Spherical coordinate system

수학(mathematics)에서, 구형 좌표 시스템(spherical coordinate system)은, 점의 위치는 세 숫자: 고정된 원점으로부터 해당 점의 방사형 거리(radial distance), 고정된 천정(zenith) 방향으로부터 측정된 극 각도(polar angle), 및 원점을 통과하고 천정에 직각인 참조 평면 위의, 해당 평면 위의 고정된 참조 방향으로부터 측정된, 직각 투영의 방위각(azimuth angle)에 의해 지정되는 삼-차원 공간에 대해 좌표 시스템(coordinate system)입니다. 그것은 극좌표 시스템(polar coordinate system)의 삼-차원 버전으로 볼 수 있습니다.

방사형 거리는 역시 반지름(radius) 또는 방사형 좌표(radial coordinate)라고 불립니다. 극 각도는 공위도(colatitude), 천정 각도(zenith angle), 법선 각도(normal angle), 또는 경사 각도(inclination angle)라고 불릴 수 있습니다.

기호의 사용과 좌표의 순서는 출처와 분야에 따라 다릅니다. 이 가사는 물리학에서 빈번히 발생하는 ISO 관례를 사용합니다:^[1] $(r,\theta ,\varphi )$ 는 방사형 거리, 극 각도, 및 방위 각도를 제공합니다. 반면에, 많은 수학 교과서에서 $(\rho ,\theta ,\varphi )$ 또는 $(r,\theta ,\varphi )$ 는 방사형 거리, 방위 각도, 및 극 각도를 제공하며, θ와 φ의 의미를 전환합니다. z-축으로부터 반지름에 대해 r과 같은 다른 관례도 사용되므로, 기호의 의미를 확인하려면 많은 주의를 기울여야 합니다.

지리적 좌표 시스템(geographical coordinate system)의 관례에 따라, 위치는 위도, 경도, 및 높이 (고도)에 의해 측정됩니다. 서로 다른 토대 평면(fundamental planes)을 기반으로 하고 다양한 좌표에 대해 서로 다른 용어를 기반으로 많은 다른 천체 좌표 시스템이 있습니다. 수학에 사용된 구형 좌표 시스템은 통상적으로 도(degrees)가 아닌 라디안(radian)을 사용되고 수평 좌표 시스템(horizontal coordinate system)과 같이 북쪽 (0°)에서 동쪽 (+90°)까지 시계 방향이 아닌 $x$ -축에서 $y$ -축까지 반시계 방향으로 방위 각도를 측정합니다.^[2] 극 각도는 종종 영의 앙각이 수평선에 있도록 참조 평면에서 양의 Z축 방향으로 측정된 앙각(elevation angle)에 의해 대체됩니다; 내림각(depression angle)은 앙각의 음수입니다.

구형 좌표 시스템은 이-차원 극 좌표 시스템을 일반화합니다. 그것은 역시 고-차원 공간으로 확장될 수 있고, 그런-다음 초구형 좌표 시스템(hyperspherical coordinate system)으로 참조됩니다.

Definition

구형 좌표 시스템을 정의하기 위해, 두 개의 직교 방향, 천정(zenith)과 방위 참조(azimuth reference), 및 공간에서 원점(origin)을 선택해야 합니다. 이들 선택 사항은 원점을 포함하고 천정에 수직인 참조 평면을 결정합니다. 점 $P$ 의 구형 좌표는 그런-다음 다음과 같이 정의됩니다:

반지름(radius) 또는 방사형 거리(radial distance)는 원점 $O$ 에서 $P$ 로의 유클리드 거리(Euclidean distance)입니다.
방위(azimuth, 또는 방위 각도(azimuthal angle))는 방위 참조 방향에서 참조 평면 위의 선분 $OP$ 의 직교 투영까지 측정된 부호화된 각도입니다.
경사(inclination 또는 극 각도(polar angle))는 천정 방향과 선분 $OP$ 사이의 각도입니다.

