided Design) 에서 공통적으로 사용됩니다 (베지에 곡선(Bezier curve) 을 참조하십시오).
Tangent slope as parameter 타원의 하나의 점에서 접선의 기울기
m
{\displaystyle m}
x
→
(
t
)
=
(
a
cos
t
,
b
sin
t
)
T
{\displaystyle {\vec {x}}(t)=(a\cos t,\,b\sin t)^{\mathsf {T}}}
x
→
′
(
t
)
=
(
−
a
sin
t
,
b
cos
t
)
T
→
m
=
−
b
a
cot
t
→
cot
t
=
−
m
a
b
.
{\displaystyle {\vec {x}}'(t)=(-a\sin t,\,b\cos t)^{\mathsf {T}}\quad \rightarrow \quad m=-{\frac {b}{a}}\cot t\quad \rightarrow \quad \cot t=-{\frac {ma}{b}}.}
삼각 공식(trigonometric formulae) 의 도움과 함께 우리는 다음을 얻습니다:
cos
t
=
cot
t
±
1
+
cot
2
t
=
−
m
a
±
m
2
a
2
+
b
2
,
sin
t
=
1
±
1
+
cot
2
t
=
b
±
m
2
a
2
+
b
2
.
{\displaystyle \cos t={\frac {\cot t}{\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}t}}}}={\frac {-ma}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\ ,\quad \quad \sin t={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}t}}}}={\frac {b}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}.}
표준 표현의
cos
t
{\displaystyle \cos t}
sin
t
{\displaystyle \sin t}
c
→
±
(
m
)
=
(
−
m
a
2
±
m
2
a
2
+
b
2
,
b
2
±
m
2
a
2
+
b
2
)
,
m
∈
R
.
{\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)=\left(-{\frac {ma^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}},\;{\frac {b^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\right),\,m\in \mathbb {R} .}
여기서
m
{\displaystyle m}
c
→
+
{\displaystyle {\vec {c}}_{+}}
c
→
−
{\displaystyle {\vec {c}}_{-}}
(
±
a
,
0
)
{\displaystyle (\pm a,\,0)}
점
c
→
±
(
m
)
{\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)}
y
=
m
x
+
n
{\displaystyle y=mx+n}
n
{\displaystyle n}
c
→
±
(
m
)
{\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)}
y
=
m
x
±
m
2
a
2
+
b
2
.
{\displaystyle y=mx\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}\;.}
타원의 접선의 이 설명은 타원의 직교-접선-자취(orthoptic) 의 결정에 대해 필수적인 도구입니다. 직교-접선-자취 기사는, 미분 미적분 및 삼각 공식없이, 또 다른 증명을 포함합니다.
General ellipse Ellipse as an affine image of the unit circle 타원의 또 다른 정의는 아핀 변환(affine transformation) 을 사용합니다:
임의의 타원 은 방정식
x
2
+
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}
매개-변수 표현 유클리드 평면에서 아핀 변환은 형식
x
→
↦
f
→
0
+
A
x
→
{\displaystyle {\vec {x}}\mapsto {\vec {f}}\!_{0}+A{\vec {x}}}
A
{\displaystyle A}
행렬식(determinant) 을 갖는) 정규 행렬(matrix) 이고
f
→
0
{\displaystyle {\vec {f}}\!_{0}}
f
→
1
,
f
→
2
{\displaystyle {\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}
A
{\displaystyle A}
(
cos
(
t
)
,
sin
(
t
)
)
{\displaystyle (\cos(t),\sin(t))}
0
≤
t
≤
2
π
{\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi }
x
→
=
p
→
(
t
)
=
f
→
0
+
f
→
1
cos
t
+
f
→
2
sin
t
.
{\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}\!_{0}+{\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t\ .}
여기서
f
→
0
{\displaystyle {\vec {f}}\!_{0}}
f
→
1
,
f
→
2
{\displaystyle {\vec {f}}\!_{1},\;{\vec {f}}\!_{2}}
켤레 지름(conjugate diameter) 의 방향입니다.
꼭짓점 타원의 네 꼭짓점은
p
→
(
t
0
)
,
p
→
(
t
0
±
π
2
)
,
p
→
(
t
0
+
π
)
{\displaystyle {\vec {p}}(t_{0}),\;{\vec {p}}\left(t_{0}\pm {\tfrac {\pi }{2}}\right),\;{\vec {p}}\left(t_{0}+\pi \right)}
t
=
t
0
{\displaystyle t=t_{0}}
cot
(
2
t
0
)
=
f
→
1
2
−
f
→
2
2
2
f
→
1
⋅
f
→
2
.
{\displaystyle \cot(2t_{0})={\frac {{\vec {f}}\!_{1}^{\,2}-{\vec {f}}\!_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}\!_{1}\cdot {\vec {f}}\!_{2}}}.}
(만약
f
→
1
⋅
f
→
2
=
0
{\displaystyle {\vec {f}}\!_{1}\cdot {\vec {f}}\!_{2}=0}
t
0
=
0
{\displaystyle t_{0}=0}
p
→
(
t
)
{\displaystyle {\vec {p}}(t)}
p
→
′
(
t
)
=
−
f
→
1
sin
t
+
f
→
2
cos
t
.
{\displaystyle {\vec {p}}\,'(t)=-{\vec {f}}\!_{1}\sin t+{\vec {f}}\!_{2}\cos t\ .}
꼭짓점 매개-변수
t
=
t
0
{\displaystyle t=t_{0}}
0
=
p
→
′
(
t
)
⋅
(
p
→
(
t
)
−
f
→
0
)
=
(
−
f
→
1
sin
t
+
f
→
2
cos
t
)
⋅
(
f
→
1
cos
t
+
f
→
2
sin
t
)
.
{\displaystyle 0={\vec {p}}'(t)\cdot \left({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}\!_{0}\right)=\left(-{\vec {f}}\!_{1}\sin t+{\vec {f}}\!_{2}\cos t\right)\cdot \left({\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t\right).}
전개한 후에 항등식
cos
2
t
−
sin
2
t
=
cos
2
t
,
2
sin
t
cos
t
=
sin
2
t
{\displaystyle \cos ^{2}t-\sin ^{2}t=\cos 2t,\ \ 2\sin t\cos t=\sin 2t}
t
=
t
0
{\displaystyle t=t_{0}}
암시적 표현(implicit representation) 크라메르의 규칙(Cramer's rule) 에 의해
cos
t
,
sin
t
{\displaystyle \;\cos t,\sin t\;}
cos
2
t
+
sin
2
t
−
1
=
0
{\displaystyle \;\cos ^{2}t+\sin ^{2}t-1=0\;}
det
(
x
→
−
f
→
0
,
f
→
2
)
2
+
det
(
f
→
1
,
x
→
−
f
→
0
)
2
−
det
(
f
→
1
,
f
→
2
)
2
=
0
{\displaystyle \det({\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{2})^{2}+\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0})^{2}-\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2})^{2}=0}
공간에서 타원 이 섹션에서 타원의 정의는, 심지어 공간에서, 만약 우리가
f
→
0
,
f
→
1
,
f
→
2
{\displaystyle {\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}
Polar forms Polar form relative to center Polar coordinates centered at the center. 극 좌표(polar coordinates) 에서, 타원의 중심에 원점과 함께 및 주요 축으로부터 측정된 각도의 좌표
θ
{\displaystyle \theta }
[5] : p. 75
r
(
θ
)
=
a
b
(
b
cos
θ
)
2
+
(
a
sin
θ
)
2
=
b
1
−
(
e
cos
θ
)
2
{\displaystyle r(\theta )={\frac {ab}{\sqrt {(b\cos \theta )^{2}+(a\sin \theta )^{2}}}}={\frac {b}{\sqrt {1-(e\cos \theta )^{2}}}}}
Polar form relative to focus Polar coordinates centered at focus. 만약 대신에 우리가 하나의 초점에 원점과 함께, 주요 축으로부터 여전히 측정된 각도의 좌표
θ
=
0
{\displaystyle \theta =0}
r
(
θ
)
=
a
(
1
−
e
2
)
1
±
e
cos
θ
{\displaystyle r(\theta )={\frac {a(1-e^{2})}{1\pm e\cos \theta }}}
여기서 분모의 부호는, 만약 기준 방향
θ
=
0
{\displaystyle \theta =0}
중심에 하나의 초점 및 각도의 좌표
ϕ
{\displaystyle \phi }
r
=
a
(
1
−
e
2
)
1
−
e
cos
(
θ
−
ϕ
)
.
{\displaystyle r={\frac {a(1-e^{2})}{1-e\cos(\theta -\phi )}}.}
이들 공식에서 각도
θ
{\displaystyle \theta }
참 이각(true anomaly:진근점 이각) 으로 불립니다. 이들 공식의 분자는 반-래투스 렉텀(semi-latus rectum)
ℓ
=
a
(
1
−
e
2
)
{\displaystyle \ell =a(1-e^{2})}
Eccentricity and the directrix property Ellipse: directrix property 보조 축에 평행하고 보조 축으로부터
d
=
a
2
c
=
a
e
{\displaystyle d={\frac {a^{2}}{c}}={\frac {a}{e}}}
방향선 (directrix :준선 )으로 불립니다 (다이어그램을 참조하십시오).
