Symmetric matrix

선형 대수(linear algebra)에서, 대칭 행렬(symmetric matrix)은 그것의 전치(transpose)와 같은 정사각 행렬(square matrix)입니다. 형식적으로,

$A{\text{ is symmetric}}\iff A=A^{\textsf {T}}.$

같은 행렬은 같은 차원을 가지기 때문에, 정사각 행렬만 대칭일 수 있습니다.

대칭 행렬의 엔트리는 주요 대각선(main diagonal)에 관해 대칭입니다. 따라서 $a_{ij}$ 가 $i$ -번째 행과 $j$ -번째 열의 엔트리를 나타내면 모든 인덱스 $i$ 와 $j$ 에 대해 다음과 같습니다:

$A{\text{ is symmetric}}\iff {\text{ for every }}i,j,\quad a_{ji}=a_{ij}$

모든 비-대각선 원소는 영이기 때문에, 모든 각 정사각 대각 행렬은 대칭입니다. 마찬가지로, 2와 다른 특성(characteristic)에서, 반-대칭 행렬(skew-symmetric matrix)의 각 대각 원소는 각각 자체적으로 음수이므로 영(zero)이어야 합니다.

선형 대수에서, 실수 대칭 행렬은 실수 안의 곱 공간(inner product space)에 걸쳐 직교-정규 기저(orthonormal basis)로 표현되는 자체-인접 연산자(self-adjoint operator)를 나타냅니다.^[1] 복소수(complex) 안의 곱 공간에 대해 해당하는 대상은 그것의 켤레 전치(conjugate transpose)와 같은 복소-값 엔트리를 갖는 에르미트 행렬(Hermitian matrix)입니다. 그러므로, 복소수에 걸쳐 선형 대수에서, 대칭 행렬은 실수-값 엔트리를 가지는 행렬을 참조하는 것으로 종종 가정됩니다. 대칭 행렬은 다양한 응용에서 자연스럽게 나타나고, 전형적인 수치적 선형 대수 소프트웨어는 그것들을 위한 특별한 편의를 제공합니다.

Example

다음 $3\times 3$ 행렬은 대칭입니다: $A={\begin{bmatrix}1&7&3\\7&4&5\\3&5&1\end{bmatrix}}$ 왜냐하면 $A=A^{\textsf {T}}$ .

Properties

Basic properties

두 대칭 행렬의 합과 차이는 대칭입니다.
이것은 곱(product)에 대해 항상 참은 아닙니다: 대칭 행렬 $A$ 와 $B$ 가 주어졌을 때, $AB$ 가 대칭인 것과 $A$ 와 $B$ 가 교환하는(commute), 즉, $AB=BA$ 인 것은 필요충분 조건입니다.
임의의 정수 $n$ 에 대해, $A^{n}$ 은 $A$ 가 대칭이며 대칭입니다.
만약 $A^{-1}$ 가 존재하면, 그것이 대칭인 것과 $A$ 가 대칭인 것은 필요충분 조건입니다.
대칭 행렬 $A$ 의 랭크는 $A$ 의 비-영 고윳값의 개수와 같습니다.

Decomposition into symmetric and skew-symmetric

임의의 정사각 행렬은 대칭 행렬과 반-대칭 행렬의 합으로 고유하게 쓸 수 있습니다. 이 분해는 퇴플리츠 분해라고 알려져 있습니다. ${\mbox{Mat}}_{n}$ 가 $n\times n$ 행렬의 공간을 나타낸다고 놓습니다. 만약 ${\mbox{Sym}}_{n}$ 이 $n\times n$ 대칭 행렬의 공간을 나타내고 ${\mbox{Skew}}_{n}$ 이 $n\times n$ 반-대칭 행렬의 공간을 나타내면, ${\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}+{\mbox{Skew}}_{n}$ 와 ${\mbox{Sym}}_{n}\cap {\mbox{Skew}}_{n}=\{0\}$ , 즉, ${\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}\oplus {\mbox{Skew}}_{n},$ 여기서 $\oplus$ 는 직접 합(direct sum)을 나타냅니다. $X\in {\mbox{Mat}}_{n}$ 라고 놓으면, $X={\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right).$

${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Sym}}_{n}}$ 와 ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right)\in \mathrm {Skew} _{n}}$ 임을 주의하십시오. 이것은 특성(characteristic)이 2와 다른 임의의 필드(field)에서 엔트리를 갖는 모든 각 정사각 행렬(square matrix) $X$ 에 대해 참입니다.

대칭 $n\times n$ 행렬은 ${\tfrac {1}{2}}n(n+1)$ 스칼라 (주요 대각선 위 또는 위쪽 엔트리의 개수)에 의해 결정됩니다. 마찬가지로, 반-대칭 행렬(skew-symmetric matrix)은 ${\tfrac {1}{2}}n(n-1)$ 스칼라 (주요 대각선 위쪽 엔트리의 개수)에 의해 결정됩니다.