방위각의 부호는 천정을 중심으로 회전하는 양의(positive) 감각이 무엇인지 선택함으로써 결정됩니다. 이 선택은 임의적이고, 좌표 시스템의 정의의 일부입니다.

앙각(elevation angle)은 참조 평면과 선분 $OP$ 사이의 부호화된 각도이며, 여기서 양의 각도는 천정을 향합니다. 동등하게, 그것은 90도 ( $π$ /2 라디안)에서 경사 각도를 뺀 것입니다.

만약 경사가 영도 또는 180 도 ( $π$ 라디안)이면, 방위각은 임의적입니다. 만약 반지름이 영이면, 방위각과 경사는 모두 임의적입니다.

선형 대수(linear algebra)에서, 원점 $O$ 에서 점 $P$ 까지의 벡터는 종종 $P$ 의 위치 벡터(position vector)라고 불립니다.

Conventions

세 개의 좌표를 표현하는 것과, 그것들의 쓰이는 순서에 대한 몇 가지 다른 관례가 있습니다. 방사형 거리, 경사 (또는 고도), 및 방위를 각각 나타내기 위해 $(r,\theta ,\varphi )$ 의 사용은 물리학에서 공통적인 관행이고, ISO 표준 80000-2:2019와 이전 ISO 31-11 (1992)에서 지정됩니다.

어쨌든, 일부 저자 (수학자 포함)는 방사형 거리에 대해 ρ, 경사 (또는 고도)에 대해 φ, 방위각에 대해 θ, 및 z-축으로부터의 반지름에 대해 r을 사용하며, 이는 "보통의 극 좌표 표기법의 논리적 확장을 제공합니다".^[3] 일부 저자는 경사 (또는 고도) 앞에 방위각을 나열할 수도 있습니다. 이들 선택 항목의 일부 조합은 왼쪽-손(left-handed) 좌표 시스템을 생성합니다. 표준 관례 $(r,\theta ,\varphi )$ 은 이-차원 극 좌표(polar coordinates)와 삼-차원 원통 좌표(cylindrical coordinates)에 대한 보통의 표기법과 충돌하며, 여기서 $θ$ 는 종종 방위각에 대해 사용됩니다.^[3]

각도는 전형적으로 도 (°) 또는 라디안 (rad) 단위로 측정되며, 여기서 360° = 2 $π$ rad입니다. 도는 지리학, 천문학, 및 공학에서 가장 공통적이고, 반면에 라디안은 수학과 이론적 물리학에서 공통적으로 사용됩니다. 방사형 거리에 대해 단위는 보통 상황에 따라 결정됩니다.

그 시스템이 물리적인 삼-공간에 대해 사용될 때, 그 평면의 천정 면에서 보았을 때 참조 평면 위에 참조 방향에서 반-시계 방향으로 측정한 방위각은 양의 부호를 사용하는 것이 관례적입니다. 이 관례는, 특히, "천정" 방향이 북쪽이고 양의 방위각 (경도) 각도가 일부 본초 자오선(prime meridian)에서 동쪽으로 측정되는 지리적 좌표에 사용됩니다.

Major conventions
coordinates	corresponding local geographical directions $(Z, X, Y)$	right/left-handed
$(r, θ inc, φ az,right)$	$(U, S, E)$	right
$(r, φ az,right, θ el)$	$(U, E, N)$	right
$(r, θ el, φ az,right)$	$(U, N, E)$	left

Note: easting (

E

), northing (

N

), upwardness (

U

). Local azimuth angle would be measured, e.g., counterclockwise from

S

to

E

in the case of

(U, S, E)

.