타원의 임의의 점
P
{\displaystyle P}
|
P
F
1
|
|
P
l
1
|
=
|
P
F
2
|
|
P
l
2
|
=
e
=
c
a
.
{\displaystyle {\frac {\left|PF_{1}\right|}{\left|Pl_{1}\right|}}={\frac {\left|PF_{2}\right|}{\left|Pl_{2}\right|}}=e={\frac {c}{a}}\ .}
쌍
F
1
,
l
1
{\displaystyle F_{1},l_{1}}
|
P
F
1
|
2
=
(
x
−
c
)
2
+
y
2
,
|
P
l
1
|
2
=
(
x
−
a
2
c
)
2
{\displaystyle \left|PF_{1}\right|^{2}=(x-c)^{2}+y^{2},\ \left|Pl_{1}\right|^{2}=\left(x-{\tfrac {a^{2}}{c}}\right)^{2}}
y
2
=
b
2
−
b
2
a
2
x
2
{\displaystyle y^{2}=b^{2}-{\tfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}}
|
P
F
1
|
2
−
c
2
a
2
|
P
l
1
|
2
=
0
.
{\displaystyle \left|PF_{1}\right|^{2}-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}\left|Pl_{1}\right|^{2}=0\ .}
두 번째 경우는 유사하게 입증됩니다.
역은 역시 참이고 (포물선의 정의와 유사한 방식으로) 타원을 정의하기 위해 사용될 수 있습니다:
임의의 점
F
{\displaystyle F}
F
{\displaystyle F}
l
{\displaystyle l}
0
<
e
<
1
{\displaystyle 0<e<1}
e
{\displaystyle e}
e
{\displaystyle e}
E
=
{
P
|
|
P
F
|
|
P
l
|
=
e
}
.
{\displaystyle E=\left\{P\ \left|\ {\frac {|PF|}{|Pl|}}=e\right.\right\}.}
선택
e
=
0
{\displaystyle e=0}
(선택
e
=
1
{\displaystyle e=1}
포물선(parabola) 을 산출하고, 만약
e
>
1
{\displaystyle e>1}
쌍곡선(hyperbola) 을 생성입니다.)
Pencil of conics with a common vertex and common semi-latus rectum 증명
F
=
(
f
,
0
)
,
e
>
0
{\displaystyle F=(f,\,0),\ e>0}
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,\,0)}
l
{\displaystyle l}
x
=
−
f
e
{\displaystyle x=-{\tfrac {f}{e}}}
P
=
(
x
,
y
)
{\displaystyle P=(x,\,y)}
|
P
F
|
2
=
e
2
|
P
l
|
2
{\displaystyle |PF|^{2}=e^{2}|Pl|^{2}}
(
x
−
f
)
2
+
y
2
=
e
2
(
x
+
f
e
)
2
=
(
e
x
+
f
)
2
{\displaystyle (x-f)^{2}+y^{2}=e^{2}\left(x+{\frac {f}{e}}\right)^{2}=(ex+f)^{2}}
x
2
(
e
2
−
1
)
+
2
x
f
(
1
+
e
)
−
y
2
=
0.
{\displaystyle x^{2}\left(e^{2}-1\right)+2xf(1+e)-y^{2}=0.}
치환
p
=
f
(
1
+
e
)
{\displaystyle p=f(1+e)}
x
2
(
e
2
−
1
)
+
2
p
x
−
y
2
=
0.
{\displaystyle x^{2}\left(e^{2}-1\right)+2px-y^{2}=0.}
이것은 타원 (
e
<
1
{\displaystyle e<1}
포물선 (
e
=
1
{\displaystyle e=1}
쌍곡선 (
e
>
1
{\displaystyle e>1}
만약
e
<
1
{\displaystyle e<1}
a
,
b
{\displaystyle a,\,b}
1
−
e
2
=
b
2
a
2
,
and
p
=
b
2
a
{\displaystyle 1-e^{2}={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}},{\text{ and }}\ p={\tfrac {b^{2}}{a}}}
(
x
−
a
)
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
,
{\displaystyle {\frac {(x-a)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ ,}
이것은 중심
(
a
,
0
)
{\displaystyle (a,\,0)}
x -축, 및 주요/보조 반 축
a
,
b
{\displaystyle a,\,b}
일반적인 타원 만약 초점이
F
=
(
f
1
,
f
2
)
{\displaystyle F=\left(f_{1},\,f_{2}\right)}
u
x
+
v
y
+
w
=
0
{\displaystyle ux+vy+w=0}
(
x
−
f
1
)
2
+
(
y
−
f
2
)
2
=
e
2
(
u
x
+
v
y
+
w
)
2
u
2
+
v
2
.
{\displaystyle \left(x-f_{1}\right)^{2}+\left(y-f_{2}\right)^{2}=e^{2}{\frac {\left(ux+vy+w\right)^{2}}{u^{2}+v^{2}}}\ .}
(방정식의 오른쪽 변은 거리
|
P
l
|
{\displaystyle |Pl|}
헤세 법선 형식(Hesse normal form) 을 사용합니다.)
Focus-to-focus reflection property Ellipse: the tangent bisects the supplementary angle of the angle between the lines to the foci. Rays from one focus reflect off the ellipse to pass through the other focus. 타원은 다음 속성을 보유하고 있습니다:
점
P
{\displaystyle P}
P
F
1
¯
,
P
F
2
¯
{\displaystyle {\overline {PF_{1}}},\,{\overline {PF_{2}}}}
증명 접선은 법선에 수직이기 때문에, 명제는 접선와 초점에 대한 직선 사이의 각도의 보각에 대해 역시 참입니다 (다이어그램을 참조하십시오).
L
{\displaystyle L}
F
2
{\displaystyle F_{2}}
2
a
{\displaystyle 2a}
P
F
2
¯
{\displaystyle {\overline {PF_{2}}}}
a
{\displaystyle a}
w
{\displaystyle w}
P
F
1
¯
,
P
F
2
¯
{\displaystyle {\overline {PF_{1}}},\,{\overline {PF_{2}}}}
w
{\displaystyle w}
P
{\displaystyle P}
P
{\displaystyle P}
w
{\displaystyle w}
Q
{\displaystyle Q}
w
{\displaystyle w}
P
{\displaystyle P}
P
{\displaystyle P}
다이어그램 및 삼각형 부등식(triangle inequality) 으로부터 우리는
2
a
=
|
L
F
2
|
<
|
Q
F
2
|
+
|
Q
L
|
=
|
Q
F
2
|
+
|
Q
F
1
|
{\displaystyle 2a=\left|LF_{2}\right|<\left|QF_{2}\right|+\left|QL\right|=\left|QF_{2}\right|+\left|QF_{1}\right|}
|
Q
F
2
|
+
|
Q
F
1
|
>
2
a
{\displaystyle \left|QF_{2}\right|+\left|QF_{1}\right|>2a}
Q
{\displaystyle Q}
2
a
{\displaystyle 2a}
응용 한 초점으로부터 반직선은 타원에 의해 두 번째 초점에 반사됩니다. 이 속성은 포물선의 반사 속성과 유사한 광학 및 음향학 응용을 가집니다 (속삭이는 갤러리(whispering gallery) 를 참조하십시오).
Conjugate diameters Orthogonal diameters of a circle with a square of tangents, midpoints of parallel chords and an affine image, which is an ellipse with conjugate diameters, a parallelogram of tangents and midpoints of chords. 원은 다음 속성을 가집니다:
평행 현의 중점은 지름 위에 놓입니다. 아핀 변환은 선분의 평행성(병렬성)과 중점을 유지하므로, 이 속성은 임의의 타원에 대해 참입니다. (평행 현과 지름은 더 이상 직교하지 않음에 주목하십시오.)
정의
타원의 두 지름
d
1
,
d
2
{\displaystyle d_{1},\,d_{2}}
d
1
{\displaystyle d_{1}}
d
2
{\displaystyle d_{2}\ }
켤레 (conjugate )입니다.
다이어그램으로부터 우리는 다음을 찾습니다:
타원의 두 지름
P
1
Q
1
¯
,
P
2
Q
2
¯
{\displaystyle {\overline {P_{1}Q_{1}}},\,{\overline {P_{2}Q_{2}}}}
P
1
{\displaystyle P_{1}}
Q
1
{\displaystyle Q_{1}}
P
2
Q
2
¯
{\displaystyle {\overline {P_{2}Q_{2}}}}
타원에서 켤레 지름은 원에서 직교 지름을 일반화합니다.
