Slope

수학에서, 직선(line)의 기울기(slope) 또는 그래디언트(gradient)는 직선의 방향(direction)과 가파름(steepness) 모두를 묘사하는 숫자입니다.^[1] 기울기는 종종 문자 m으로 표시됩니다; 문자 m이 기울기에 사용되는 이유에 대한 명확한 대답은 없지만, 영어에서 최초의 사용은 오브라이언(O'Brien, 1844)에 나타나며,^[2] 그는 직선의 방정식을 "y = mx + b"으로 썼었고 그것은 역시 토드헌트(Todhunter, 1888)에서 역시 찾을 수 있으며,^[3] 그는 직선의 방정식을 "y = mx + c"으로 썼습니다.^[4]

기울기는 직선 위의 (임의의) 두 구별되는 점 사이의 "수평 변화"에 대한 "수직 변화"의 비율을 찾음으로써 계산됩니다. 때때로 비율이 몫("달리기 분의 오르기(rise over run)")으로 표시되며, 같은 직선 위에 모든 각 두 구별되는 점에 대해 같은 숫자를 제공합니다. 감소하는 직선은 음의 "오르기(rise)"을 가집니다. 직선은 – 도로 측량자에 의해 설정할 때, 또는 서술적 묘사 또는 설계도처럼 도로 또는 지붕을 모델링하는 다이어그램에서 – 실용적일 수 있습니다

직선의 가파름(steepness), 경사(incline), 또는 비탈(grade)은 기울기의 절댓값(absolute value)에 의해 측정됩니다. 더 큰 절댓값을 갖는 기울기는 더 가파른 직선을 가리킵니다. 직선(line)의 방향(direction)은 증가하는 (increasing), 감소하는 (decreasing), 수평(horizontal) 또는 수직(vertical) 중에 하나입니다.

만약 왼쪽에서 오른쪽으로 올라가면, 직선은 증가하는 것입니다. 기울기는 양수, 즉 $m>0$ 입니다.
만약 왼쪽에서 오른쪽으로 내려가면, 직선은 감소하는 것입니다. 기울기는 음수, 즉 $m<0$ 입니다.
만약 직선이 수평이면, 기울기는 영입니다. 이것은 상수 함수(constant function)입니다.
만약 직선이 수직이면, 기울기는 정의되지 않습니다 (아래를 참조하십시오).

두 점 사이의 도로의 오르기는, 그들의 두 지점, 말하자면 y₁와 y₂에서 도로의 고도 사이의 차이입니다, 또는 다른 말로, 오르기는 (y₂ − y₁) = Δy입니다. 상대적으로 짧은 거리에 대해, 지구의 곡률이 무시될 수 있는 곳에서, 달리기는 수준, 수평 직선을 따라 측정된 고정 점으로부터 거리에서 차이입니다, 또는 다른 말로, 달리기는 (x₂ − x₁) = Δx입니다. 여기서 두 점 사이의 도로의 기울기는 직선 위의 임의의 두 점 사이의 수평 거리에 대한 고도 변화의 비율로써 단순히 묘사됩니다.

수학적 언어에서, 직선의 기울기 m은 다음입니다:

m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.

기울기의 개념은 지리학(geography) 및 토목 공학(civil engineering)에서 비탈(grade) 또는 그래디언트(gradient)에 직접 적용됩니다. 삼각법(trigonometry)을 통해, 직선의 기울기 m은 탄젠트 함수(tangent function)에 의한 경사 θ의 그의 각도와 관련됩니다:

m=\tan(\theta )

따라서, 45° 오르는 직선은 +1의 기울기를 가지고 45° 떨어지는 직선은 −1의 기울기를 가집니다.

이런 실용적인 설명의 일반화로써, 미분 미적분학(differential calculus)의 수학은 어떤 점에서의 곡선(curve)의 기울기를 그 점에서의 접선(tangent line)의 기울기로 정의합니다. 곡선이 다이어그램 또는 점의 좌표의 목록에서 점들의 수열로써 주어질 때, 기울기는 하나의 점이 아니라 임의의 두 주어진 점 사이에서 계산될 수 있습니다. 곡선이, 아마도 대수적 공식으로써, 연속 함수로써 주어질 때, 미분 미적분학은 곡선의 중간의 임의의 점에서 곡선의 기울기에 대한 공식을 제공하는 규칙을 제공합니다.