Unique coordinates

임의의 구형 좌표 세-쌍 $(r,\theta ,\varphi )$ 은 삼-차원 공간의 단일 점을 지정합니다. 다른 한편으로, 모든 각 점은 무한하게 많은 동등한 구형 좌표를 가집니다. 각도 자체를 변경 없이, 따라서 점을 변경 없이 각 각도 측정에 임의의 완전한 회전의 숫자를 더하거나 뺄 수 있습니다. 많은 상황에서, $(-r,\theta {+}180^{\circ },-\varphi )$ 가 임의의 $r$ , $θ$ , 및 $φ$ 에 대해 $(r,\theta ,\varphi )$ 와 동등하다는 관례와 함께 음의 방사형 거리를 허용하는 것도 편리합니다. 게다가, $(r,\theta ,-\varphi )$ 는 $(r,\theta {+}180^{\circ },\varphi )$ 와 동등합니다.

만약 각 점에 대해 고유한 구형 좌표의 집합을 정의해야 하면, 그것들의 범위를 제한해야 합니다. 공통적인 선택은 다음과 같습니다:

r \geq 0,

0° \leq θ < 360° (2 π rad).

0° \leq φ \leq 180° (π rad),

어쨌든, 방위각 $θ$ 는 종종 [0, 360°) 대신, 구간(interval) (−180°, +180°], 또는 라디안에서 (− $π$ , + $π$ ]으로 제한됩니다. 이것은 지리적 경도에 대한 표준 관례입니다.

극 각도 $φ$ 에 대해, 경사에 대해 범위 [0°, 180°]는 고도에 대해 범위 [−90°, +90°]와 동등합니다. 지리학에서, 위도는 고도입니다.

이들 제한에도 불구하고, 만약 $φ$ 가 0° 또는 180° (고도가 90° 또는 -90°)이면, 방위 각도는 임의적입니다; 그리고 만약 $r$ 이 영이면, 방위 각도와 경사/고도 모두 임의적입니다. 좌표를 고유하게 만들기 위해, 이들 경우에서 임의적인 좌표가 영이라는 관례를 사용할 수 있습니다.

Plotting

구형 좌표 $(r, θ, φ)$ 에서 점을 그리기 위해, 여기서 $θ$ 가 경사이며, 원점에서 천정 방향으로 $r$ 단위만큼 이동하고, 원점을 기준으로 방위각 참조 방향을 향해 $θ$ 만큼 회전하고, 적절한 방향으로 천정에 대해 $φ$ 만큼 회전합니다.

Applications

이-차원 데카르트 좌표 시스템(Cartesian coordinate system)이 평면에서 유용하듯이, 이-차원 구형 좌표 시스템은 구의 표면에서 유용합니다. 이 시스템에서, 구는 단위 구(unit sphere)로 취하므로, 반지름은 일이고, 일반적으로 무시될 수 있습니다. 이 단순화는 회전 행렬(rotational matrices)과 같은 대상을 다룰 때도 매우 유용할 수 있습니다.

구형 좌표는 구 내부의 부피 적분(volume integrals), 집중된 질량 또는 전하를 둘러싼 잠재적 에너지 필드, 또는 행성 대기에서 전역적 기상 모의실험과 같이 점에 대해 어느 정도 대칭을 가지는 시스템을 분석하는 데 유용합니다. 데카르트 방정식 $x 2 + y 2 + z 2 = c 2$ 를 가지는 구는 구형 좌표에서 간단한 방정식 $r = c$ 를 가집니다.

많은 물리적 문제에서 발생하는 두 가지 중요한 부분 미분 방정식(partial differential equations), 라플라스의 방정식(Laplace's equation)과 헬름홀츠 방정식(Helmholtz equation)은 구형 좌표에서 변수의 분리(separation of variables)를 허용합니다. rm러한 방정식에 대한 해의 각도 부분은 구형 조화(spherical harmonics)의 형식을 취합니다.

또 다른 응용 분야는 인체-공학적 설계이며, 여기서 $r$ 은 가만히 있는 사람의 팔 길이이고 각도는 팔이 뻗을 때의 방향을 나타냅니다.