위에 주어진 일반적인 타원에 대해 매개-변수의 방정식에서,
x
→
=
p
→
(
t
)
=
f
→
0
+
f
→
1
cos
t
+
f
→
2
sin
t
,
{\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}\!_{0}+{\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t,}
점
p
→
(
t
)
,
p
→
(
t
+
π
)
{\displaystyle {\vec {p}}(t),\ {\vec {p}}(t+\pi )}
p
→
(
t
+
π
2
)
,
p
→
(
t
−
π
2
)
{\displaystyle {\vec {p}}\left(t+{\tfrac {\pi }{2}}\right),\ {\vec {p}}\left(t-{\tfrac {\pi }{2}}\right)}
Theorem of Apollonios on conjugate diameters Ellipse: theorem of Apollonios on conjugate diameters 반-축
a
,
b
{\displaystyle a,\,b}
c
1
{\displaystyle c_{1}}
c
2
{\displaystyle c_{2}}
c
1
2
+
c
2
2
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}^{2}=a^{2}+b^{2}}
c
1
,
c
2
{\displaystyle c_{1},\,c_{2}}
삼각형 은 상수 넓이
A
Δ
=
1
2
a
b
{\textstyle A_{\Delta }={\frac {1}{2}}ab}
주어진 켤레 지름에 인접한 접선의 평행사변형은
Area
12
=
4
a
b
{\displaystyle {\text{Area}}_{12}=4ab\ }
증명
타원을 다음 매개-변수 방정식을 가진 정식의 형태로 놓습니다:
p
→
(
t
)
=
(
a
cos
t
,
b
sin
t
)
{\displaystyle {\vec {p}}(t)=(a\cos t,\,b\sin t)}
두 점
c
→
1
=
p
→
(
t
)
,
c
→
2
=
p
→
(
t
+
π
2
)
{\displaystyle {\vec {c}}_{1}={\vec {p}}(t),\ {\vec {c}}_{2}={\vec {p}}\left(t+{\frac {\pi }{2}}\right)}
c
→
2
=
(
−
a
sin
t
,
b
cos
t
)
T
{\displaystyle {\vec {c}}_{2}=(-a\sin t,\,b\cos t)^{\mathsf {T}}}
|
c
→
1
|
2
+
|
c
→
2
|
2
=
⋯
=
a
2
+
b
2
.
{\displaystyle \left|{\vec {c}}_{1}\right|^{2}+\left|{\vec {c}}_{2}\right|^{2}=\cdots =a^{2}+b^{2}\ .}
c
→
1
,
c
→
2
{\displaystyle {\vec {c}}_{1},\,{\vec {c}}_{2}}
A
Δ
=
1
2
det
(
c
→
1
,
c
→
2
)
=
⋯
=
1
2
a
b
{\displaystyle A_{\Delta }={\frac {1}{2}}\det \left({\vec {c}}_{1},\,{\vec {c}}_{2}\right)=\cdots ={\frac {1}{2}}ab}
그리고 다이어그램으로부터 평행사변형의 넓이가
A
Δ
{\displaystyle A_{\Delta }}
Area
12
=
4
a
b
.
{\displaystyle {\text{Area}}_{12}=4ab\ .}
Orthogonal tangents Ellipse with its orthoptic 타원
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
직교 타원의 교차 점은 원
x
2
+
y
2
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}}
이 원은 타원의 직교-접선-자취 (orthoptic ) 또는 감독 원(director circle) 으로 불립니다.
Drawing ellipses Central projection of circles (gate) 타원은 원의 (평행 또는 중앙 투영) 이미지로 도형-묘사 기하학(descriptive geometry) 에서 나타납니다. 타원을 그리는 다양한 도구가 존재합니다. 컴퓨터는 타원을 그리는 것에 대해 가장 빠르고 대부분 정확한 방법을 제공합니다. 어쨌든, 컴퓨터없이 타원을 그리기 위한 기술적 도구 (타원그래프 (ellipsograph )아르키메데스(Archimedes) 와 프로클로스(Proklos) 와 같은 그리스 수학자에게 알려져 있었습니다.
만약 타원그래프가 이용-가능하지 않으면, 우리는 꼭짓점에서 네 진동하는 원에 의해 근사(approximation by the four osculating circles at the vertices) 를 사용하여 타원을 그릴 수 있습니다.
아래 설명된 임의의 방법에 대해
축과 반-축의 지식이 필요합니다 (또는 동등하게: 초점과 반-주요축). 만약 이 추정이 충족되지 않으면 우리는 적어도 두 켤레 지름을 반드시 알아야 합니다. 리츠의 구성(Rytz's construction) 의 도움과 함께 축과 반-축은 구해낼 수 있습니다.
de La Hire's point construction 타원의 하나의 점의 다음 구성은 드 라 이어(de La Hire) 에 기인합니다.[7] 표준 매개-변수 표현(standard parametric representation)
(
a
cos
t
,
b
sin
t
)
{\displaystyle (a\cos t,\,b\sin t)}
타원의 축과 반지름
a
,
b
{\displaystyle a,b}
중심을 통과하는 직선 을 그리십시오. 그 직선은 각각 점
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
보조 축에 평행한
A
{\displaystyle A}
직선 및 주요 축에 평행한
B
{\displaystyle B}
직선 을 그리십시오. 이들 직선은 타원 점에서 만납니다 (다이어그램을 참조하십시오).
중심을 통과하는 다른 직선과 함께 단계 (2) 및 (3)을 반복하십시오.
de La Hire's method
Animation of the method
Ellipse: gardener's method Pins-and-string method 초점에 대한 거리의 합이 일정하도록 점의 자취로 타원의 특성화는 두 그림 압정(drawing pin) , 끈의 길이, 및 연필을 사용하여 타원을 그리는 방법으로 이어집니다. 이 방법에서, 압정은 타원의 초점이 되는 두 점에서 종이에 밀어 넣습니다. 끈은 두 압정에 양쪽 끝을 묶고 연필의 끝은 삼각형(triangle) 을 형성하기 위해 팽팽하게 친 고리를 당깁니다. 연필의 끝은 그런-다음 끈을 팽팽하게 유지하면서 그것을 움직이면 타원의 자취를 그립니다. 두 개의 말뚝과 밧줄을 사용하여 정원사는 타원형 화단의 윤곽을 잡기 위해 이 절차를 사용합니다–따라서 그것은 정원사의 타원 (gardener's ellipse )으로 불립니다.
닫힌 끈과 함께 공-초점 타원(confocal ellipses) 을 그리는 것에 대해 비슷한 방법은 아일랜드 주교 찰스 그레이브스(Charles Graves) 에 기인합니다.
Paper strip methods 두 가지 다음 방법은 매개-변수 표현에 의존합니다 (위의, 섹션 매개변수 표현 (parametric representation )
(
a
cos
t
,
b
sin
t
)
{\displaystyle (a\cos t,\,b\sin t)}
이 표현은 두 간단한 방법에 의해 기술적으로 모델링될 수 있습니다. 두 경우 모두에서, 중심, 축, 및 보조-축
a
,
b
{\displaystyle a,\,b}
방법 1 첫 번째 방법은 다음으로 시작합니다:
길이
a
+
b
{\displaystyle a+b}
반-축이 만나는 점은
P
{\displaystyle P}
(
a
cos
t
,
b
sin
t
)
{\displaystyle (a\cos t,\,b\sin t)}
t
{\displaystyle t}
종이 스트립의 움직임의 기술적 실현은 투시 한-쌍(Tusi couple) 에 의해 달성될 수 있습니다 (애니메이션을 참조하십시오). 그 장치는 큰 원의 반지름인, 고정된 합
a
+
b
{\displaystyle a+b}
종이 스트립 방법 1의 변형은 종이 스트립의 중간 점
N
{\displaystyle N}
M
{\displaystyle M}
a
+
b
2
{\displaystyle {\tfrac {a+b}{2}}}
N
{\displaystyle N}
N
{\displaystyle N}
M
{\displaystyle M}
K
{\displaystyle K}
[8]
Ellipse construction: paper strip method 2 방법 2
두 번째 방법은 다음으로 시작합니다:
길이
a
{\displaystyle a}
우리는 점을 표시하는데, 이는 스트립을 길이
b
{\displaystyle b}
a
−
b
{\displaystyle a-b}
(
a
cos
t
,
b
sin
t
)
{\displaystyle (a\cos t,\,b\sin t)}
t
{\displaystyle t}
이 방법은 여러 타원그래프 에서 기본입니다 (아래 섹션을 참조하십시오).
종이 스트립 방법 1의 변형과 비슷하게, 종이 스트립 방법 2의 변형 은 축들 사이의 부분을 반으로 절단함으로써 확립될 수 있습니다 (다이어그램을 참조하십시오).
대부분의 타원그래프 제도(drafting) 도구는 두 번째 종이-스트립 방법을 기반으로 합니다.
Approximation of an ellipse with osculating circles Approximation by osculating circles 아래의 메트릭 속성 으로부터, 우리는 다음을 획득합니다:
꼭짓점
V
1
,
V
2
{\displaystyle V_{1},\,V_{2}}
b
2
a
{\displaystyle {\tfrac {b^{2}}{a}}}
공동-꼭짓점
V
3
,
V
4
{\displaystyle V_{3},\,V_{4}}
a
2
b
{\displaystyle {\tfrac {a^{2}}{b}}\ }
다이어그램은, 각각, 꼭짓점
V
1
{\displaystyle V_{1}}
V
3
{\displaystyle V_{3}}
C
1
=
(
a
−
b
2
a
,
0
)
,
C
3
=
(
0
,
b
−
a
2
b
)
{\displaystyle C_{1}=\left(a-{\tfrac {b^{2}}{a}},0\right),\,C_{3}=\left(0,b-{\tfrac {a^{2}}{b}}\right)}
보조 점
H
=
(
a
,
b
)
{\displaystyle H=(a,\,b)}
V
1
V
3
{\displaystyle V_{1}V_{3}\ }
H
{\displaystyle H}
V
1
V
3
{\displaystyle V_{1}V_{3}\ }
이 직선과 축의 교차점은 진동하는 원의 중심입니다. (증명: 간단한 계산.)
