Linear equation

수학(mathematics)에서, 선형 방정식(linear equation:일차 방정식)은 다음 형식으로 표현될 수 있는 방정식(equation)입니다:

a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}+b=0,

여기서 $x_{1},\ldots ,x_{n}$ 는 변수(variables) (또는 미지수(unknowns))이고, $b,a_{1},\ldots ,a_{n}$ 는 계수(coefficient)이며, 계수는 종종 실수(real number)입니다. 계수는 방정식의 매개변수(parameter)로 여길 수 있고, 변수의 어떤 것도 포함하지 않게 제공되는, 임의의 표현(expressions)일 수 있습니다. 의미있는 방정식을 산출하기 위해, 계수 $a_{1},\ldots ,a_{n}$ 가 모두 영이 되어서는 안됩니다.

대안적으로, 선형 방정식은, 계수가 취해지는, 일부 필드(field)에 걸쳐 선형 다항식(linear polynomial)을 영과 같게 함으로써 얻어질 수 있습니다.

그러한 방정식의 해(solutions)는, 미지수에 대해 대체될 때, 상등을 참으로 만드는 값입니다.

단지 하나의 변수의 경우에 대해, ( $a_{1}\neq 0$ 으로 제공되면) 정확히 하나의 해가 있습니다. 종종, 용어 선형 방정식은, 변수가 미지수로 현명하게 불리는, 이 특별한 경우를 암시적으로 참조합니다.

두 변수의 경우에서, 각 해는 유클리드 평면(Euclidean plane)의 점의 데카르트 좌표(Cartesian coordinates:직교 좌표)로 해석될 수 있습니다. 선형 방정식의 해는 유클리드 평면에서 직선(line)을 형성하고, 반대로 모든 각 직선은 두 변수에서 선형 방정식의 모든 해의 집합으로 보일 수 있습니다. 이것이 방정식의 이 유형을 설명하는 것에 대해 용어 선형의 기원입니다. 보다 일반적으로, $n$ 변수에서 선형 방정식의 해는 차원 $n$ 의 유클리드 공간(Euclidean space)에서 초평면(hyperplane) (차원 $n - 1$ 의 부분공간)을 형성합니다.

선형 방정식은 모든 수학과, 부분적으로 비-선형 시스템(non-linear system)은 종종 선형 방정식으로 잘 근사화되기 때문에, 물리학(physics) 및 공학(engineering) 안의 그들의 응용에서 자주 발생합니다.

이 기사에서는, 실수(real number) 해를 연구하는 것에 대해, 실수의 필드로부터 계수를 가진 하나의 방정식의 경우를 고려합니다. 내용의 모든 것은 복소수(complex) 해, 보다 일반적으로, 임의의 필드(field)에서 계수와 해를 갖는 선형 방정식에 대해 적용됩니다. 여러 개의 연립 선형 방정식에 대해, 선형 방정식의 시스템(system of linear equations)을 참조하십시오.

One variable

자주 용어 선형 방정식은 단지 하나의 변수의 경우를 암시적으로 참조합니다.

이 경우에서, 방정식은 다음 형태로 놓일 수 있습니다:

ax+b=0,

그리고 그것은 유일한 해를 가집니다:

x=-{\frac {b}{a}}

일반적인 경우에서 $a \neq 0$ 입니다. 이 경우에서, 이름 미지수는 변수 $x$ 로 현명하게 제공됩니다.

만약 $a = 0$ 이면, 두 경우가 있습니다. 그 중 하나로써, $b$ 가 역시 0과 같으면, 모든 각 숫자가 해입니다. 그렇지 않으면 $b \neq 0$ 이고, 해는 존재하지 않습니다. 후자의 경우에서, 방정식은 불일치(inconsistent:불능)라고 말합니다.

Two variables

두 변수의 경우에서, 임의의 선형 방정식은 다음 형식으로 놓을 수 있습니다:

ax+by+c=0,

여기서 변수는 $x$ 와 $y$ 이고, 계수는 $a$ , $b$ 및 $c$ 입니다.

동등한 방정식 (즉, 정확하게 같은 해를 갖는 방정식)은 $A = a, B = b$ , 및 $C = - c$ 에 대해 다음과 같습니다:

Ax+By=C

.

이들 동등한 변형은 때때로, 일반 형식(general form:일반형) 또는 표준 형식(standard form:표준형)과 같은, 일반적인 이름이 부여됩니다.^[1]

선형 방정식에 대해 다른 형식이 있습니다 (아래를 참조하십시오). 이것 모두는 방정식의 두 구성원에 같은 양을 더하거나, 두 구성원에 같은 비-영 상수를 곱하는 것과 같은, 간단한 대수적 조작과 함께 표준 형식으로 변환될 수 있습니다.

Linear function

만약 $b \neq 0$ 이면, 방정식

ax+by+c=0

은 $x$ 의 모든 각 값에 대해 하나의 변수 $y$ 에서 선형 방정식입니다. 그것은 그러므로 $y$ 에 대해 유일한 해를 가지며, 다음으로 제공됩니다:

y=-{\frac {a}{b}}x-{\frac {c}{b}}.

