Stirling numbers of the second kind

File:Set partitions 4; Hasse; circles.svg

The 15 partitions of a 4-element set
ordered in a Hasse diagram

There are S(4,1),...,S(4,4) = 1,7,6,1 partitions
containing 1,2,3,4 sets.

수학(mathematics)에서, 특히 조합론(combinatorics)에서, 두 번째 종류의 스털링 숫자(Stirling number of the second kind 또는 스털링 분할 숫자(Stirling partition number))는 n 대상의 집합을 k 비-빈 부분집합으로 분할(partition a set)하는 방법의 숫자이고, $S(n,k)$ 또는 $\textstyle \lbrace {n \atop k}\rbrace$ 에 의해 표시됩니다.^[1] 두 번째 종류의 스털링 숫자는 조합론(combinatorics)으로 불리는 수학의 분야 및 분할(partitions)의 연구에서 발생합니다.

두 번째 종류의 스털링 숫자는 스털링 숫자(Stirling number)의 두 종류 중 하나이며, 다른 하나의 종류는 첫 번째 종류의 스털링 숫자(Stirling numbers of the first kind) (또는 스털링 싸이클 숫자)로 불립니다. 상호 역 (유한 또는 무한) 삼각 행렬(triangular matrices)은 매개-변수 n, k에 따라 각 종류의 스털링 숫자로부터 형성될 수 있습니다.

Definition

$S(n,k)$ 또는 $\lbrace \textstyle {n \atop k}\rbrace$ 또는 다른 표기법과 함께 쓰이는, 두 번째 종류의 스털링 숫자는 $n$ 레이블된 대상의 집합(set)을 $k$ 비-빈 레이블-없는 부분-집합으로 분할(partition)하는 방법의 숫자를 셉니다. 동등하게, 그들은 $n$ 원소 집합 위에 정의될 수 있는 정확히 $k$ 동치 클래스와 함께 다른 동치 관계(equivalence relation)의 숫자를 셉니다. 사실, 분할의 집합과 주어진 집합 위에 동치 관계의 집합 사이는 전단사(bijection)가 있습니다. 명백하게,

\left\{{n \atop n}\right\}=1

및

n\geq 1

에 대해,

\left\{{n \atop 1}\right\}=1

n-원소 집합을 n 부분으로 분할하는 유일한 방법은 집합의 각 원소를 그 자체로 분할에 넣는 것이고, 비-빈 집합을 한 부분으로 분할하는 유일한 방법은 모든 원소를 같은 부분에 넣는 것입니다. 그들은 다음의 명백한 공식을 사용하여 계산될 수 있습니다:^[2]

\left\{{n \atop k}\right\}={\frac {1}{k!}}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{\binom {k}{j}}j^{n}.

두 번째 종류의 스털링 숫자는, 우리가 떨어지는 팩토리얼(falling factorial)의 관점에서 불확정 x의 거듭제곱을 표현할 때, 발생하는 숫자로 역시 특징-지어질 수 있습니다^[3]

(x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1).

(특히, (x)₀ = 1인데 왜냐하면 그것은 빈 곱(empty product)이기 때문입니다.) 특히, 우리는 다음을 가집니다:

\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}(x)_{k}=x^{n}.

Notation

다양한 표기법이 두 번째 종류의 스털링 숫자에 대해 사용되어 왔습니다. 중괄호 표기법 $\textstyle \lbrace {n \atop k}\rbrace$ 은 이들 숫자의 변형에 대해 1962년 이마누엘 막스(Imanuel Marx)와 안토니오 살메리(Antonio Salmeri)에 의해 사용되었습니다.^[4]^[5] 이것은 The Art of Computer Programming (1968)의 첫 번째 판에서, 여기서 보이는 것처럼, 그것을 사용하도록 커누스(Knuth)를 이끌었습니다.^[6]^[7] 어쨌든, The Art of Computer Programming의 세 번째 판에 따르면, 이 표기법은 일찍이 1935년 요한 카르마타(Jovan Karamata)에 의해 역시 사용되었습니다.^[8]^[9] 표기법 S(n, k)는 리처드 스탠리(Richard Stanley)에 의해 그의 책 Enumerative Combinatorics에서 사용되었습니다.^[6]

이 페이지에서 스털링 숫자에 사용된 표기법은 보편적이지 않고, 다른 출처에서 표기법과 충돌할 수 있습니다.

Relation to Bell numbers

스털링 숫자 $\left\{{n \atop k}\right\}$ 는 n-원소 집합을 k 부분의 집합 분할을 세므로, k의 모든 값에 걸쳐, 합

B_{n}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}

은 n 구성원을 갖는 집합의 분할의 전체 숫자입니다. 이 숫자는 n번째 벨 숫자(Bell number)로 알려져 있습니다.

