Small-angle approximation

Approximately equal behavior of some (trigonometric) functions for $x \to 0$

작은-각도 근사(small-angle approximations)는 주요 삼각 함수(trigonometric functions)의 값을 근사하기 위해 사용될 수 있으며, 문제에서 각도가 작고 라디안(radian)에서 측정된 것이라는 조건 아래에서 제공됩니다.

{\begin{aligned}\sin \theta &\approx \theta \\\cos \theta &\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx 1\\\tan \theta &\approx \theta \end{aligned}}

이들 근사는 역학(mechanics), 전자기학(electromagnetism), 광학(optics), 지도학(cartography), 천문학(astronomy) 및 컴퓨터 과학(computer science)을 포함하는 물리학(physics)과 공학(engineering)의 가지에서 광범위한 사용의 범위를 가집니다.^[1]^[2] 그 이유 중 하나는 절대 정밀도로 답해야 할 필요가 없는 미분 방정식(differential equation)을 크게 단순화할 수 있기 때문입니다.

작은-각도 근사의 타당성을 시연하기 위한 많은 방법이 있습니다. 가장 직접적인 방법은 삼각 함수의 각각에 대해 매클로린 급수(Maclaurin series)를 자르는 것입니다. 근사의 정도(order of the approximation)에 따라, $\textstyle \cos \theta$ 는 $1$ 또는 $\textstyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}$ 로 근사됩니다.^[3]

Justifications

Graphic

근사치의 정확도는 아래 그림 1과 그림 2에서 보일 수 있습니다. 영에 접근하는 각도의 측정으로, 근사와 원래 함수 사이의 차이가 역시 0에 가까워집니다.

Figure 1. A comparison of the basic odd trigonometric functions to $θ$ . It is seen that as the angle approaches 0 the approximations become better.
Figure 2. A comparison of $cos θ$ to $1 - θ 2 / 2$ . It is seen that as the angle approaches 0 the approximation becomes better.

Geometric

오른쪽에 빨간 부분, $d$ 는 빗변의 길이, $H$ 와 인접변의 길이, $A$ 사이의 차이입니다. 보이는 것처럼, $H$ 와 $A$ 는 거의 같은 길이이며, $cos θ$ 가 1에 접근하고 $θ 2 / 2$ 가 빨간 부분을 깎아 없애는 데 도움이 됨을 의미합니다.

\cos {\theta }\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}

반대편 다리, $O$ 는 근사적으로 파란색 호의 길이, $s$ 와 같습니다. 기하학으로부터, $s = Aθ$ , 삼각법으로부터, $sin θ = O / H$ 와 $tan θ = O / A$ , 및 그림으로부터, $O \approx s$ 와 $H \approx A$ 사실을 모우면 다음으로 이어집니다:

\sin \theta ={\frac {O}{H}}\approx {\frac {O}{A}}=\tan \theta ={\frac {O}{A}}\approx {\frac {s}{A}}={\frac {A\theta }{A}}=\theta .

단순화하면 다음을 남깁니다:

\sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta .

Calculus

조임 정리(squeeze theorem)를 사용하여,^[4] 우리는 다음임을 입증할 수 있습니다:

\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}=1,

이것은 θ의 작은 값에 대해 근사 $\sin(\theta )\approx \theta$ 의 공식적인 다시-말한 것입니다.

조임 정리의 보다 꼼꼼한 응용은 다음임을 입증합니다:

\lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan(\theta )}{\theta }}=1,

이것으로부터 우리는 θ의 작은 값에 대해 $\tan(\theta )\approx \theta$ 임을 결론짓습니다.

마지막으로, 로피탈의 규칙(L'Hôpital's rule)은 다음임을 말합니다:

\lim _{\theta \to 0}{\frac {\cos(\theta )-1}{\theta ^{2}}}=\lim _{\theta \to 0}{\frac {-\sin(\theta )}{2\theta }}=-{\frac {1}{2}},

이것은 θ의 작은 값에 대해 $\cos(\theta )\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}$ 의 다시-정렬한 것입니다. 대안적으로, 우리는 두배 각도 정리(double angle formula) $\cos 2A\equiv 1-2\sin ^{2}A$ 를 사용할 수 있습니다. $\theta =2A$ 를 놓음으로써, 우리는 $\cos \theta =1-2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}$ 임을 얻습니다.

Algebraic

관련 삼각 함수의 맥클로인 전개 (0에 대한 테일러 전개)는 다음입니다:^[5]

{\begin{aligned}\sin \theta &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}\theta ^{2n+1}\\&=\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{7}}{7!}}+\cdots \end{aligned}}

여기서 $θ$ 는 라이안에서 각도입니다. 더 명확한 항으로,

\sin \theta =\theta -{\frac {\theta ^{3}}{6}}+{\frac {\theta ^{5}}{120}}-{\frac {\theta ^{7}}{5040}}+\cdots

두 번째 유효숫자 (삼-차) 항이 첫 번째 항의 세제곱으로 떨어지는 것을 쉽게 알 수 있습니다; 따라서, 심지어 0.01과 같은 그다지-작지-않은 인수에 대해, 두 번째 유효숫자 항의 값은 첫 번째 항의 0.000001, 또는 1/10000입니다. 우리는 따라서 안전하게 근사화할 수 있습니다:

\sin \theta \approx \theta

전개에 의해, 작은 각도의 코사인은 거의 1에 매우 가깝기 때문이고, 탄젠트는 코사인에 의해 나누어진 사인에 의해 주어집니다:

\tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta

,

Error of the approximations

그림 3은 작은 각도 근사의 상대 오차를 보여줍니다. 상대 오차가 1%를 초과하는 각도는 다음과 같습니다:

약 0.176 라디안 (10°)에서 $tan θ \approx θ$ .
약 0.244 라디안 (14°)에서 $sin θ \approx θ$ .
약 0.664 라디안 (38°)에서 $cos θ \approx 1 - θ 2 / 2$ .