기울기의 그 개념의 일반화는 수평 또는 수직인 정적 구조를 뛰어넘지만, 시간에서 변하고, 곡선에서 움직이고, 다른 요인의 변화율에 따라 변화하는 매우 복잡한 구조를 계획하고 구축하는 것을 허용합니다. 그것에 따라서, 기울기의 단순한 아이디어는 기술과 건축 환경 둘 다의 관점에서 현대의 주요 기초 중 하나가 됩니다.

Definition

x 및 y 축을 포함하는 평면에서 직선의 기울기는 일반적으로 문자 m으로 표시되고, 직선 위의 서로 다른 두 점 사이에서, y 좌표의 변화를 대응하는 x 좌표의 변화로 나눈 값으로 정의됩니다. 이것은 다음 방정식으로 묘사될 수 있습니다:

m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {{\text{vertical}}\,{\text{change}}}{{\text{horizontal}}\,{\text{change}}}}={\frac {\text{rise}}{\text{run}}}.

(그리스 문자 델타(delta), Δ는 수학에서 "차이" 또는 "변화"를 의미하는 것으로 공통적으로 사용됩니다.)

두 점 (x₁,y₁)와 (x₂,y₂)가 주어지면, 한 점에서 다른 점으로 x에서 변화는 x₂ − x₁ (달리기(run))이고, 반면에 y에서 변화는 y₂ − y₁ (오르기(rise))입니다. 위의 방정식에 두 양을 모두 대입하면 다음 공식이 생성됩니다:

m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.

수식은 수직 직선, 즉 y 축에 대해 평행한 직선에 대해 적용할 수 없습니다 (영에 의한 나눗셈(Division by zero)을 참조하십시오). 여기서 기울기는 무한대(infinity)를 갖는 것으로 여겨지므로, 수직 직선의 기울기는 정의되지 않은 것으로 고려됩니다.

Examples

직선이 두 점: P = (1, 2) 및 Q = (13, 8)을 통과한다고 가정합니다. y-좌표에서 차이를 x-좌표에서 차이로 나눔으로써, 우리는 직선의 기울기를 얻을 수 있습니다:

m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {8-2}{13-1}}={\frac {6}{12}}={\frac {1}{2}}

.

기울기가 양수이므로, 직선의 방향은 증가하는 것입니다. |m|<1이므로, 경사가 매우 가파르지는 않습니다 (경사 <45°).

또 다른 예제로서, 점 (4, 15) 및 (3, 21)을 통과하는 직선을 생각해 보십시오. 그런-다음, 직선의 기울기는 다음입니다:

m={\frac {21-15}{3-4}}={\frac {6}{-1}}=-6.

기울기가 음수이므로, 직선의 방향은 감소하는 것입니다. |m|>1이므로, 이 감소는 상당히 가파릅니다 (감소 >45°).

Algebra and geometry

만약 y가 x의 선형 함수(linear function:일차 함수)이면, x의 계수는 함수를 그림으로써 생성된 직선의 기울기입니다. 따라서, 만약 선의 방정식이 다음과 같은 형식으로 주어지면

y=mx+b

여기서 m은 기울기입니다. 직선 방정식의 이 형태는 기울기-절편 형식(slope-intercept form)이라고 불리는데, 왜냐하면 b는 직선의 y-절편(y-intercept), 즉, 직선이 y-축과 교차하는 y-좌표로 해석될 수 있기 때문입니다.

만약 직선의 기울기 m과 직선 위의 점 (x₁,y₁)이 모두 알려져 있으면, 직선의 방정식은 점-기울기 공식(point-slope formula)을 사용하여 구할 수 있습니다:

y-y_{1}=m(x-x_{1}).

선형 방정식(linear equation)

ax+by+c=0

에 의해 정의된 직선의 기울기는

-{\frac {a}{b}}

.

두 직선이 평행(parallel)한 것과 그들이 같은 직선 (일치)이 아니고 그들 기울기가 같거나 또는 그들 둘 다가 수직 직선이고 따라서 둘 다 기울기를 정의할 수 없는 것은 필요충분 조건입니다. 만약 기울기의 곱이 –1 또는 하나의 기울기가 0 (수평 직선)이고 다른 하나가 정의되지 않은 기울기 (수직 직선)이면 두 직선은 수직(perpendicular)입니다.

직선이 x-축과 만드는 −90° and 90° 사이의 각도 θ는 다음으로 기울기 m과 관련됩니다:

m=\tan(\theta )

및

\theta =\arctan(m)

(이것은 탄젠트의 역함수입니다; 역 삼각함수(inverse trigonometric functions)를 참조하십시오).