이것은 하나의 함수(function)를 정의합니다. 이 방정식의 그래프는 기울기(slope) $-{\frac {a}{b}}$ 와 $y$ -절편( $y$ -intercept) $-{\frac {c}{b}}$ 을 갖는 직선(line)입니다. 그의 그래프가 직선인 함수는 미적분(calculus)의 문맥에서 일반적으로 선형 함수(linear functions)라고 불립니다. 어쨌든, 선형 대수(linear algebra)에서, 선형 함수(linear function)는 하나의 합을 더해지는 숫자의 이미지의 합으로 매핑하는 함수입니다. 그래서, 이 정의에 대해, 위의 함수는 $c = 0$ 일 때, 즉 직선이 원점을 통과할 때, 오직 선형입니다. 혼동을 피하기 위해, 그의 그래프가 임의의 직선인 함수는 종종 아핀 함수(affine functions)라고 불립니다.

Geometric interpretation

선형 방정식

ax+by+c=0

의 각 해 $(x, y)$ 는 유클리드 평면(Euclidean plane)에서 점의 데카르트 좌표(Cartesian coordinates)로 보일 수 있습니다. 이 해석과 함께, 방정식의 모든 해는, $a$ 와 $b$ 가 동시에 영이 아닌 것으로 제공되면, 하나의 직선(line)을 형성합니다. 반대로, 모든 각 직선은 선형 방정식의 모든 해의 집합입니다.

문구 "선형 방정식"은 직선과 방정식 사이의 이 대응에서 그의 기원을 가집니다: 두 변수에서 선형 방정식은 그의 해가 직선을 형성하는 방정식입니다.

만약 $b \neq 0$ 이면, 그 직선은 위 섹션에서 정의되었던 $x$ 의 함수의 그래프(graph of the function)입니다. 만약 $b = 0$ 이면, 그 직선은, $x$ 의 함수의 그래프가 아닌, 방정식 $x=-{\frac {c}{a}}$ 의 수직 직선입니다 (즉, $y$ -축에 평행한 직선입니다).

비슷하게, 만약 $a \neq 0$ 이면, 그 직선은 $y$ 의 함수의 그래프이고, 만약 $a = 0$ 이면, 방정식 $y=-{\frac {c}{b}}$ 의 수평 직선을 나타냅니다.

Equation of a line

하나의 직선을 정의하는 다양한 방법이 있습니다. 다음 하위 섹션에서, 직선의 선형 방정식이 각 경우에서 제공됩니다.

Slope–intercept form

비-수직 직선은 기울기(slope) $m$ 과 $y$ -절편( $y$ -intercept) $y 0$ ( $y$ 축을 가로지르는 것의 $y$ 좌표)에 의해 정의될 수 있습니다. 이 경우에서 그의 선형 방정식은 다음으로 쓸 수 있습니다:

y=mx+y_{0}.

만약, 게다가, 그 직선이 수평이 아니면, 기울기와 $x$ -절편 $x 0$ 에 의해 정의될 수 있습니다. 이 경우에서, 그의 방정식은 다음으로 쓸 수 있습니다:

y=m(x-x_{0}),

또는, 동등하게,

y=mx-mx_{0}.

이들 형식은 비-수직 직선을 함수의 그래프(graph of a function)로 여겨지는 습관에 의존합니다.^[2] 다음 방정식으로 주어진 직선에 대해,

ax+by+c=0,

이들 형식은 다음 관계로부터 쉽게 추론될 수 있습니다:

{\begin{aligned}m&=-{\frac {a}{b}},\\x_{0}&=-{\frac {c}{a}},\\y_{0}&=-{\frac {c}{b}}.\end{aligned}}

Point–slope form

비-수직 직선은 기울기(slope) $m$ 과 직선의 임의의 점의 좌표 $x_{1},y_{1}$ 에 의해 정의될 수 있습니다. 이 경우에서, 직선의 선형 방정식은 다음입니다:

y=y_{1}+m(x-x_{1}),

또는

y=mx+y_{1}-mx_{1}.

이 방정식은 다음으로 역시 쓸 수 있습니다:

y-y_{1}=m(x-x_{1})

이 식은 직선의 기울기는 임의의 두 점의 좌표로부터 계산될 수 있음을 강조하기 위함입니다.

Intercept form

축에 대해 평행하지 않고 원점을 통과하지 않는 직선은 축을 다른 두 점에서 자릅니다. 이들 두 점의 절편 값(intercept values) $x 0$ 및 $y 0$ 은 비-영이고, 직선의 방정식은 다음입니다:^[3]

{\frac {x}{x_{0}}}+{\frac {y}{y_{0}}}=1.

(이 방정식으로 정의된 직선이 절편 값으로 $x 0$ 및 $y 0$ 을 가지는 것은 쉽게 확인될 수 있습니다).