Angle sum and difference

각도 덧셈과 뺄셈 정리(angle addition and subtraction theorems)는 각도 중 하나가 작을 때 (β ≈ 0) 다음으로 줄어듭니다:

cos(α + β)	≈ cos(α) - βsin(α),
cos(α - β)	≈ cos(α) + βsin(α),
sin(α + β)	≈ sin(α) + βcos(α),
sin(α - β)	≈ sin(α) - βcos(α).

Specific uses

Astronomy

천문학(astronomy)에서, 먼 물체의 이미지에 의해 끼워진 각의 크기(angular size) 또는 각도는 종종 몇 호초(arcsecond)에 불과하므로, 그것은 작은 각도 근사에 매우 적합합니다.^[6] 선형 크기 ( $D$ )는 간단한 공식에 의해 각의 크기 ( $X$ )와 관찰자로부터의 거리 ( $d$ )와 관련됩니다:

D=X{\frac {d}{206\,265}}

여기서 $X$ 는 호초에서 측정됩니다.

숫자 206265는, $2π$ 에 의해 나누어진, 근사적으로 원(circle)에서 호초의 숫자 (1296000)와 같습니다.

정확한 공식은 다음입니다:

D=d\tan \left(X{\frac {2\pi }{1\,296\,000}}\right)

그리고 위의 근사는 $tan X$ 가 $X$ 로 대체될 때 따릅니다.

Motion of a pendulum

이-차 코사인 근사는 특히 진자(pendulum)의 위치 에너지(potential energy)를 계산하는 것에서 유용하며, 이것은 그런-다음 간접 (에너지) 운동 방정식을 찾기 위해 라그랑주(Lagrangian)와 함께 적용될 수 있습니다.

단순 진자의 주기(period)를 계산할 때, 사인에 대해 작은-각도 근사는 단순 조화 운동(simple harmonic motion)을 설명하는 미분 방정식과 비교함으로써 결과 미분 방정식을 쉽게 풀리는 것을 허용합니다.

Optics

광학에서, 작은-각도 근사는 평행축 근사(paraxial approximation)의 기초를 형성합니다.

Wave Interference

사인과 탄젠트 작은-각도 근사는 이중-슬릿 실험(double-slit experiment) 또는 회절 격자(diffraction grating)와 관련하여 방정식, 예를 들어, '프린지 간격' = '파장' × '슬릿에서 화면까지의 거리' ÷ '슬릿 분리'를 단순화하기 위해 사용됩니다.^[7]

Structural mechanics

작은-각도 근사는 구조 역학, 특히 안정성 및 분기 해석 (주로 좌굴(buckling)을 겪기 위해 준비된 축-방향-하중 기둥)에서 나타납니다. 이것은 실제 동작에 대한 정확성과 통찰력이 희생되지만 상당한 단순화로 이어집니다.

Piloting

항공 항법(air navigation)에 사용되는 60 중에 1 규칙(1 in 60 rule)은 작은-각도 근사, 더하기 일 라디안이 근사적으로 60 도라는 사실에 근거합니다.

Interpolation

작은 각도를 포함하는 덧셈과 뺄셈에 대해 공식은 삼각 테이블(trigonometric table) 값 사이의 보간(interpolating)에 사용될 수 있습니다:

예제: sin(0.755)

sin(0.755)	= sin(0.75 + 0.005)
	≈ sin(0.75) + (0.005)cos(0.75)
	≈ (0.6816) + (0.005)(0.7317)	[삼각 테이블로부터 얻어진 sin(0.75) 및 cos(0.75) 값]
	≈ 0.6853.

References

^ Holbrow, Charles H.; et al. (2010), Modern Introductory Physics (2nd ed.), Springer Science & Business Media, pp. 30–32, ISBN 0387790799.
^ Plesha, Michael; et al. (2012), Engineering Mechanics: Statics and Dynamics (2nd ed.), McGraw-Hill Higher Education, p. 12, ISBN 0077570618.
^ "Small-Angle Approximation | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org. Retrieved 2020-07-22.
^ Larson, Ron; et al. (2006), Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions (4th ed.), Cengage Learning, p. 85, ISBN 0618606254.
^ Boas, Mary L. (2006). Mathematical Methods in the Physical Sciences. Wiley. p. 26. ISBN 978-0-471-19826-0.
^ Green, Robin M. (1985), Spherical Astronomy, Cambridge University Press, p. 19, ISBN 0521317797.
^ http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/phyopt/slits.html

[Holbrow2010-1] Holbrow, Charles H.; et al. (2010), Modern Introductory Physics (2nd ed.), Springer Science & Business Media, pp. 30–32, ISBN 0387790799.

[Plesha2012-2] Plesha, Michael; et al. (2012), Engineering Mechanics: Statics and Dynamics (2nd ed.), McGraw-Hill Higher Education, p. 12, ISBN 0077570618.

[3] "Small-Angle Approximation | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org. Retrieved 2020-07-22.

[Larson2006-4] Larson, Ron; et al. (2006), Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions (4th ed.), Cengage Learning, p. 85, ISBN 0618606254.

[5] Boas, Mary L. (2006). Mathematical Methods in the Physical Sciences. Wiley. p. 26. ISBN 978-0-471-19826-0.

[Green1985-6] Green, Robin M. (1985), Spherical Astronomy, Cambridge University Press, p. 19, ISBN 0521317797.

[7] ttp://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/phyopt/slits.html

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