유사하게, 순서화 벨 숫자(ordered Bell number)는 다음을 통해 두 번째 종류의 스털링 숫자로부터 계산될 수 있습니다:

a_{n}=\sum _{k=0}^{n}k!\left\{{n \atop k}\right\}.

^[10]

Table of values

아래는 두 번째 종류의 스털링 숫자에 대해 값의 삼각 배열(triangular array)입니다 (OEIS에서 수열 A008277):

k n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	1
1	0	1
2	0	1	1
3	0	1	3	1
4	0	1	7	6	1
5	0	1	15	25	10	1
6	0	1	31	90	65	15	1
7	0	1	63	301	350	140	21	1
8	0	1	127	966	1701	1050	266	28	1
9	0	1	255	3025	7770	6951	2646	462	36	1
10	0	1	511	9330	34105	42525	22827	5880	750	45	1

이항 계수(binomial coefficients)와 마찬가지로, 이 테이블은 $k > n$ 까지 확장될 수 있지만, 그들 엔트리는 모두 0이 될 것입니다.

Properties

Recurrence relation

두 번째 종류의 스털링 숫자는, n > 0에 대해, 초기 조건

\left\{{0 \atop 0}\right\}=1\quad

및

\quad \left\{{n \atop 0}\right\}=\left\{{0 \atop n}\right\}=0

을 갖는, k > 0에 대해 재귀 관계

\left\{{n+1 \atop k}\right\}=k\left\{{n \atop k}\right\}+\left\{{n \atop k-1}\right\}

를 만족합니다.

예를 들어, 열 k=3 및 행 n=5에서 숫자 25는 25=7+(3×6)에 의해 제공되며, 여기서 7은 25의 왼쪽 위의 숫자이고, 6은 25 위의 숫자이고 3은 6을 포함하는 열 번호입니다.

이 재귀를 이해하기 위해, $n+1$ 대상을 k 비-빈 부분집합으로의 분할이 한원소로 $(n+1)$ -번째 대상으로 포함 또는 그렇지 않은 것으로 관찰하십시오. 한원소가 부부집합 중 하나인 방법의 숫자는 다음에 의해 주어집니다:

\left\{{n \atop k-1}\right\}

왜냐하면 우리는 남아있는 $n$ 대상을 이용-가능한 $k-1$ 부분집합으로 분할해야 하기 때문입니다. 나머지 다른 경우에서, $(n+1)$ -번째 대상은 다른 대상을 포함하는 부분집합에 넣습니다. 방법의 숫자는 다음에 의해 제공됩니다:

k\left\{{n \atop k}\right\}

왜냐하면 우리는 $(n+1)$ -번째 대상을 제외한 모든 대상을 k 부분집합으로 분할하기 때문이고, 그런-다음 우리는 대상 $n+1$ 을 삽입하기 위한 k 선택이 남아있기 때문입니다. 이들 두 값을 합하면 원하는 결과를 제공합니다.

일부 추가적인 재귀는 다음과 같습니다:

\left\{{n+1 \atop k+1}\right\}=\sum _{j=k}^{n}{n \choose j}\left\{{j \atop k}\right\},

\left\{{n+1 \atop k+1}\right\}=\sum _{j=k}^{n}(k+1)^{n-j}\left\{{j \atop k}\right\},

\left\{{n+k+1 \atop k}\right\}=\sum _{j=0}^{k}j\left\{{n+j \atop j}\right\}.

Lower and upper bounds

만약 $n\geq 2$ 이고 $1\leq k\leq n-1$ 이면,

L(n,k)\leq \left\{{n \atop k}\right\}\leq U(n,k)

여기서

L(n,k)={\frac {1}{2}}(k^{2}+k+2)k^{n-k-1}-1

및

U(n,k)={\frac {1}{2}}{n \choose k}k^{n-k}.

^[11]

Maximum

고정된 $n$ 에 대해, $\left\{{n \atop k}\right\}$ 는 단일 최댓값을 가지면, 이것은 k의 많아야 두 연속적인 값에 대해 도달합니다. 즉, 다음을 만족하는 정수 $K_{n}$ 이 있습니다:

\left\{{n \atop 1}\right\}<\left\{{n \atop 2}\right\}<\cdots <\left\{{n \atop K_{n}}\right\},

\left\{{n \atop K_{n}}\right\}\geq \left\{{n \atop K_{n}+1}\right\}>\cdots >\left\{{n \atop n}\right\}.