Two-point form

두 개의 다른 점 $(x 1, y 1)$ 및 $(x 2, y 2)$ 가 주어지면, 그들을 통과하는 정확히 하나의 직선이 있습니다. 직선의 선형 방정식을 쓰기 위한 여러 가지 방법이 있습니다.

만약 $x 1 \neq x 2$ 이면, 직선의 기울기는 ${\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ 입니다. 따라서, 하나의 점-기울기 형식은 다음입니다:^[3]

y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1}).

분모를 제거(clearing denominators)함으로써, 다음 방정식을 얻습니다:

(x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0,

이것은 $x 1 = x 2$ 일 때 역시 유효합니다 (이것을 확인하기 위해, 주어진 두 점이 방정식을 만족하는지 확인하는 것으로 충분합니다).

이 형식은 주어진 두 점에서 대칭이 아니지만, 대칭 형식은 상수 항을 다시-그룹화함으로써 구할 수 있습니다:

(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0

(두 점을 교환하면 방정식의 왼쪽 변의 부호가 바뀝니다).

Determinant form

직선 방정식의 두-점 형식은 행렬식(determinant)의 관점에서 간단하게 표현될 수 있습니다. 그것에 대해 두 가지 공통적인 방법이 있습니다.

방정식 $(x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{j})=0$ 은 다음 방정식에서 행렬식의 전개의 결과입니다:

{\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\end{vmatrix}}=0.

방정식 $(y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0$ 은 다음 방정식에서 첫 번째 행 행렬식에 관하여 전개하여 얻어질 수 있습니다:

{\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}=0.

이 형식은 매우 단순하고 기억하기 쉬운(mnemonic) 것 외에도, 이 형식은 차원 $n - 1$ 의 공간에서 $n$ 개의 점을 통과하는 초평면(hyperplane)의 보다 일반적인 방정식의 특별한 경우라는 이점을 가집니다. 이들 방정식은 투영 공간(projective space)에서 점의 선형 의존(linear dependence)의 조건에 의존합니다.

More than two variables

두 개보다 많은 변수를 가진 선형 방정식은 다음 형식을 가지는 것으로 항상 가정될 수 있습니다:

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b=0.

종종 $a 0$ 로 나타내는, 계수 $b$ 는 상수 항이라고 불리는데, 때때로 절대 항(absolute term)^{[citation needed]}이라고 불립니다. 문맥에 따라, 용어 상수는 $i > 0$ 와 함께 $a i$ 에 대해 예약될 수 있습니다.

$n=3$ 변수를 다룰 때, 아래첨자로 쓰인 변수 대신에 $x,\;y$ 및 $z$ 를 사용하는 것이 공통적입니다.

그러한 방정식의 해는 대응하는 변수에 대한 튜플의 각 원소를 대체하여 방정식을 참 상등으로 변환하는 $n$ -튜플입니다.

방정식이 의미가 있으려면, 적어도 하나의 변수의 계수가 반드시 비-영이어야 합니다. 실제로, 만약 모든 각 변수가 영 계수를 가지면, 하나의 변수에 대해 언급된 것처럼, 방정식은 해를 가지지 않는 것으로 ( $b \neq 0$ 에 대해) 불일치, 또는 모든 $n$ -튜플이 해가 되는 둘 중에 하나입니다.

$n$ 변수에서 선형 방정식의 해인 $n$ -튜플은 $n$ -dimensional 유클리드 공간(Euclidean space) (또는 계수가 복소수 또는 임의의 필드에 속하면 아핀 공간(affine space))의 $(n - 1)$ -차원 초평면(hyperplane)의 점의 데카르트 좌표(Cartesian coordinates)입니다. 세 변수의 경우에서, 이 초평면은 평면(plane)입니다.

만약 선형 방정식이 $a j \neq 0$ 와 함께 제공되면, 방정식은 $x j$ 에 대해 풀어질 수 있고, 다음을 산출합니다:

x_{j}=-{\frac {b}{a_{j}}}-\sum _{i\in \{1,\ldots ,n\},i\neq j}{\frac {a_{i}}{a_{j}}}x_{i}.

만약 계수가 실수이면, 이것은 $n$ 실수 변수의 실수-값(real-valued) 함수(function)를 정의합니다.

Notes

^ Barnett, Ziegler & Byleen 2008, pg. 15
^ Larson & Hostetler 2007, p. 25
^ ^a ^b Wilson & Tracey 1925, pp. 52-53

References

Barnett, R.A.; Ziegler, M.R.; Byleen, K.E. (2008), College Mathematics for Business, Economics, Life Sciences and the Social Sciences (11th ed.), Upper Saddle River, N.J.: Pearson, ISBN 0-13-157225-3
Larson, Ron; Hostetler, Robert (2007), Precalculus:A Concise Course, Houghton Mifflin, ISBN 978-0-618-62719-6
Wilson, W.A.; Tracey, J.I. (1925), Analytic Geometry (revised ed.), D.C. Heath

External links

"Linear equation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] Barnett, Ziegler & Byleen 2008, pg. 15

[2] Larson & Hostetler 2007, p. 25

[WilsonTracey-3] Wilson & Tracey 1925, pp. 52-53

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