확성기(loudspeaker) 출력 패턴의 삼-차원 모델링은 그것들의 성능을 예측하기 위해 사용될 수 있습니다. 주파수에 따라 패턴이 크게 변하기 때문에 다양한 주파수에서 취한 많은 극 그림이 필요합니다. 극 그림은 많은 확성기가 더 낮은 주파수에서 전방향성 경향이 있음을 보여줍니다.

구형 좌표 시스템은 플레이어의 위치를 기준으로 카메라를 회전시키기 위해 3D 게임 개발에서도 공통적으로 사용됩니다.^[4]

In geography

첫 번째 근사치로 지리적 좌표 시스템(geographic coordinate system)은 경사 대신 $-90° \leq φ \leq 90°$ 범위에서 적도 평면 북쪽 도 단위에서 앙각 (위도)을 사용합니다. 위도는 지구의 중심에서 측정되고 $ψ, q, φ', φ c, φ g$ 로 다양하게 지정되는 지구 중심 위도(geocentric latitude) 또는 관측자의 지역적 수직(local vertical)으로 측정되고 공통적으로 $φ$ 로 지정되는 측지 위도(geodetic latitude)입니다. 90°에서 위도를 뺀 극 각도는 0에서 180°까지의 범위를 지리학에서 colatitude라고 불립니다.

공통적으로 $λ$ 로 표시되는 방위 각도 (경도)는 일부 전통적 참조 자오선 (가장 공통적으로 IERS Reference Meridian)에서 동쪽 또는 서쪽으로 측정되므로, 해당 영역은 $-180° \leq λ \leq 180°$ 입니다. 지구 또는 기타 고체 천체의 위치에 대해, 참조 평면은 보통 회전의 축(axis of rotation)에 수직인 평면으로 취합니다.

방사형 거리 대신 지리학자는 공통적으로 평균 해수면(mean sea level)일 수 있는 일부 참조 표면 (수직 데이텀) 위 또는 아래의 고도(altitude)를 사용합니다. 방사형 거리 $r$ 은 약 6,360 ± 11 km (3,952 ± 7 miles)인 지구의 반지름을 추가함으로써 고도에서 계산될 수 있습니다.

어쨌든, 현대의 지리적 좌표 시스템은 매우 복잡하고, 이들 간단한 공식에 의해 암시되는 위치는 몇 킬로미터나 틀릴 수 있습니다. 위도, 경도, 및 고도의 정확한 표준 의미는 현재 세계 측지 시스템(World Geodetic System, WGS)에 의해 정의되고, 극점에서 지구의 평탄화 (약 21km 또는 13마일)과 기타 많은 세부 사항을 고려합니다.

행성 좌표 시스템(Planetary coordinate systems)은 지리적 좌표 시스템과 유사한 공식을 사용합니다.

In astronomy

다양한 토대 평면(fundamental planes)에서 앙각을 측정하기 위해 일련의 천문 좌표 시스템(astronomical coordinate systems)이 사용됩니다. 이들 참조 평면은 관찰자의 수평선, 천구의 적도 (지구 자전으로 정의됨), 황도의 평면 (태양 주위를 도는 지구 궤도로 정의됨), 지구 종단의 평면 (태양에 대한 순간 방향에 수직), 및 은하 적도 (은하수의 회전으로 정의됨)입니다.

Coordinate system conversions

구형 좌표 시스템은 수많은 삼-차원 좌표 시스템 중 하나일 뿐이므로, 구형 좌표 시스템과 다른 좌표 시스템 사이의 좌표 변환을 위한 방정식이 존재합니다.