남아있는 꼭짓점에 대해 중심은 대칭에 의해 찾아집니다.
프랑스 곡선(French curve:운형자:구름자) 의 도움과 함께, 우리는 곡선을 그리며, 이것은 진동하는 원과 부드럽게 접촉합니다.
Steiner generation Ellipse: Steiner generation Ellipse: Steiner generation 타원의 하나의 점을 구성하는 다음 방법은 원뿔 단면의 슈타이너 생성(Steiner generation of a conic section) 에 의존합니다:
두 점에서
U
,
V
{\displaystyle U,\,V}
U
{\displaystyle U}
V
{\displaystyle V}
연필(pencils)
B
(
U
)
,
B
(
V
)
{\displaystyle B(U),\,B(V)}
B
(
U
)
{\displaystyle B(U)}
B
(
V
)
{\displaystyle B(V)}
π
{\displaystyle \pi }
타원
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
V
1
,
V
2
{\displaystyle V_{1},\,V_{2}}
P
=
(
0
,
b
)
{\displaystyle P=(0,\,b)}
A
=
(
−
a
,
2
b
)
,
B
=
(
a
,
2
b
)
{\displaystyle A=(-a,\,2b),\,B=(a,\,2b)}
P
{\displaystyle P}
V
1
,
V
2
,
B
,
A
{\displaystyle V_{1},\,V_{2},\,B,\,A}
A
B
¯
{\displaystyle {\overline {AB}}}
V
1
B
¯
{\displaystyle {\overline {V_{1}B}}}
A
V
2
{\displaystyle AV_{2}}
V
1
{\displaystyle V_{1}}
V
2
{\displaystyle V_{2}}
V
1
B
i
{\displaystyle V_{1}B_{i}}
V
2
A
i
{\displaystyle V_{2}A_{i}}
C
1
,
…
{\displaystyle C_{1},\,\dotsc }
슈타이너 생성은 쌍곡선 및 포물선에 대해 역시 정의될 수 있습니다. 그것은 때때로 평행사변형 방법 (parallelogram method )으로 불리는데 왜냐하면 우리는 꼭짓점 이외의 다른 점을 사용하며, 이것은 직사각형 대신에 평행사변형과 함께 시작하기 때문입니다.
As hypotrochoid An ellipse (in red) as a special case of the hypotrochoid with R = 2r 타원은, 인접한 이미지에서 보이는 것처럼, R = 2r 일 때 하이포트로초이드(hypotrochoid) 의 특별한 경우입니다. 반지름
R
=
2
r
{\displaystyle R=2r}
r
{\displaystyle r}
투시 한-쌍(Tusi couple) 이라고 불립니다.
Inscribed angles and three-point form Circles Circle: inscribed angle theorem 방정식
(
x
−
x
∘
)
2
+
(
y
−
y
∘
)
2
=
r
2
{\displaystyle \left(x-x_{\circ }\right)^{2}+\left(y-y_{\circ }\right)^{2}=r^{2}}
(
x
1
,
y
1
)
,
(
x
2
,
y
2
)
,
(
x
3
,
y
3
)
{\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right),\;\left(x_{2},\,y_{2}\right),\;\left(x_{3},\,y_{3}\right)}
x
∘
,
y
∘
,
r
{\displaystyle x_{\circ },y_{\circ },r}
내접-각 정리 (inscribed angle theorem :내각 정리 )
네 점
P
i
=
(
x
i
,
y
i
)
,
i
=
1
,
2
,
3
,
4
,
{\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right),\ i=1,\,2,\,3,\,4,\,}
네 점이 원 위에 있는 것과
P
3
{\displaystyle P_{3}}
P
4
{\displaystyle P_{4}}
보통 우리는 각 또는 라디안 θ 에 의해 내접-각을 측정하지만, 여기서 다음 측정은 보다 편립합니다:
방정식
y
=
m
1
x
+
d
1
,
y
=
m
2
x
+
d
2
,
m
1
≠
m
2
{\displaystyle y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2},\ m_{1}\neq m_{2}}
1
+
m
1
m
2
m
2
−
m
1
=
cot
θ
.
{\displaystyle {\frac {1+m_{1}m_{2}}{m_{2}-m_{1}}}=\cot \theta \ .}
Inscribed angle theorem for circles 그들 중 세 개가 한 직선 위에 있지 않은 네 점
P
i
=
(
x
i
,
y
i
)
,
i
=
1
,
2
,
3
,
4
{\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right),\ i=1,\,2,\,3,\,4\,}
네 점은 원 위에 있는 것과
P
3
{\displaystyle P_{3}}
P
4
{\displaystyle P_{4}}
(
x
4
−
x
1
)
(
x
4
−
x
2
)
+
(
y
4
−
y
1
)
(
y
4
−
y
2
)
(
y
4
−
y
1
)
(
x
4
−
x
2
)
−
(
y
4
−
y
2
)
(
x
4
−
x
1
)
=
(
x
3
−
x
1
)
(
x
3
−
x
2
)
+
(
y
3
−
y
1
)
(
y
3
−
y
2
)
(
y
3
−
y
1
)
(
x
3
−
x
2
)
−
(
y
3
−
y
2
)
(
x
3
−
x
1
)
.
{\displaystyle {\frac {(x_{4}-x_{1})(x_{4}-x_{2})+(y_{4}-y_{1})(y_{4}-y_{2})}{(y_{4}-y_{1})(x_{4}-x_{2})-(y_{4}-y_{2})(x_{4}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}.}
먼저 측정은 y-축에 평행하지 않은 현에 대해 오직 유용하지만, 마지막 공식은 임의의 현에 대해 작동합니다.
Three-point form of circle equation 결과적으로, 우리는 세 개의 비-공선형 점
P
i
=
(
x
i
,
y
i
)
{\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right)}
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
+
(
y
−
y
1
)
(
y
−
y
2
)
(
y
−
y
1
)
(
x
−
x
2
)
−
(
y
−
y
2
)
(
x
−
x
1
)
=
(
x
3
−
x
1
)
(
x
3
−
x
2
)
+
(
y
3
−
y
1
)
(
y
3
−
y
2
)
(
y
3
−
y
1
)
(
x
3
−
x
2
)
−
(
y
3
−
y
2
)
(
x
3
−
x
1
)
.
{\displaystyle {\frac {({\color {red}x}-x_{1})({\color {red}x}-x_{2})+({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {red}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}.}
예를 들어,
P
1
=
(
2
,
0
)
,
P
2
=
(
0
,
1
)
,
P
3
=
(
0
,
0
)
{\displaystyle P_{1}=(2,\,0),\;P_{2}=(0,\,1),\;P_{3}=(0,\,0)}
(
x
−
2
)
x
+
y
(
y
−
1
)
y
x
−
(
y
−
1
)
(
x
−
2
)
=
0
{\displaystyle {\frac {(x-2)x+y(y-1)}{yx-(y-1)(x-2)}}=0}
(
x
−
1
)
2
+
(
y
−
1
2
)
2
=
5
4
{\displaystyle (x-1)^{2}+\left(y-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}={\tfrac {5}{4}}\ }
벡터, 점 곱(dot product) 및 행렬식(determinant) 을 사용하여, 이 공식은 보다 깔끔하게 정렬될 수 있으며,
x
→
=
(
x
,
y
)
{\displaystyle {\vec {x}}=(x,\,y)}
(
x
→
−
x
→
1
)
⋅
(
x
→
−
x
→
2
)
det
(
x
→
−
x
→
1
,
x
→
−
x
→
2
)
=
(
x
→
3
−
x
→
1
)
⋅
(
x
→
3
−
x
→
2
)
det
(
x
→
3
−
x
→
1
,
x
→
3
−
x
→
2
)
.
{\displaystyle {\frac {\left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{1}\right)\cdot \left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{2}\right)}{\det \left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{1},{\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{2}\right)}}={\frac {\left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{1}\right)\cdot \left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{2}\right)}{\det \left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{2}\right)}}.}
원
(
x
∘
,
y
∘
)
{\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)}
[
1
y
1
−
y
2
x
1
−
x
2
x
1
−
x
3
y
1
−
y
3
1
]
[
x
∘
y
∘
]
=
[
x
1
2
−
x
2
2
+
y
1
2
−
y
2
2
2
(
x
1
−
x
2
)
y
1
2
−
y
3
2
+
x
1
2
−
x
3
2
2
(
y
1
−
y
3
)
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&{\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\\{\frac {x_{1}-x_{3}}{y_{1}-y_{3}}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{\circ }\\y_{\circ }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{2(x_{1}-x_{2})}}\\{\frac {y_{1}^{2}-y_{3}^{2}+x_{1}^{2}-x_{3}^{2}}{2(y_{1}-y_{3})}}\end{bmatrix}}.}
반지름은 중심과 세 점의 임의의 것 사이의 거리입니다.
r
=
(
x
1
−
x
∘
)
2
+
(
y
1
−
y
∘
)
2
=
(
x
2
−
x
∘
)
2
+
(
y
2
−
y
∘
)
2
=
(
x
3
−
x
∘
)
2
+
(
y
3
−
y
∘
)
2
.