$n$ 이 클 때 다음이고:

K_{n}\sim {\frac {n}{\log n}},

두 번째 종류의 스털링 숫자의 최댓값은 다음입니다:

\log \left\{{n \atop K_{n}}\right\}=n\log n-n\log \log n-n+O(n\log \log n/\log n).

^[11]

Parity

File:Stirling numbers of the second kind - Parity.svg

Parity of Stirling numbers of the second kind.

두 번째 종류의 스털링 숫자의 패리티(parity)는 관련된 이항 계수(binomial coefficient)의 패리티와 같습니다:

\left\{{n \atop k}\right\}\equiv {\binom {z}{w}}\ {\pmod {2}},

여기서

z=n-\left\lceil \displaystyle {\frac {k+1}{2}}\right\rceil ,\ w=\left\lfloor \displaystyle {\frac {k-1}{2}}\right\rfloor .

이 관계는 n과 k 좌표를 시에르핀스키 삼각형(Sierpiński triangle) 위로의 매핑에 의해 지정됩니다.

보다 직접적으로, 두 집합이 각 표현의 결과의 이진 표시에서 1의 위치를 포함시키는 것으로 놓습니다:

{\begin{aligned}\mathbb {A} :\ \sum _{i\in \mathbb {A} }2^{i}&=n-k,\\\mathbb {B} :\ \sum _{j\in \mathbb {B} }2^{j}&=\left\lfloor {\dfrac {k-1}{2}}\right\rfloor .\\\end{aligned}}

우리는 O(1) 시간에서 두 번째 종류의 스털링 숫자의 패리티를 얻기 위해 이들 두 집합을 교차함으로써 비트별 AMD(bitwise AND) 연산을 모방할 수 있습니다:

{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}\,{\bmod {\,}}2={\begin{cases}0,&\mathbb {A} \cap \mathbb {B} \neq \emptyset ;\\1,&\mathbb {A} \cap \mathbb {B} =\emptyset ;\end{cases}}

유사-코드(pseudocode)에서:

{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}\,{\bmod {\,}}2:=\left[\left(\left(n-k\right)\ \And \ \left(\left(k-1\right)\,\mathrm {div} \,2\right)\right)=0\right];

여기서 $\left[b\right]$ 는 아이버슨 괄호(Iverson bracket)입니다.

중심의 두 번째 종류의 스털링 숫자 $\textstyle \left\{{2n \atop n}\right\}$ 의 패리티가 홀수인 것과 $n$ 이 섬유소 숫자(fibbinary number), 이진 표현(binary representation)이 둘의 연속 1들을 가지지 않는 숫자인 것은 필요충분 조건입니다.^[12]

Simple identities

일부 간단한 항등식은 다음을 포함합니다:

\left\{{n \atop n-1}\right\}={\binom {n}{2}}.

이것은 n 원소를 $n - 1$ 집합으로 나누는 것은 반드시 크기 2의 집합 하나와 크기 1의 $n - 2$ 집합으로 그것을 나누는 것을 의미하기 때문입니다. 그러므로 우리는 오직 그들의 두 원소를 선택하면 됩니다;

및

\left\{{n \atop 2}\right\}=2^{n-1}-1.

이것을 보이기 위해, 먼저 여 부분-집합 A와 B의 2ⁿ 순서화 쌍이 있음을 주목하십시오. 하나의 경우에서, A가 비어 있고, 다른 것에서 B가 비어 있으므로, 부분-집합의 $2 n - 2$ 순서화 쌍이 남아 있습니다. 마지막으로, 우리는 순서화 쌍이 아닌 비-순서화 쌍을 원하므로, 우리는 이 마지막 숫자를 2로 나누며, 위의 결과를 제공합니다.

재귀 관계의 또 다른 명백한 확장은 위의 예제의 진의에서 항등식을 제공합니다.

{\begin{aligned}\left\{{n \atop 2}\right\}&={\frac {{\frac {1}{1}}(2^{n-1}-1^{n-1})}{0!}}\\[8pt]\left\{{n \atop 3}\right\}&={\frac {{\frac {1}{1}}(3^{n-1}-2^{n-1})-{\frac {1}{2}}(3^{n-1}-1^{n-1})}{1!}}\\[8pt]\left\{{n \atop 4}\right\}&={\frac {{\frac {1}{1}}(4^{n-1}-3^{n-1})-{\frac {2}{2}}(4^{n-1}-2^{n-1})+{\frac {1}{3}}(4^{n-1}-1^{n-1})}{2!}}\\[8pt]\left\{{n \atop 5}\right\}&={\frac {{\frac {1}{1}}(5^{n-1}-4^{n-1})-{\frac {3}{2}}(5^{n-1}-3^{n-1})+{\frac {3}{3}}(5^{n-1}-2^{n-1})-{\frac {1}{4}}(5^{n-1}-1^{n-1})}{3!}}\\[8pt]&{}\ \ \vdots \end{aligned}}

이들 예제는 다음 재귀에 의해 요약될 수 있습니다:

\left\lbrace {\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\rbrace ={\frac {k^{n}}{k!}}-\sum _{r=1}^{k-1}{\frac {\left\lbrace {\begin{matrix}n\\r\end{matrix}}\right\rbrace }{(k-r)!}}.