Matrix congruent to a symmetric matrix

대칭 행렬과 합동(congruent)인 임의의 행렬은 다시 대칭입니다: 만약 $X$ 가 대칭 행렬이면, 임의의 행렬 $A$ 에 대한 $AXA^{\mathrm {T} }$ 도 마찬가지입니다.

Symmetry implies normality

(실수-값) 대칭 행렬은 필연적으로 정규 행렬(normal matrix)입니다.

Real symmetric matrices

$\mathbb {R} ^{n}$ 위의 표준 안의 곱(inner product)을 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 로 표시합니다. 실수 $n\times n$ 행렬 $A$ 가 대칭인 것과 다음인 것은 필요충분 조건입니다: $\langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle \quad \forall x,y\in \mathbb {R} ^{n}.$

이 정의는 기저(basis)의 선택과 무관하기 때문에, 대칭은 선형 연산자(linear operator) A와 안의 곱(inner product)의 선택에만 의존하는 속성입니다. 대칭의 이러한 특성화는, 예를 들어, 미분 기하학(differential geometry)에서, 매니폴드(manifold)에 대한 각 접 공간(tangent space)에 유용하며, 리만 매니폴드(Riemannian manifold)라고 불리는 것을 발생시키는 안의 곱을 부여받을 수 있습니다. 이 형식화가 사용되는 또 다른 영역은 힐베르트 공간(Hilbert spaces)입니다.

유한-차원 스펙트럼 정리(spectral theorem)는 그 엔트리가 실수인 임의의 대칭 행렬은 직교 행렬(orthogonal matrix)에 의해 대각화될 수 있다고 말합니다. 보다 명시적으로: 모든 각 실수 대칭 행렬 $A$ 에 대해, $D=Q^{\mathrm {T} }AQ$ 가 대각 행렬(diagonal matrix)임을 만족하는 실수 직교 행렬 $Q$ 가 존재합니다. 따라서 모든 각 실수 대칭 행렬은, 직교정규 기저(orthonormal basis)의 선택까지(up to), 대각 행렬입니다.

만약 $A$ 와 $B$ 가 교환하는 $n\times n$ 실수 대칭 행렬이면, 그것들은 동시에 대각선화될 수 있습니다: 기저의 모든 각 원소가 $A$ 와 $B$ 모두에 대한 고유벡터(eigenvector)임을 만족하는 $\mathbb {R} ^{n}$ 의 기저가 존재합니다.

모든 각 실수 대칭 행렬은 에르미트(Hermitian)이고, 따라서 모든 그것의 고윳값(eigenvalues)은 실수입니다. (사실, 고윳값은 (위의) 대각 행렬 $D$ 에서 엔트리이고, 따라서 $D$ 는 그것의 엔트리의 순서까지 $A$ 에 의해 고유하게 결정됩니다.) 필연적으로, 실수 행렬에 대해 대칭적이 되는 속성은 복소수 행렬에 대해 에르미트가 되는 속성에 해당합니다.

Complex symmetric matrices

복소수 대칭 행렬은 유니태리 행렬(unitary matrix)을 사용하여 '대각화'될 수 있습니다: 따라서 만약 $A$ 가 복소수 대칭 행렬이면, $UAU^{\mathrm {T} }$ 가 비-음의 엔트리를 갖는 실수 대각 행렬임을 만족하는 유니태리 행렬 $U$ 가 있습니다. 이 결과는 오톤-다카기 인수분해(Autonne–Takagi factorization)라고 참조됩니다. 그것은 원래 리온 오톤(Léon Autonne, 1915)과 데이지 다카기(Teiji Takagi, 1925)에 의해 입증되었고 여러 다른 수학자에 의해 다른 증명으로 재발견되었습니다.^[2]^[3] 사실, 행렬 $B=A^{\dagger }A$ 는 에르미트이고 양수 반-한정(positive semi-definite)이므로, $V^{\dagger }BV$ 가 비-음의 실수 엔트리를 갖는 대각임을 만족하는 유니태리 행렬 $V$ 가 있습니다. 따라서 $C=V^{\mathrm {T} }AV$ 는 $C^{\dagger }C$ 실수를 갖는 복소수 대칭입니다. $X$ 와 $Y$ 실수 대칭 행렬을 갖는 $C=X+iY$ 를 쓰면, $C^{\dagger }C=X^{2}+Y^{2}+i(XY-YX)$ 입니다. 따라서 $XY=YX$ 입니다. $X$ 와 $Y$ 가 교환하기 때문에, $WXW^{\mathrm {T} }$ 와 $WYW^{\mathrm {T} }$ 둘 다가 대각임을 만족하는 실수 직교 행렬 $W$ 가 있습니다. $U=WV^{\mathrm {T} }$ (유니태리 행렬)로 설정하면, 행렬 $UAU^{\mathrm {T} }$ 는 복소 대각입니다. $U$ 를 적절한 대각 유니태리 행렬 (U의 유니태리성을 유지함)로 미리-곱하면, $UAU^{\mathrm {T} }$ 의 대각 엔트리가 원하는 대로 실수이고 비-음수 값이 되도록 만들 수 있습니다. 이 행렬을 구성하기 위해, 대각 행렬을 $UAU^{\mathrm {T} }=\operatorname {diag} (r_{1}e^{i\theta _{1}},r_{2}e^{i\theta _{2}},\dots ,r_{n}e^{i\theta _{n}})$ 으로 표현합니다. 우리가 구하는 행렬은 간단히 $UAU^{\mathrm {T} }=\operatorname {diag} (r_{1}e^{i\theta _{1}},r_{2}e^{i\theta _{2}},\dots ,r_{n}e^{i\theta _{n}})$ 로 주어집니다. 분명하게, 원하는 대로 $DUAU^{\mathrm {T} }D=\operatorname {diag} (r_{1},r_{2},\dots ,r_{n})$ 이므로, 수정 $U'=DU$ 를 만듭니다. 이들의 제곱은 $A^{\dagger }A$ 의 고윳값이므로, $A$ 의 특이값(singular values)과 일치합니다. (복소 대칭 행렬 $A$ 의 고유-분해에 대해, $A$ 의 조르당(Jordan) 정규 형식은 대각이 아닐 수 있으며, 따라서 $A$ 는 임의의 닮음 변환에 의해 대각선화되지 않을 수 있습니다.)