Examples

예를 들어, 점 (2,8) 및 (3,20)을 통과하는 직선을 생각해 보십시오. 이 직선은 다음의 기울기, $m$ 을 가집니다:

{\frac {(20-8)}{(3-2)}}\;=12.

우리는 그런-다음 점-직선 형식에서 직선의 방정식을 쓸 수 있습니다:

y-8=12(x-2)=12x-24

또는:

y=12x-16.

이 직선이 $x$ -축과 만드는 −90°와 90° 사이의 각도 θ는 다음입니다:

\theta =\arctan(12)\approx 85.2^{\circ }\,.

두 직선: $y = -3 x + 1$ 및 $y = -3 x - 2$ 을 생각해 보십시오. 직선 둘 다는 기울기 $m = -3$ 을 가집니다. 그것들은 같은 직선이 아닙니다. 따라서 그들은 평행한 직선입니다.

두 직선: $y = -3 x + 1$ 및 $y = x / 3 - 2$ 을 생각해 보십시오. 첫 번째 직선의 기울기는 $m 1 = -3$ 입니다. 두 번째 직선의 기울기는 $m 2 = 1 / 3$ 입니다. 이들 두 기울기의 곱은 −1입니다. 따라서 이들 두 직선은 수직입니다.

Statistics

통계적 수학(statistical mathematics)에서, 선형, 숫자, 및 이상점이 없는 주어진 데이터의 분포에 가장 적합한 직선의 그래디언트는 보통 $m={\frac {rs_{y}}{s_{x}}}$ 로 쓰이며, 여기서 $m$ 은 가장-적합한 직선 ( $y=mx+c$ )에 대해 통계적 그래디언트로 정의되고, $r$ 은 피어슨의 상관 계수(Pearson's correlation coefficient), $s_{y}$ 는 y-값의 표준 편차(standard deviation)이고 $s_{x}$ 는 x-값의 표준 편차(standard deviation)입니다. 이것은 공분산(covariances)의 비율로 역시 쓸 수 있습니다:^[5]

m={\frac {\operatorname {cov} (Y,X)}{\operatorname {cov} (X,X)}}

Slope of a road or railway

Main articles: Grade (slope), Grade separation

도로(road) 또는 철도(railroad)의 가파름을 설명하는 두 가지 공통적인 방법이 있습니다. 하나는 (도에서) 0°와 90° 사이의 각도이고 다른 하나는 백분율에서 기울기에 의한 것입니다. 가파른 정도 철도(steep grade railway) 및 랙 철도(rack railway)를 역시 참조하십시오.

백분율로 주어진 기울기를 도에서 각도로 및 그 반대로 변환하는 공식은 다음과 같습니다:

{\text{angle}}=\arctan \left({\frac {\text{slope}}{100\%}}\right)

, (이것은 탄젠트의 역함수입니다; 삼각법(trigonometry)을 참조하십시오)

그리고

{\mbox{slope}}=100\%\cdot \tan({\mbox{angle}}),

여기서 각도(angle)는 도(degree)이고 삼각 함수는 도에서 작용합니다. 예를 들어, 100% 또는 1000‰의 기울기는 45°의 각도입니다.

세 번째 방법은 말하자면 10, 20, 50 또는 100 수평 단위, 예를 들어, 1:10, 1:20, 1:50 또는 1:100 (또는 "10에서 1", "20에서 1" 등.)에서 상승의 하나의 단위를 제공하는 것입니다. 1:10은 1:20보다 가파름에 주목하십시오. 예를 들어, 20%의 가파름은 1:5 또는 각도 11,3°의 경사를 의미합니다.

도로와 철도는 경도 기울기와 교차 기울기 둘 다를 가집니다.

Slope warning sign in the Netherlands
Slope warning sign in Poland
A 1371-meter distance of a railroad with a 20‰ slope. Czech Republic
Steam-age railway gradient post indicating a slope in both directions at Meols railway station, United Kingdom

Calculus

At each point, the derivative is the slope of a line that is tangent to the curve at that point. Note: the derivative at the point A is positive where green and dash-dot, negative where red and dashed, and zero where black and solid.

기울기의 개념은 미분학(differential calculus)의 중심입니다. 비-선형 함수에 대해, 변화율은 곡선을 따라 변합니다. 한 점에서 함수의 도함수(derivative)는 그 점에서 곡선에 접하는(tangent) 직선의 기울기이고, 따라서 해당 점에서 함수의 변화율과 같습니다.