Explicit formula

두 번째 종류의 스털링 숫자는 명시적 공식에 의해 제공됩니다:

\left\{{n \atop k}\right\}=\sum _{j=1}^{k}(-1)^{k-j}{\frac {j^{n-1}}{(j-1)!(k-j)!}}={\frac {1}{k!}}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}j^{n}.

이 공식은 x = 0에서 평가된 단항식(monomial) $x^{n}$ 의 k번째 전방 차이(forward difference)의 특별한 경우입니다.

\Delta ^{k}x^{n}=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}(x+j)^{n}.

베르누이 다항식(Bernoulli polynomial)은 이들 전방 차이의 관점에서 쓸 수 있기 때문에, 우리는 즉시 베르누이 숫자(Bernoulli number)에서 관계를 얻습니다:

B_{m}(0)=\sum _{k=0}^{m}{\frac {(-1)^{k}k!}{k+1}}\left\{{m \atop k}\right\}.

Generating functions

고정된 정수 n에 대해, 두 번째 종류의 스털링 숫자 $\left\{{n \atop 0}\right\},\left\{{n \atop 1}\right\},\ldots$ 에 대해 보통의 생성하는 함수(ordinary generating function)는 다음에 의해 제공됩니다:

\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}x^{k}=T_{n}(x),

여기서 $T_{n}(x)$ 는 투샤르 다항식(Touchard polynomials)입니다. 만약 우리가 대신에 떨어지는 팩토리얼에 대하여 스털링 숫자를 합하면, 우리는 다른 것들 사이에서 다음 항등식을 볼 수 있습니다:

\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}(x)_{k}=x^{n}

및

\sum _{k=1}^{n+1}\left\{{n+1 \atop k}\right\}(x-1)_{k-1}=x^{n}.

고정된 정수 k에 대해, 두 번째 종류의 스털링 숫자 $\left\{{0 \atop k}\right\},\left\{{1 \atop k}\right\},\ldots$ 는 다음 유리의 보통 생성하는 함수를 가지고

\sum _{n=k}^{\infty }\left\{{n \atop k}\right\}x^{n-k}=\prod _{r=1}^{k}{\frac {1}{1-rx}}={\frac {1}{(k+1)!x^{k+1}{\binom {\frac {1}{x}}{k+1}}}}

다음에 의해 지수 생성하는 함수(exponential generating function)를 가집니다:

\sum _{n=k}^{\infty }\left\{{n \atop k}\right\}{\frac {x^{n}}{n!}}={\frac {(e^{x}-1)^{k}}{k!}}.

두 번째 종류의 스털링 숫자에 대해 혼합된 이변수 생성하는 함수는 다음입니다:

\sum _{0\leq k\leq n}\left\{{n \atop k}\right\}{\frac {x^{n}}{n!}}y^{k}=e^{y(e^{x}-1)}.

Asymptotic approximation

$k$ 의 고정된 값에 대해, $n\rightarrow \infty$ 으로 두 번째 종류의 스털링 숫자의 점근적 값은 다음에 의해 제공됩니다:

\left\{{n \atop k}\right\}\sim {\frac {k^{n}}{k!}}.

다른 한편으로, 만약 $k=o({\sqrt {n}})$ 이면 다음입니다 (여기서 o는 작은 o 표기법(little o notation)을 나타냅니다):

\left\{{n \atop n-k}\right\}\sim {\frac {(n-k)^{2k}}{2^{k}k!}}\left(1+{\frac {1}{3}}{\frac {2k^{2}+k}{n-k}}+{\frac {1}{18}}{\frac {4k^{4}-k^{2}-3k}{(n-k)^{2}}}+\cdots \right).