{\displaystyle r={\sqrt {\left(x_{1}-x_{\circ }\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{\circ }\right)^{2}}}={\sqrt {\left(x_{2}-x_{\circ }\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{\circ }\right)^{2}}}={\sqrt {\left(x_{3}-x_{\circ }\right)^{2}+\left(y_{3}-y_{\circ }\right)^{2}}}.}
Ellipses 이 섹션에서, 우리는 고정된 이심률 e 를 갖는 방정식
(
x
−
x
∘
)
2
a
2
+
(
y
−
y
∘
)
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\tfrac {\left(x-x_{\circ }\right)^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {\left(y-y_{\circ }\right)^{2}}{b^{2}}}=1}
q
=
a
2
b
2
=
1
1
−
e
2
,
{\displaystyle {\color {blue}q}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}={\frac {1}{1-e^{2}}},}
다음으로 타원 방정식을 쓰는 것이 편리합니다:
(
x
−
x
∘
)
2
+
q
(
y
−
y
∘
)
2
=
a
2
,
{\displaystyle \left(x-x_{\circ }\right)^{2}+{\color {blue}q}\,\left(y-y_{\circ }\right)^{2}=a^{2},}
여기서 q 는 고정되었고
x
∘
,
y
∘
,
a
{\displaystyle x_{\circ },\,y_{\circ },\,a}
q
<
1
{\displaystyle q<1}
x -축에 평행합니다; 만약
q
>
1
{\displaystyle q>1}
y -축에 평행합니다.)
Inscribed angle theorem for an ellipse 원과 마찬가지로, 그러한 타원은 한 직선 위에 있지 않은 세 점에 의해 결정됩니다.
타원의 이 가족에 대해, 우리는 다음 q-아날로그(q-analog) 각도 측정을 도입하며, 그것은 보통 각도 측정 θ 의 함수가 아닙니다 :[9] [10]
방정식
y
=
m
1
x
+
d
1
,
y
=
m
2
x
+
d
2
,
m
1
≠
m
2
{\displaystyle y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2},\ m_{1}\neq m_{2}}
1
+
q
m
1
m
2
m
2
−
m
1
.
{\displaystyle {\frac {1+{\color {blue}q}\;m_{1}m_{2}}{m_{2}-m_{1}}}\ .}
Inscribed angle theorem for ellipses 그들의 세 점이 한 직선 위에 있지 않은 네 점
P
i
=
(
x
i
,
y
i
)
,
i
=
1
,
2
,
3
,
4
{\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right),\ i=1,\,2,\,3,\,4}
네 점은 방정식
(
x
−
x
∘
)
2
+
q
(
y
−
y
∘
)
2
=
a
2
{\displaystyle (x-x_{\circ })^{2}+{\color {blue}q}\,(y-y_{\circ })^{2}=a^{2}}
P
3
{\displaystyle P_{3}}
P
4
{\displaystyle P_{4}}
(
x
4
−
x
1
)
(
x
4
−
x
2
)
+
q
(
y
4
−
y
1
)
(
y
4
−
y
2
)
(
y
4
−
y
1
)
(
x
4
−
x
2
)
−
(
y
4
−
y
2
)
(
x
4
−
x
1
)
=
(
x
3
−
x
1
)
(
x
3
−
x
2
)
+
q
(
y
3
−
y
1
)
(
y
3
−
y
2
)
(
y
3
−
y
1
)
(
x
3
−
x
2
)
−
(
y
3
−
y
2
)
(
x
3
−
x
1
)
.
{\displaystyle {\frac {(x_{4}-x_{1})(x_{4}-x_{2})+{\color {blue}q}\;(y_{4}-y_{1})(y_{4}-y_{2})}{(y_{4}-y_{1})(x_{4}-x_{2})-(y_{4}-y_{2})(x_{4}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+{\color {blue}q}\;(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}\ .}
먼저 측정은 y-축에 평행하지 않은 현에 대해 오직 유용합니다. 그러나 마지막 공식은 임의의 현에 대해 작동합니다. 증명은 직접 계산으로부터 따릅니다. 증명의 방향에 대해 점들이 타원 위에 있는 것으로 주어지면, 우리는 타원의 중심이 원점이라는 것을 가정할 수 있습니다.
Three-point form of ellipse equation 하나의 결론, 우리는 세 비-공선형 점
P
i
=
(
x
i
,
y
i
)
{\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right)}
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
+
q
(
y
−
y
1
)
(
y
−
y
2
)
(
y
−
y
1
)
(
x
−
x
2
)
−
(
y
−
y
2
)
(
x
−
x
1
)
=
(
x
3
−
x
1
)
(
x
3
−
x
2
)
+
q
(
y
3
−
y
1
)
(
y
3
−
y
2
)
(
y
3
−
y
1
)
(
x
3
−
x
2
)
−
(
y
3
−
y
2
)
(
x
3
−
x
1
)
.
{\displaystyle {\frac {({\color {red}x}-x_{1})({\color {red}x}-x_{2})+{\color {blue}q}\;({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {red}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+{\color {blue}q}\;(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}\ .}
예를 들어,
P
1
=
(
2
,
0
)
,
P
2
=
(
0
,
1
)
,
P
3
=
(
0
,
0
)
{\displaystyle P_{1}=(2,\,0),\;P_{2}=(0,\,1),\;P_{3}=(0,\,0)}
q
=
4
{\displaystyle q=4}
(
x
−
2
)
x
+
4
y
(
y
−
1
)
y
x
−
(
y
−
1
)
(
x
−
2
)
=
0
{\displaystyle {\frac {(x-2)x+4y(y-1)}{yx-(y-1)(x-2)}}=0}
(
x
−
1
)
2
2
+
(
y
−
1
2
)
2
1
2
=
1.
{\displaystyle {\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {\left(y-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}{\frac {1}{2}}}=1.}
원의 경우와 유사하게, 방정식은 벡터를 사용하여 보다 분명하게 쓸 수 있습니다:
(
x
→
−
x
→
1
)
∗
(
x
→
−
x
→
2
)
det
(
x
→
−
x
→
1
,
x
→
−
x
→
2
)
=
(
x
→
3
−
x
→
1
)
∗
(
x
→
3
−
x
→
2
)
det
(
x
→
3
−
x
→
1
,
x
→
3
−
x
→
2
)
,
{\displaystyle {\frac {\left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{1}\right)*\left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{2}\right)}{\det \left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{1},{\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{2}\right)}}={\frac {\left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{1}\right)*\left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{2}\right)}{\det \left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{2}\right)}},}
여기서
∗
{\displaystyle *}
u
→
∗
v
→
=
u
x
v
x
+
q
u
y
v
y
{\displaystyle {\vec {u}}*{\vec {v}}=u_{x}v_{x}+{\color {blue}q}\,u_{y}v_{y}}
Pole-polar relation Ellipse: pole-polar relation 임의의 타원은 방정식
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
P
1
=
(
x
1
,
y
1
)
{\displaystyle P_{1}=\left(x_{1},\,y_{1}\right)}
x
1
x
a
2
+
y
1
y
b
2
=
1
{\displaystyle {\tfrac {x_{1}x}{a^{2}}}+{\tfrac {y_{1}y}{b^{2}}}=1}
P
1
=
(
x
1
,
y
1
)
{\displaystyle P_{1}=\left(x_{1},\,y_{1}\right)}
점
P
1
=
(
x
1
,
y
1
)
≠
(
0
,
0
)
{\displaystyle P_{1}=\left(x_{1},\,y_{1}\right)\neq (0,\,0)}
x
1
x
a
2
+
y
1
y
b
2
=
1
{\displaystyle {\tfrac {x_{1}x}{a^{2}}}+{\tfrac {y_{1}y}{b^{2}}}=1}
점과 직선 사이의 이 관계는 전단사(bijection) 입니다.
역함수(inverse function) 는 다음을 매핑합니다:
직선
y
=
m
x
+
d
,
d
≠
0
{\displaystyle y=mx+d,\ d\neq 0}
(
−
m
a
2
d
,
b
2
d
)
{\displaystyle \left(-{\tfrac {ma^{2}}{d}},\,{\tfrac {b^{2}}{d}}\right)}
직선
x
=
c
,
c
≠
0
{\displaystyle x=c,\ c\neq 0}
(
a
2
c
,
0
)
{\displaystyle \left({\tfrac {a^{2}}{c}},\,0\right)\ }
원뿔형에 의해 생성된 점과 직선 사이의 그러한 관계는 극점-극선 관계 (pole-polar relation )극성 (polarity )으로 불립니다. 극점은 그 점이고 극선은 그 직선입니다.