Cartesian coordinates

ISO 규약에서 점의 구형 좌표 (즉, 물리학에 대해: 반지름 $r$ , 경사 $θ$ , 방위각 $φ$ )는 데카르트 좌표(Cartesian coordinates) $(x, y, z)$ 에서 다음 공식에 의해 얻을 수 있습니다:

{\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arccos {\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}=\arccos {\frac {z}{r}}={\begin{cases}\arctan {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}&{\text{if }}z>0\\\pi +\arctan {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}&{\text{if }}z<0\\+{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}z=0{\text{ and }}xy\neq 0\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=y=z=0\\\end{cases}}\\\varphi &=\operatorname {sgn} (y)\arccos {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\text{if }}x>0,\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0,\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y<0,\\+{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y>0,\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y<0,\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}\end{aligned}}

$φ = arctan y / x$ 로 표시되는 역 탄젠트(inverse tangent)는 $(x, y)$ 의 올바른 사분면을 고려하여 적절하게 정의되어야 합니다. atan2에 대한 기사를 참조하십시오.

대안적으로, 변환은 두 개의 순차적인 데카르트에서 극으로의 변환으로 고려될 수 있습니다: 첫 번째는 데카르트 $xy$ 평면에서 $(x, y)$ 에서 $(R, φ)$ 로, 여기서 $R$ 은 $xy$ -평면 위로의 $r$ 의 투영이고, 두 번째는 데카르트 $zR$ -평면에서 $(z, R)$ 에서 $(r, θ)$ 로의 변환입니다. $φ$ 와 $θ$ 에 대한 올바른 사분면은 평면 데카르트에서 극으로의 변환의 정확성에 의해 암시됩니다.

이들 공식은 두 시스템이 같은 원점을 가지고 있고, 구형 참조 평면이 데카르트 $xy$ 평면이고, $θ$ 가 $z$ 방향에서 경사이고, 방위 각도는 ( $y$ 축이 $φ = +90°$ 를 가지도록) 데카르트 $x$ 축에서 측정된다고 가정합니다. 만약 θ가 천정으로부터의 경사가 아니라 참조 평면으로부터의 고도를 측정하면, 위의 arccos는 arcsin이 되고, 아래의 $cos θ$ 와 $sin θ$ 는 바뀝니다.

반대로, 데카르트 좌표는 구형 좌표 (반지름 $r$ , 경사 $θ$ , 방위각 $φ$ )에서 검색될 수 있으며, 여기서 $r \in [0, \infty)$ , $θ \in [0, π]$ , $φ \in [0, 2 π)$ 는 다음과 같습니다:

{\begin{aligned}x&=r\sin \theta \,\cos \varphi ,\\y&=r\sin \theta \,\sin \varphi ,\\z&=r\cos \theta .\end{aligned}}

Cylindrical coordinates

원통 좌표 (축 반지름 ρ, 방위각 φ, 고도 z)는 다음 공식에 의해 구형 좌표 (중심 반지름 r, 경사 θ, 방위각 φ)로 변환될 수 있습니다:

{\begin{aligned}r&={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}},\\\theta &=\arctan {\frac {\rho }{z}}=\arccos {\frac {z}{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}},\\\varphi &=\varphi .\end{aligned}}

반대로, 구형 좌표는 다음 공식에 의해 원통 좌표로 변환될 수 있습니다:

{\begin{aligned}\rho &=r\sin \theta ,\\\varphi &=\varphi ,\\z&=r\cos \theta .\end{aligned}}

이들 공식은 두 시스템이 같은 원점과 같은 참조 평면을 가지고, 같은 축에서 같은 방향으로 방위각 $φ$ 를 측정하고, 구형 각도 $θ$ 가 원통형 $z$ 축에서 경사라고 가정합니다.

Generalization

역시 구형 좌표의 수정된 버전을 사용함으로써 데카르트 좌표에서 타원면체를 다루는 것이 가능합니다.

P를 수준 집합에 의해 지정된 타원면체라고 놓습니다:

ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=d.