^[13]

균등하게 유효한 근사가 역시 존재합니다: $1 < k < n$ 을 만족하는 모든 $k$ 에 대해, 우리는 다음을 가집니다:

\left\{{n \atop k}\right\}\sim {\sqrt {\frac {v-1}{v(1-G)}}}\left({\frac {v-1}{v-G}}\right)^{n-k}{\frac {k^{n}}{n^{k}}}e^{k(1-G)}\left({n \atop k}\right),

여기서 $G=-W_{0}(-ve^{-v}),v=n/k$ 이며, $\ W_{0}(z)$ 는 람베르트 W 함수(Lambert W function)의 주요 가지입니다.^[14] 상대 오차는 $0.066/n$ 에 대한 것에 의해 경계집니다.

Applications

Moments of the Poisson distribution

만약 X가 기댓값(expected value)이 λ와 함께 푸아송 분포(Poisson distribution)를 갖는 확률 변수(random variable)이면, 그의 n번째 모멘트(moment)는 다음입니다:

E(X^{n})=\sum _{k=1}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}\lambda ^{k}.

특히, 기댓값 1을 갖는 푸아송 분포의 모멘트는 크기 n의 집합의 분할(partitions of a set)의 숫자, 즉 그것은 n번째 벨 숫자(Bell number)입니다 (이 사실은 도비스키의 공식(Dobiński's formula)입니다).

Moments of fixed points of random permutations

확률 변수 X를 크기 m의 유한 집합의 균등하게 분포된(uniformly distributed) 확률 순열(random permutation)의 고정된 점의 숫자로 놓습니다. 그런-다음 X의 n번째 모멘트는 다음입니다:

E(X^{n})=\sum _{k=1}^{m}\left\{{n \atop k}\right\}.

주목: 합의 위쪽 경계는 n이 아니라 m입니다.

다른 말로, 이 확률 분포(probability distribution)의 n번째 모멘트는 크기 n의 집합을 m보다 많지 않은 부분으로 분할의 숫자입니다. 이것은 비록 표기법이 약간 다를지라도 확률 순열 통계(random permutation statistics)에 대한 기사에서 입증됩니다.

Rhyming schemes

두 번째 종류의 스털링 숫자는 n 줄의 시에 대해 라임 스킴(rhyme scheme)의 전체 숫자를 나타낼 수 있습니다. $S(n,k)$ 는 k 고유한 라임 음절을 사용하여 n 줄에 대해 가능한 라임 스킴의 숫자를 제공합니다. 예제에서 처럼, 3 줄의 시에 대해, 단지 하나의 라임 (aaa)을 사용하는 1 라임 스킴, 두 스킴 (aab, aba, abb)을 사용하는 3 라임 스킴, 및 세 라임 (abc)을 사용하여 1 라임 스킴이 있습니다.

Variants

Associated Stirling numbers of the second kind

두 번째 종류의 r-결합된 스털링 숫자는 n 대상의 집합을 k 부분-집합으로 분할에 대한 방법의 숫자이며, 각 부분-집합은 적어도 r 원소를 포함합니다.^[15] 그것은 $S_{r}(n,k)$ 에 의해 나타내고 다음 재귀 관계를 복종합니다:

S_{r}(n+1,k)=k\ S_{r}(n,k)+{\binom {n}{r-1}}S_{r}(n-r+1,k-1)

2-결합된 숫자 (OEIS에서 수열 A008299)는 "워드 숫자(Ward numbers)" 및 말러 다항식(Mahler polynomial)의 계수의 크기로 다른 곳에서 나타납니다.

Reduced Stirling numbers of the second kind

정수 1, 2, ..., n에 의해 분할하기 위한 n 대상을 나타냅니다. 정수 1, 2, ..., n을 각 부분-집합에서 모든 원소가 적어도 d 쌍별 거리를 가짐을 만족하는 k 비-빈 부분-집합으로 분할하는 방법의 숫자로, $S^{d}(n,k)$ 로 표시되는, 두 번째 종류의 감소된 스털링 숫자를 정의합니다. 즉, 주어진 부분-집합에서 정수 i 및 j에 대해, $|i-j|\geq d$ 임을 요구합니다. 이들 숫자는 다음을 만족시키는 것으로 (따라서 이름 "감소된") 보일 수 있습니다:^[16]

S^{d}(n,k)=S(n-d+1,k-d+1),n\geq k\geq d

.

$S^{1}(n,k)=S(n,k)$ , 익숙한 두 번째 종류의 스털링 숫자임을, (둘 다 정의에 의해 및 감소 공식에 의해) 보실 수 있습니다.

References

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[14] N. M. Temme, Asymptotic Estimates of Stirling Numbers, STUDIES IN APPLIED MATHEMATICS 89:233-243 (1993), Elsevier Science Publishing.

[15] L. Comtet, Advanced Combinatorics, Reidel, 1974, p. 222.

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