계산에 의해, 우리는 타원의 극점-극선 관계의 다음 속성을 확인할 수 있습니다:
타원 위의 점 (극점)에 대해, 극선은 이 점에서 접선입니다 (다이어그램을 참조하십시오:
P
1
,
p
1
{\displaystyle P_{1},\,p_{1}}
타원 밖의 극점
P
{\displaystyle P}
P
{\displaystyle P}
P
2
,
p
2
{\displaystyle P_{2},\,p_{2}}
타원 안의 점에 대해 극선은 타원과 공통으로 점을 가지지 않습니다. (다이어그램을 참조하십시오:
F
1
,
l
1
{\displaystyle F_{1},\,l_{1}}
두 극선의 교차 점은 그들의 극점을 통과하는 직선의 극점입니다.
각각의 초점
(
c
,
0
)
,
{\displaystyle (c,\,0),}
(
−
c
,
0
)
{\displaystyle (-c,\,0)}
x
=
a
2
c
{\displaystyle x={\tfrac {a^{2}}{c}}}
x
=
−
a
2
c
{\displaystyle x=-{\tfrac {a^{2}}{c}}}
극점-극선 관계는 쌍곡선과 포물선에 대해 역시 존재합니다.
Metric properties 아래 주어진 메트릭 속성은 방정식
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
Area 타원에 의해 둘러싸인 넓이(area)
A
ellipse
{\displaystyle A_{\text{ellipse}}}
A
ellipse
=
π
a
b
{\displaystyle A_{\text{ellipse}}=\pi ab}
여기서
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
π
a
b
{\displaystyle \pi ab}
b
{\displaystyle b}
π
b
2
{\displaystyle \pi b^{2}}
a
/
b
{\displaystyle a/b}
π
b
2
(
a
/
b
)
=
π
a
b
.
{\displaystyle \pi b^{2}(a/b)=\pi ab.}
적분(integration) 을 사용하여 넓이 공식을 엄격하게 증명하는 것도 역시 쉽습니다. 방정식 (1
y
(
x
)
=
b
1
−
x
2
/
a
2
{\displaystyle y(x)=b{\sqrt {1-x^{2}/a^{2}}}}
x
∈
[
−
a
,
a
]
{\displaystyle x\in [-a,a]}
[
−
a
,
a
]
{\displaystyle [-a,a]}
y
(
x
)
{\displaystyle y(x)}
A
ellipse
=
∫
−
a
a
2
b
1
−
x
2
a
2
d
x
=
b
a
∫
−
a
a
2
a
2
−
x
2
d
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}A_{\text{ellipse}}&=\int _{-a}^{a}2b{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}\,dx\\&={\frac {b}{a}}\int _{-a}^{a}2{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx.\end{aligned}}}
두 번째 적분은 반지름
a
{\displaystyle a}
π
a
2
{\displaystyle \pi a^{2}}
A
ellipse
=
b
a
π
a
2
=
π
a
b
.
{\displaystyle A_{\text{ellipse}}={\frac {b}{a}}\pi a^{2}=\pi ab.}
A
x
2
+
B
x
y
+
C
y
2
=
1
{\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}=1}
2
π
/
4
A
C
−
B
2
{\displaystyle 2\pi /{\sqrt {4AC-B^{2}}}}
넓이는 이심률과
a
2
π
1
−
e
2
{\displaystyle a^{2}\pi {\sqrt {1-e^{2}}}}
Circumference Ellipses with same circumference 타원의 둘레(circumference)
C
{\displaystyle C}
C
=
4
a
∫
0
π
/
2
1
−
e
2
sin
2
θ
d
θ
=
4
a
E
(
e
)
{\displaystyle C\,=\,4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta \,=\,4a\,E(e)}
여기서 다시
a
{\displaystyle a}
e
=
1
−
b
2
/
a
2
{\displaystyle e={\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}}
E
{\displaystyle E}
두 번째 종류의 완전한 타원 적분(complete elliptic integral of the second kind) 입니다:
E
(
e
)
=
∫
0
π
/
2
1
−
e
2
sin
2
θ
d
θ
.
{\displaystyle E(e)\,=\,\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta .}
타원의 둘레는 가우스의 산술-기하 평균(Gauss's arithmetic-geometric mean) 을 사용하여
E
(
e
)
{\displaystyle E(e)}
[11] [12]
정확한 무한 급수(infinite series) 는 다음입니다:
C
=
2
π
a
[
1
−
(
1
2
)
2
e
2
−
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
2
e
4
3
−
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
2
e
6
5
−
⋯
]
=
2
π
a
[
1
−
∑
n
=
1
∞
(
(
2
n
−
1
)
!
!
(
2
n
)
!
!
)
2
e
2
n
2
n
−
1
]
,
{\displaystyle {\begin{aligned}C&=2\pi a\left[{1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}e^{2}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {e^{4}}{3}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}{\frac {e^{6}}{5}}-\cdots }\right]\\&=2\pi a\left[1-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {e^{2n}}{2n-1}}\right],\end{aligned}}}
여기서
n
!
!
{\displaystyle n!!}
두-배 팩토리얼(double factorial) 입니다. 이 급수는 수렴하지만,
h
=
(
a
−
b
)
2
/
(
a
+
b
)
2
{\displaystyle h=(a-b)^{2}/(a+b)^{2}}
제임스 아이보리(James Ivory) [13] [14]
C
=
π
(
a
+
b
)
[
1
+
∑
n
=
1
∞
(
(
2
n
−
1
)
!
!
2
n
n
!
)
2
h
n
(
2
n
−
1
)
2
]
.
=
π
(
a
+
b
)
[
1
+
h
4
+
∑
n
=
2
∞
(
(
2
n
−
3
)
!
!
2
n
n
!
)
2
h
n
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}C&=\pi (a+b)\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{2^{n}n!}}\right)^{2}{\frac {h^{n}}{(2n-1)^{2}}}\right].\\&=\pi (a+b)\left[1+{\frac {h}{4}}+\sum _{n=2}^{\infty }\left({\frac {(2n-3)!!}{2^{n}n!}}\right)^{2}h^{n}\right].\end{aligned}}}
스리미바자 라마누젠(Srinivasa Ramanujan) 은 "
π
{\displaystyle \pi }
근사(approximations) 를 제공합니다;[15]
C
≈
π
[
3
(
a
+
b
)
−
(
3
a
+
b
)
(
a
+
3
b
)
]
=
π
[
3
(
a
+
b
)
−
10
a
b
+
3
(
a
2
+
b
2
)
]
{\displaystyle C\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]=\pi \left[3(a+b)-{\sqrt {10ab+3\left(a^{2}+b^{2}\right)}}\right]}
및
C
≈
π
(
a
+
b
)
(
1
+
3
h
10
+
4
−
3
h
)
.
{\displaystyle C\approx \pi \left(a+b\right)\left(1+{\frac {3h}{10+{\sqrt {4-3h}}}}\right).}
경험적으로 얻어져 왔던, 이들 근사에서 오차는, 각각, 차수
h
3
{\displaystyle h^{3}}
h
5
{\displaystyle h^{5}}
보다 일반적으로, 외부-연결된(subtended) 각도 (또는 타원의 위의 절반 위의 임의의 두 점의 x 호 길이(arc length) 는 불완전한 타원 적분(elliptic integral) 에 의해 제공됩니다. 타원의 위의 절반은 다음으로 매개-변수화됩니다:
y
=
b
1
−
x
2
a
2
.
{\displaystyle y=b{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}.}
그런-다음
x
1
{\displaystyle x_{1}}
x
2
{\displaystyle x_{2}}
s
{\displaystyle s}
s
=
−
b
∫
arccos
x
1
a
arccos
x
2
a
1
−
(
1
−
a
2
b
2
)
sin
2
z
d
z
.
{\displaystyle s=-b\int _{\arccos {\frac {x_{1}}{a}}}^{\arccos {\frac {x_{2}}{a}}}{\sqrt {1-\left(1-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)\sin ^{2}z}}\,dz.}
이것은 다음과 동등합니다:
s
=
−
b
[
E
(
z
|
1
−
a
2
b
2
)
]
arccos
x
1
a
arccos
x
2
a
{\displaystyle s=-b\left[E\left(z\;{\Biggl |}\;1-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)\right]_{\arccos {\frac {x_{1}}{a}}}^{\arccos {\frac {x_{2}}{a}}}}
여기서
E
(
z
∣
m
)
{\displaystyle E(z\mid m)}
m
=
k
2
{\displaystyle m=k^{2}}
역 함수(inverse function) , 호 길이의 함수로 외부-연결된 각도는 특정 타원 함수(elliptic function) 에 의해 제공됩니다.[citation needed
a
≥
b
{\displaystyle a\geq b}
x
2
/
a
2
+
y
2
/
b
2
=
1
{\displaystyle x^{2}/a^{2}+y^{2}/b^{2}=1}
[16]
2
π
b
≤
C
≤
2
π
a
,
π
(
a
+
b
)
≤
C
≤
4
(
a
+
b
)
,
4
a
2
+
b
2
≤
C
≤
2
π
a
2
+
b
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}2\pi b&\leq C\leq 2\pi a,\\\pi (a+b)&\leq C\leq 4(a+b),\\4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}&\leq C\leq {\sqrt {2}}\pi {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.\end{aligned}}}
여기서 위의 경계
2
π
a
{\displaystyle 2\pi a}
외접하는(circumscribed) 동심원(concentric circle) 의 둘레이고, 낮은 경계
4
a
2
+
b
2
{\displaystyle 4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
꼭짓점(vertices) 을 가진 내접하는(inscribed) 마름모(rhombus) 의 둘레(perimeter) 입니다.