ISO 규약에서 P에 있는 점의 수정된 구형 좌표 (즉, 물리학에 대해: 반지름 r, 기울기 $θ$ , 방위각 $φ$ )는 데카르트 좌표 $(x, y, z)$ 에서 다음 공식으로 얻을 수 있습니다:

{\begin{aligned}x&={\frac {1}{\sqrt {a}}}r\sin \theta \,\cos \varphi ,\\y&={\frac {1}{\sqrt {b}}}r\sin \theta \,\sin \varphi ,\\z&={\frac {1}{\sqrt {c}}}r\cos \theta ,\\r^{2}&=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}.\end{aligned}}

무한소 부피 원소는 다음에 의해 지정됩니다:

\mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|\,dr\,d\theta \,d\varphi ={\frac {1}{\sqrt {abc}}}r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ={\frac {1}{\sqrt {abc}}}r^{2}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \Omega .

제곱근 인수는 열에서 상수를 추출할 수 있는 행렬식(determinant)의 속성에서 가져옵니다:

{\begin{vmatrix}ka&b&c\\kd&e&f\\kg&h&i\end{vmatrix}}=k{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}.

Integration and differentiation in spherical coordinates

다음 방정식 (Iyanaga 1977)은 논의된 물리학 관례에서 처럼 공위도(colatitude) $θ$ 가 $z$ (극) 축으로부터의 경사라고 가정합니다 ( $x$ , $y$ , 및 $z$ 가 서로 직교이므로 모호함).

$(r, θ, φ)$ 에서 $(r + d r, θ + d θ, φ + d φ)$ 까지의 무한소 변위에 대한 선 원소(line element)는 다음과 같습니다: $\mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} r\,{\hat {\mathbf {r} }}+r\,\mathrm {d} \theta \,{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r\sin {\theta }\,\mathrm {d} \varphi \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}} ,$ 여기서 ${\begin{aligned}{\hat {\mathbf {r} }}&=\sin \theta \cos \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\sin \theta \sin \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}+\cos \theta \,{\hat {\mathbf {z} }},\\{\hat {\boldsymbol {\theta }}}&=\cos \theta \cos \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\cos \theta \sin \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}-\sin \theta \,{\hat {\mathbf {z} }},\\{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}&=-\sin \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\cos \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}\end{aligned}}$ 이는 각각 증가하는 $r$ , $θ$ , 및 $φ$ 의 방향에서 지역적 직교 단위 벡터(unit vectors)이고, ${\hat {\mathbf {x} }}$ , ${\hat {\mathbf {y} }}$ , 및 ${\hat {\mathbf {z} }}$ 는 데카르트 좌표에서 단위 벡터입니다. 이 오른손 좌표 세-쌍에 대한 선형 변환은 다음과 같은 회전 행렬(rotation matrix)입니다: $R={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \\\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &-\sin \theta \\-\sin \varphi &\cos \varphi &0\end{pmatrix}}.$

이것은 구형에서 데카르트로의 변환을 제공하고, 그 반대는 그것의 역에 의해 제공됩니다. 주목: 그 행렬은 직교 행렬입니다. 즉, 그것의 역은 단순히 그것의 전치(transpose)입니다.

따라서 데카르트 단위 벡터는 다음에 의해 구형 단위 벡터와 관련됩니다: ${\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\cos \theta \cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \sin \varphi &\cos \varphi \\\cos \theta &-\sin \theta &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\end{bmatrix}}$

미분 선 원소를 증명하기 위한 공식의 일반 형식은 다음과 같습니다:^[5] $\mathrm {d} \mathbf {r} =\sum _{i}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\,\mathrm {d} x_{i}=\sum _{i}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|{\frac {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}{\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|}}\,\mathrm {d} x_{i}=\sum _{i}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|\,\mathrm {d} x_{i}\,{\hat {\boldsymbol {x}}}_{i},$ 즉, $\mathbf {r}$ 에서 변경은 개별 좌표에서 변경에 대응하는 개별 변경으로 분해됩니다.