만약 Δx와 Δy를 곡선 위의 두 점 사이의 (각각, x와 y 축을 따라) 거리로 놓으면, 위의 정의에 의해 주어지는 기울기,

m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}

,

는 곡선에 대한 가름선(secant line:할선)의 기울기입니다. 직선에 대해, 임의의 두 점 사이의 가름선은 그 자체로 직선이지만, 이것은 곡선의 임의의 다른 유형에 대해 해당되지는 않습니다.

예를 들어, (0,0)과 (3,9)에서 y = x²를 교차하는 가름선의 기울기는 3입니다. (x = 3⁄2에서 접선의 기울기는 역시 3입니다—평균값 정리(mean value theorem)의 하나의 결과입니다.)

두 점을 점점 더 가깝게 이동시킴으로써 Δy와 Δx가 감소하면, 가름선은 곡선에 대한 접선에 점점 더 가까워지는데, 이와 같이 했을 때 가름선의 기울기는 접선의 기울기에 접근합니다. 미분학(differential calculus)을 사용하여, 우리는 극한(limit), 또는 Δy 및 Δx가 영(zero)에 가까워질 때 Δy/Δx가 접근하는 값을 결정할 수 있습니다; 이 극한은 접선의 정확한 기울기에 이릅니다. 만약 y가 x에 종속 변수이면, 오직 Δx가 영에 접근할 때 극한을 구하는 것으로 충분합니다. 따라서, 접선의 기울기는 Δx가 영으로 접근할 때 Δy/Δx의 극한, 또는 dy/dx입니다. 우리는 이 극한을 도함수(derivative)라고 부릅니다.

{\frac {dy}{dx}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}

함수 위의 한 점에서 그의 값은 해당 점에서 접선의 기울기를 제공합니다. 예를 들어, y=x²에 대해, 이 함수 위의 한 점은 (-2,4)입니다. 이 함수의 도함수는 ^dy/_dx=2x입니다. 그래서 (-2,4)에서 y에 대한 접선의 기울기는 2·(-2) = -4입니다. 이 접선의 방정식은 y-4=(-4)(x-(-2)) 또는 y = -4x - 4입니다.

References

^ Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). "Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Gradient" (PDF). Addison-Wesley. p. 348. Archived from the original (PDF) on 29 October 2013. Retrieved 1 September 2013. {{cite web}}: Unknown parameter |deadurl= ignored (|url-status= suggested) (help)
^ O'Brien, M. (1844), A Treatise on Plane Co-Ordinate Geometry or the Application of the Method of Co-Ordinates in the Solution of Problems in Plane Geometry, Cambridge, England: Deightons
^ Todhunter, I. (1888), Treatise on Plane Co-Ordinate Geometry as Applied to the Straight Line and Conic Sections, London: Macmillan
^ Weisstein, Eric W. "Slope". MathWorld--A Wolfram Web Resource. Archived from the original on 6 December 2016. Retrieved 30 October 2016.
^ Further Mathematics Units 3&4 VCE (Revised). Cambridge Senior Mathematics. 2016. ISBN 9781316616222 – via Physical Copy.

External links

"Slope of a Line (Coordinate Geometry)". Math Open Reference. 2009. Retrieved 30 October 2016. interactive

[1] Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). "Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Gradient" (PDF). Addison-Wesley. p. 348. Archived from the original (PDF) on 29 October 2013. Retrieved 1 September 2013. {{cite web}}: Unknown parameter |deadurl= ignored (|url-status= suggested) (help)

[2] O'Brien, M. (1844), A Treatise on Plane Co-Ordinate Geometry or the Application of the Method of Co-Ordinates in the Solution of Problems in Plane Geometry, Cambridge, England: Deightons

[3] Todhunter, I. (1888), Treatise on Plane Co-Ordinate Geometry as Applied to the Straight Line and Conic Sections, London: Macmillan

[4] Weisstein, Eric W. "Slope". MathWorld--A Wolfram Web Resource. Archived from the original on 6 December 2016. Retrieved 30 October 2016.

[5] Further Mathematics Units 3&4 VCE (Revised). Cambridge Senior Mathematics. 2016. ISBN 9781316616222 – via Physical Copy.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Definition

Examples

Algebra and geometry

Examples

Statistics

Slope of a road or railway

Calculus

See also

References

External links