Curvature 곡률curvature) 은
κ
=
1
a
2
b
2
(
x
2
a
4
+
y
2
b
4
)
−
3
2
{\displaystyle \kappa ={\frac {1}{a^{2}b^{2}}}\left({\frac {x^{2}}{a^{4}}}+{\frac {y^{2}}{b^{4}}}\right)^{-{\frac {3}{2}}}\ }
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
곡률의 반지름(radius of curvature) :
ρ
=
a
2
b
2
(
x
2
a
4
+
y
2
b
4
)
3
2
=
1
a
4
b
4
(
a
4
y
2
+
b
4
x
2
)
3
.
{\displaystyle \rho =a^{2}b^{2}\left({\frac {x^{2}}{a^{4}}}+{\frac {y^{2}}{b^{4}}}\right)^{\frac {3}{2}}={\frac {1}{a^{4}b^{4}}}{\sqrt {\left(a^{4}y^{2}+b^{4}x^{2}\right)^{3}}}\ .}
두 꼭짓점
(
±
a
,
0
)
{\displaystyle (\pm a,0)}
ρ
0
=
b
2
a
=
p
,
(
±
c
2
a
|
0
)
.
{\displaystyle \rho _{0}={\frac {b^{2}}{a}}=p\ ,\qquad \left(\pm {\frac {c^{2}}{a}}\,{\bigg |}\,0\right)\ .}
두 공동-꼭짓점
(
0
,
±
b
)
{\displaystyle (0,\pm b)}
ρ
1
=
a
2
b
,
(
0
|
±
c
2
b
)
.
{\displaystyle \rho _{1}={\frac {a^{2}}{b}}\ ,\qquad \left(0\,{\bigg |}\,\pm {\frac {c^{2}}{b}}\right)\ .}
In triangle geometry 타원은 다음으로 삼각형 기하학에서 나타납니다:
슈타이너 타원(Steiner ellipse) : 무게-중심에 중심을 가진 삼각형의 꼭짓점을 통한 타원,내접-타원(inellipse) : 삼각형의 변들에 접하는 타원. 특별한 경우는 슈타이너 내접-타원(Steiner inellipse) 및 맨다트 내접-타원(Mandart inellipse) 입니다.As plane sections of quadrics 타원은 다음 이차-초곡면(quadric) 의 평면 섹션에서 나타납니다:
Applications Physics Elliptical reflectors and acoustics 만약 물의 표면은 타원형의 물 탱크의 하나의 초점에서 교란되면, 해당 교란의 원형 파동은, 벽에서 반사된(reflecting) 후, 하나의 점: 두 번째 초점 으로 동시에 수렴합니다. 이것은 두 초점 사이의 임의의 벽에-튀는 경로를 따라 전체 이동 길이가 같은 것이 되는 결과입니다.
유사하게, 만약 광원이 타원 거울(mirror) 의 하나의 초점에 배치되면, 타원의 평면 위의 모든 반직선이 두 번째 초점에 반사됩니다. 다른 매끄러운 곡선은 이러한 속성을 가지지 않으므로, 그것은 타원의 대안적인 정의로 사용될 수 있습니다. (중심에 광원을 가진 원의 특별한 경우에서, 모든 빛은 중심으로 다시 반사될 것입니다.) 만약 타원이 타원면체(ellipsoid) 의 거울 (특히, 편장의 회전타원면체(prolate spheroid) )을 생성하기 위해 그의 주요 축을 따라 회전되면, 이 속성은 광원에서 나오는 모든 반직선에 대해 유지됩니다. 대안적으로, 타원형 단면을 갖는 원통형 거울은 종이의 선을 따라 선형 형광 등(fluorescent lamp) 으로부터 광을 집중하기 위해 사용될 수 있습니다; 그러한 거울은 일부 문서 스캐너(document scanner) 에서 사용됩니다.
소리 파동은 비슷한 방식으로 반사되므로, 큰 타원형 방에서 한 초점에 서있는 사람은 다른 초점에 서 있는 사람을 매우 잘 들을 수 있습니다. 그 효과는 판장의 회전타원면체의 단면으로 형성된 아치형 지붕(vaulted roof) 아래에서 한층더 분명해집니다. 그러한 방은 속삭이는 방 (whisper chamber )미국 국회-의사당(United States Capitol) 의 국립 법정 홀(National Statuary Hall) (여기서 존 퀸시 애덤스(John Quincy Adams) 는 정치 문제를 도청하기 위해 이 속성을 사용해 왔던 것으로 말합니다); 솔트 레이크 시티(Salt Lake City) , 유타(Utah) 의 템플 스퀘어(Temple Square) 에서 몰몬 태버내클(Mormon Tabernacle) ; 시카고(Chicago) 의 과학 및 산업 박물관(Museum of Science and Industry) 에서 소리에 관한 전시회; 어배너-섐페인에 일리노이 대학 의 앞에 폴링어 강당 ; 및 알함브라(Alhambra) 에서, 찰스 5세의 궁전 옆 방에 역시 있습니다.
Planetary orbits 17세기에서, 요하네스 케플러(Johannes Kepler) 는 행성이 태양 주위를 이동하는 궤도가, 그의 행성 운동의 첫 번째 법칙(first law of planetary motion) 에서, 하나의 초점에 [근사적으로] 태양을 가진 타원이라는 것을 발견했습니다. 나중에, 아이작 뉴턴(Isaac Newton) 은 이것을 그의 보편적 중력 법칙(law of universal gravitation) 의 따름정리(corollary) 로 설명했습니다.
보다 일반적으로, 중력의 두-물체 문제(two-body problem) 에서, 만약 두 물체가 서로 결합되어 있으면 (즉, 총 에너지가 음수이면), 그들의 궤도는 공통 베리센터(barycenter) 이 각 타원의 초점 중 하나가 되는 닮음(similar) 타원입니다. 두 타원의 다른 초점은 알려진 물리적 중요성이 없습니다. 다른 것의 관측계(reference frame)에서 양쪽 물체의 궤도는, 같은 초점에 다른 물체를 가진, 역시 타원입니다.
케플러 타원형 궤도는 반지름의 거리가 거리의 제곱에 반비례하는 임의의 방사형 방향화된 당기는 힘의 결과입니다. 따라서, 원칙적으로, 빈 공간에서 두 반대로 하전된 입자의 운동은 역시 타원일 것입니다. (어쨌든, 이 결론은 전자기 방사선(electromagnetic radiation) 및 양자 효과(quantum effects) 로 기인한 손실을 무시하며, 그것은 입자가 고속으로 움직일 때 중요하게 됩니다.)
타원형 궤도(elliptical orbit) 에 대해, 이심률
e
{\displaystyle e}
e
=
r
a
−
r
p
r
a
+
r
p
=
r
a
−
r
p
2
a
r
a
=
(
1
+
e
)
a
r
p
=
(
1
−
e
)
a
{\displaystyle {\begin{aligned}e&={\frac {r_{a}-r_{p}}{r_{a}+r_{p}}}={\frac {r_{a}-r_{p}}{2a}}\\r_{a}&=(1+e)a\\r_{p}&=(1-e)a\end{aligned}}}
여기서
역시,
r
a
{\displaystyle r_{a}}
r
p
{\displaystyle r_{p}}
a
{\displaystyle a}
산술 평균(arithmetic mean) 이고, 반-보조 축
b
{\displaystyle b}
기하 평균(geometric mean) 이고, 반-래투스 렉텀(semi-latus rectum)
ℓ
{\displaystyle \ell }
조화 평균(harmonic mean) 입니다. 달리 말해서,
a
=
r
a
+
r
p
2
b
=
r
a
r
p
ℓ
=
2
1
r
a
+
1
r
p
=
2
r
a
r
p
r
a
+
r
p
{\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {r_{a}+r_{p}}{2}}\\[2pt]b&={\sqrt {r_{a}r_{p}}}\\[2pt]\ell &={\frac {2}{{\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{p}}}}}={\frac {2r_{a}r_{p}}{r_{a}+r_{p}}}\end{aligned}}}
Harmonic oscillators 둘 이상 차원(dimension) 에서 조화 진동자(harmonic oscillator) 에 대해 일반적인 해는 역시 타원입니다. 그런 것은, 예를 들어, 이-차원에서 자유롭게 움직이는 긴 진자; 완전 탄성 용수철(spring) 에 의한 고정된 점에 부착된 질량; 또는 고정된 끄는-것(끌개, 인력체)으로부터 그의 거리에 직접적으로 비례(정비례)하는 끄는-힘(인력)의 영향 아래에 움직이는 임의의 물체의 경우입니다. 어쨌든 케플러 궤도와 달리, 이들 "조화 궤도"는 타원의 기하학적 중심에서 끌어-당김의 중심을 가지고, 꽤 간단한 운동 방정식을 가집니다.