이를 현재 사례에 적용하기 위해, 각 좌표에 따라 $\mathbf {r}$ 이 어떻게 변하는지 계산해야 합니다. 사용된 관례에서 $\mathbf {r} ={\begin{bmatrix}r\sin \theta \,\cos \varphi \\r\sin \theta \,\sin \varphi \\r\cos \theta \end{bmatrix}}.$

따라서, ${\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial r}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \varphi \\\sin \theta \,\sin \varphi \\\cos \theta \end{bmatrix}}=\mathbf {\hat {r}} ,\quad {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}={\begin{bmatrix}r\cos \theta \,\cos \varphi \\r\cos \theta \,\sin \varphi \\-r\sin \theta \end{bmatrix}}=r\,{\hat {\boldsymbol {\theta }}},\quad {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}={\begin{bmatrix}-r\sin \theta \,\sin \varphi \\r\sin \theta \,\cos \varphi \\0\end{bmatrix}}=r\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}} .$

원하는 계수는 다음과 같이 이들 벡터의 크기입니다:^[5] $\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial r}}\right|=1,\quad \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right|=r,\quad \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}\right|=r\sin \theta .$

(일정한) 반지름 $r$ 에서 구형 표면 위의 $θ$ 에서 $θ + d θ$ 와 $φ$ 에서 $φ + d φ$ 로의 스팬하는 표면 원소(surface element)는 다음과 같습니다: $\mathrm {d} S_{r}=\left\|{\frac {\partial {\mathbf {r} }}{\partial \theta }}\times {\frac {\partial {\mathbf {r} }}{\partial \varphi }}\right\|\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =\left|r{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\times r\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\right|=r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ~.$

따라서 미분 고체 각도(solid angle)는 다음과 같습니다: $\mathrm {d} \Omega ={\frac {\mathrm {d} S_{r}}{r^{2}}}=\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .$

극 각도 $θ$ 상수의 표면 (꼭짓점을 원점으로 하는 원뿔)에서 표면 원소는 다음과 같습니다: $\mathrm {d} S_{\theta }=r\sin \theta \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} r.$

방위각 $φ$ 상수의 표면 (수직 절반-평면)에서 표면 요소는 다음과 같습니다: $\mathrm {d} S_{\varphi }=r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta .$

$r$ 에서 $r + d r$ , $θ$ 에서 $θ + d θ$ , 및 $φ$ 에서 $φ + d φ$ 에서 스팬하는 부피 원소(volume element)는 다음 부분 도함수(partial derivatives)의 야코비 행렬(Jacobian matrix)의 행렬식(determinant)에 의해 지정됩니다: $J={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{pmatrix}},$ 즉, $\mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \Omega ~.$

따라서, 예를 들어, 함수 $f (r, θ, φ)$ 는 삼중 적분(triple integral)에 의해 $R 3$ 에서 모든 각 점에 걸쳐 적분될 수 있습니다: $\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }\int \limits _{0}^{\infty }f(r,\theta ,\varphi )r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ~.$

이 시스템에서 델(del) 연산자는 그래디언트(gradient), 다이버전스(divergence), 컬(curl), 및 (스칼라) 라플라스(Laplacian)에 대한 다음 표현식으로 이어집니다: ${\begin{aligned}\nabla f={}&{\partial f \over \partial r}{\hat {\mathbf {r} }}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}},\\[8pt]\nabla \cdot \mathbf {A} ={}&{\frac {1}{r^{2}}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}A_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta A_{\theta }\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi },\\[8pt]\nabla \times \mathbf {A} ={}&{\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\partial \over \partial \theta }\left(A_{\varphi }\sin \theta \right)-{\partial A_{\theta } \over \partial \varphi }\right){\hat {\mathbf {r} }}\\[8pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left({1 \over \sin \theta }{\partial A_{r} \over \partial \varphi }-{\partial \over \partial r}\left(rA_{\varphi }\right)\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\[8pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left({\partial \over \partial r}\left(rA_{\theta }\right)-{\partial A_{r} \over \partial \theta }\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}},\\[8pt]\nabla ^{2}f={}&{1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}\\[8pt]={}&\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)f+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)f+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}f~.\end{aligned}}$