Phase visualization 전자공학(electronics) 에서, 두 정현파 신호의 상대적 위상은 오실로스코프(oscilloscope) 의 수직 및 수평 입력에 그들을 공급함으로써 비교될 수 있습니다. 만약 리사주 그림(Lissajous figure) 디스플레이는 직선이 아닌 타원이면, 두 신호의 위상이 다릅니다.
Elliptical gears 같은 타원형 윤곽을 가진 두 비-원형 기어(non-circular gear) 는, 각각 하나의 초점을 중심으로 선회하고 적절한 각도로 위치하여, 항상 접촉을 유지하면서 부드럽게 회전합니다. 대안적으로, 그들은 링크 체인(link chain) 또는 타이밍 벨트(timing belt) 에 의해 연결될 수 있습니다. 또는 자전거의 경우에서, 주요 체인-링(chainring) 은 타원형, 또는 형식에서 타원과 유사한 달걀-모양(ovoid) 일 수 있습니다. 그러한 타원형 기어는 기계식 장비에서 구동 액슬의 상수 회전으로부터 가변 각속도(angular speed) 또는 토크(torque) 를 생성, 자전거의 경우에서 반대로 변하는 기계적 이점(mechanical advantage) 을 갖는 변하는 크랭크 회전 속도를 허용하기 위해 사용될 수 있습니다.
타원형 자전거 기어는 기어를 바꿀 때 톱니에서 미끄러지기 위한 체인에 대해 그것을 더 쉽게 만듭니다.[17]
예제 기어 응용은 방적(spinning) 기계 위의 원뿔형 보빈(bobbin) 에 실을 감는 장치일 것입니다. 보빈이 실이 밑면 근처에 있을 때보다 그것이 꼭대기 근처에 있을 때 더 빨리 감기는 것이 필요할 것입니다.[18]
Optics Statistics and finance 통계학(statistics) 에서, 이변량 확률 벡터(random vector) (X , Y )은 만약 그의 같은-밀도 윤곽선—밀도 함수의 값이 같은 자취–이 타원이면, 결합적으로 타원형으로 분포된(jointly elliptically distributed) 것입니다. 그 개념은 확률 벡터의 임의의 숫자의 원소로 확장되며, 이 경우에서 일반적으로 같은-밀도 윤곽선은 타원면체(ellipsoid) 입니다. 특별한 경우는 다변량 정규 분포(multivariate normal distribution) 입니다. 타원형 분포는 재무에서 중요한데 왜냐하면 만약 자산에 대한 수익률이 결합적으로 타원형으로 분배되면 모든 포트폴리오는 그들의 평균과 분산으로 완전히 특성화될 수 있기 때문입니다–즉, 포트폴리오의 평균과 분산이 같은 임의의 두 포트폴리오는 포트폴리오 반환의 같은 분포를 가집니다.[21] [22]
Computer graphics 그래픽 프리미티브로 타원을 그리는 것은, MacIntosh QuickDraw API 및 윈도우의 Direct2D 와 같은, 표준 디스플레이 라이브러리에서 공통적입니다. IBM의 잭 브레슨햄(Jack Bresenham) 은, 캐리 비트의 덧셈 및 분기와 같은, 오직 빠른 정수 연산을 사용하여, 직선 및 원 그림을 포함한, 2D 드로잉 프리미티브의 발명으로 가장 유명합니다. 피트웨이(M.L.V. Pitteway)는 1967년에 원뿔형에 대한 직선에 대해 브레슨햄의 알고리듬을 확장했습니다.[23] [24]
1970년에 대니 코헨은 영국에서 "컴퓨터 그래픽 1970" 컨퍼런스에서 타원과 원을 그리는 선형 알고리듬을 발표했습니다. 1971년에서, 스미스(L. B. Smith)는 모든 원뿔 단면에 대해 유사한 알고리듬을 발표했고 좋은 속성을 가지기 위한 그것을 증명했습니다.[25]
컴퓨터 그래픽에서 매개-변수 공식화를 사용하는 것이 유익한데 왜냐하면 점의 밀도는 최대 곡률이 있는 곳이 가장 커기 때문입니다. 따라서, 각각의 연속적인 점 사이의 기울기 변화는 작아지며, 근사의 명백한 "거칠음"을 감소시킵니다.
베지에 경로와 함께 그리기
합성 베지에 곡선(Composite Bézier curve) 은 충분한 정확도로 타원을 그리기 위해 역시 사용될 수 있는데, 왜냐하면 임의의 타원은 원의 아핀 변환(affine transformation) 으로 구성될 수 있기 때문입니다. 원을 그리기 위해 사용된 스플라인 방법은 타원을 그리기 위해 역시 사용될 수 있는데, 왜냐하면 구성의 베지에 곡선(Bézier curve) 은 그러한 변환 아래에서 적절하게 동작하기 때문입니다.
Optimization theory 점의 집합에 대한 최소 경계진 타원을 찾는 것이 때때로 유용합니다. 타원면체 방법(ellipsoid method) 은 이 문제를 공격하는 것에 대해 꽤 유용합니다.
See also
Cartesian oval , a generalization of the ellipseCircumconic and inconic Distance of closest approach of ellipses Ellipse fitting Elliptic coordinates , an orthogonal coordinate system based on families of ellipses and hyperbolae Elliptic partial differential equation Elliptical distribution , in statisticsGeodesics on an ellipsoid Great ellipse Kepler's laws of planetary motion n -ellipsen fociOval Spheroid , the ellipsoid obtained by rotating an ellipse about its major or minor axisStadium (geometry) , a two-dimensional geometric shape constructed of a rectangle with semicircles at a pair of opposite sidesSteiner circumellipse , the unique ellipse circumscribing a triangle and sharing its centroidSuperellipse , a generalization of an ellipse that can look more rectangular or more "pointy"True , eccentric , and mean anomaly
Notes
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VANDENHOECK & RUPRECHT, 1967, p. 26
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[1]
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References External links
![{\displaystyle {\begin{aligned}a,b&={\frac {-{\sqrt {2{\Big (}AE^{2}+CD^{2}-BDE+(B^{2}-4AC)F{\Big )}\left((A+C)\pm {\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}\right)}}}{B^{2}-4AC}}\\x_{\circ }&={\frac {2CD-BE}{B^{2}-4AC}}\\[3pt]y_{\circ }&={\frac {2AE-BD}{B^{2}-4AC}}\\[3pt]\Theta &={\begin{cases}\arctan \left({\frac {1}{B}}\left(C-A-{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}\right)\right)&{\text{for }}B\neq 0\\0&{\text{for }}B=0,\ A<C\\90^{\circ }&{\text{for }}B=0,\ A>C\\\end{cases}}\end{aligned}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f9bcbd931f81a6ed46cd1f02a499288f4f58a97)
![{\displaystyle u\in [0,\,1]}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94b144a6e32c575905b06c39ef4ff9be121f49c9)
de La Hire's method
Animation of the method
Ellipse construction: paper strip method 1
Ellipses with Tusi couple. Two examples: red and cyan.
Variation of the paper strip method 1
Animation of the variation of the paper strip method 1
Trammel of Archimedes (principle)
Ellipsograph due to Benjamin Bramer
Variation of the paper strip method 2
![{\displaystyle x\in [-a,a]}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/230fb811e68a2cb420107a2a6bbf81d435385aff)
![{\displaystyle [-a,a]}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50ccbcece37f9ec0a4c6d396be3a143a0b76d5c1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}C&=2\pi a\left[{1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}e^{2}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {e^{4}}{3}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}{\frac {e^{6}}{5}}-\cdots }\right]\\&=2\pi a\left[1-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {e^{2n}}{2n-1}}\right],\end{aligned}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e225de865dc476c19e57cf9278cecae8fff3998)
![{\displaystyle {\begin{aligned}C&=\pi (a+b)\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{2^{n}n!}}\right)^{2}{\frac {h^{n}}{(2n-1)^{2}}}\right].\\&=\pi (a+b)\left[1+{\frac {h}{4}}+\sum _{n=2}^{\infty }\left({\frac {(2n-3)!!}{2^{n}n!}}\right)^{2}h^{n}\right].\end{aligned}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be763d0ca06c104f63d304145e65701b57384811)
![{\displaystyle C\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]=\pi \left[3(a+b)-{\sqrt {10ab+3\left(a^{2}+b^{2}\right)}}\right]}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ebd4b46a75f4fdc605e3baee07de3f4bf9255c2)
![{\displaystyle s=-b\left[E\left(z\;{\Biggl |}\;1-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)\right]_{\arccos {\frac {x_{1}}{a}}}^{\arccos {\frac {x_{2}}{a}}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed75c6daa97d1f19f90b6a53c3441bf0e65601a2)
Ellipsoid
Elliptic cone
Elliptic cylinder
Hyperboloid of one sheet
Hyperboloid of two sheets
![{\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {r_{a}+r_{p}}{2}}\\[2pt]b&={\sqrt {r_{a}r_{p}}}\\[2pt]\ell &={\frac {2}{{\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{p}}}}}={\frac {2r_{a}r_{p}}{r_{a}+r_{p}}}\end{aligned}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08835a73be73e7094f529d4eff42804930898271)
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