게다가, 데카르트 좌표에서 역 야코비는 다음과 같습니다: $J^{-1}={\begin{pmatrix}{\dfrac {x}{r}}&{\dfrac {y}{r}}&{\dfrac {z}{r}}\\\\{\dfrac {xz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\dfrac {yz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\dfrac {-(x^{2}+y^{2})}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\\\\{\dfrac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{pmatrix}}.$ 구형 좌표 시스템에서 메트릭 텐서(metric tensor)는 $g=J^{T}J$ 입니다.

Distance in spherical coordinates

구형 좌표에서, $φ$ 가 방위각 좌표를 갖는 두 점이 주어지면,

{\begin{aligned}{\mathbf {r} }&=(r,\theta ,\varphi ),\\{\mathbf {r} '}&=(r',\theta ',\varphi ')\end{aligned}}

두 점 사이의 거리는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:

{\begin{aligned}{\mathbf {D} }&={\sqrt {r^{2}+r'^{2}-2rr'(\sin {\theta }\sin {\theta '}\cos {(\varphi -\varphi ')}+\cos {\theta }\cos {\theta '})}}\end{aligned}}

Kinematics

구형 좌표에서, 점 또는 입자의 위치 (비록 세-쌍 $(r,\theta ,\varphi )$ 으로 더 잘 작성되지만)는 다음과 같이 작성될 수 있습니다:^[6]

\mathbf {r} =r\mathbf {\hat {r}} .

그런-다음 그것의 속도는 다음과 같습니다:^[6]

\mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\dot {r}}\mathbf {\hat {r}} +r\,{\dot {\theta }}\,{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r\,{\dot {\varphi }}\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}}

그리고 그것의 가속도는 다음과 같습니다:^[6]

{\begin{aligned}\mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={}&\left({\ddot {r}}-r\,{\dot {\theta }}^{2}-r\,{\dot {\varphi }}^{2}\sin ^{2}\theta \right)\mathbf {\hat {r}} \\&{}+\left(r\,{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}\,{\dot {\theta }}-r\,{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\&{}+\left(r{\ddot {\varphi }}\,\sin \theta +2{\dot {r}}\,{\dot {\varphi }}\,\sin \theta +2r\,{\dot {\theta }}\,{\dot {\varphi }}\,\cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\end{aligned}}

각 운동량(angular momentum)은 다음과 같습니다:

\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} =mr^{2}(-{\dot {\varphi }}\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\theta }}} +{\dot {\theta }}\,{\hat {\boldsymbol {\varphi }}})

여기서 $m$ 은 질량입니다. 상수 $φ$ 또는 그밖에 $θ = π / 2$ 의 경우에서, 이것은 극 좌표에서 벡터 미적분으로 줄어듭니다.

대응하는 각 운동량 연산자(angular momentum operator)는 위의 위상-공간 재공식화를 따릅니다:

\mathbf {L} =-i\hbar ~\mathbf {r} \times \nabla =i\hbar \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\theta }}}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}-{\hat {\boldsymbol {\phi }}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right).

토크는 다음과 같이 주어집니다:^[6]

\mathbf {\tau } ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =-m\left(2r{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\sin \theta +r^{2}{\ddot {\varphi }}\sin {\theta }+2r^{2}{\dot {\theta }}{\dot {\varphi }}\cos {\theta }\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}+m\left(r^{2}{\ddot {\theta }}+2r{\dot {r}}{\dot {\theta }}-r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}

운동 에너지는 다음과 같이 주어집니다:^[6]

E_{k}={\frac {1}{2}}m\left[\left({\dot {r}}^{2}\right)+\left(r{\dot {\theta }}\right)^{2}+\left(r{\dot {\varphi }}\sin \theta \right)^{2}\right]

Notes

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Bibliography

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External links

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