Decomposition

조르당 정규 형식(Jordan normal form)을 사용하여, 모든 각 정사각 실수 행렬이 두 개의 실수 대칭 행렬의 곱으로 쓸 수 있고, 모든 각 정사각 복소수 행렬이 두 개의 복소수 대칭 행렬의 곱으로 쓸 수 있음을 입증할 수 있습니다.^[4]

모든 각 실수 비-특이 행렬(non-singular matrix)은 직교 행렬(orthogonal matrix)과 대칭 양수 한정 행렬(positive definite matrix)의 곱으로 고유하게 분해될 수 있으며, 이것은 극 분해(polar decomposition)라고 불립니다. 특이 행렬도 인수화될 수 있지만, 고유하지는 않습니다.

숄레스키 분해(Cholesky decomposition)는 모든 각 실수 양수-한정 대칭 행렬 $A$ 가 아래쪽-삼각 행렬 $L$ 과 그 전치의 곱이라고 말합니다: $A=LL^{\textsf {T}}.$

만약 행렬이 대칭 부정 행렬이면, 그것은 여전히 $PAP^{\textsf {T}}=LDL^{\textsf {T}}$ 로 분해될 수 있으며, 여기서 $P$ 는 순열 행렬 (피벗(pivot)해야 할 필요성에서 발생), $L$ 은 아래쪽 단위 삼각 행렬, 및 $D$ 는 대칭 $1\times 1$ 와 $2\times 2$ 블록의 직접 합이며, 이는 번치-코프먼 분해(Bunch–Kaufman decomposition)라고 불립니다.^[5]

일반적인 (복소수) 대칭 행렬은 결함이 있을 수 있고 따라서 대각화-가능(diagonalizable)이 아닙니다. 만약 $A$ 가 대각화-가능이면, 그것은 다음과 같이 분해될 수 있습니다: $A=Q\Lambda Q^{\textsf {T}}$ 여기서 $Q$ 는 직교 행렬 $QQ^{\textsf {T}}=I$ 이고, $\Lambda$ 는 $A$ 의 고윳값의 대각 행렬입니다. $A$ 가 실수 대칭인 특별한 경우에서, $Q$ 와 $\Lambda$ 도 역시 실수입니다. 직교성을 보기 위해, $\mathbf {x}$ 와 $\mathbf {y}$ 가 구별되는 고윳값 $\lambda _{1}$ , $\lambda _{2}$ 에 해당하는 고유벡터라고 가정합니다. 그런-다음 $\lambda _{1}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle A\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,A\mathbf {y} \rangle =\lambda _{2}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle .$

왜냐하면 $\lambda _{1}$ 과 $\lambda _{2}$ 가 구별되므로, $\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0$ 을 가집니다.

Hessian

실수 함수의 대칭 $n\times n$ 행렬은 $n$ 실수 변수의 두 번 미분-가능 함수의 헤세(Hessians)로 나타납니다 (반대에 대한 공통적인 믿음에도 불구하고, 이차 도함수의 연속성은 필요하지 않습니다^[6]).

$\mathbb {R} ^{n}$ 위의 모든 각 이차 형식(quadratic form) $q$ 는 대칭 $n\times n$ 행렬 $A$ 를 갖는 $q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{\textsf {T}}A\mathbf {x}$ 형식으로 고유하게 쓸 수 있습니다. 위의 스펙트럼 정리로 인해, 모든 각 이차 형식은, $\mathbb {R} ^{n}$ 의 직교정규 기저의 선택까지, 실수 $\lambda _{i}$ 를 갖는 다음"처럼 보입니다": $q\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}^{2}$ 이것은 원뿔 단면(conic sections)의 일반화인 수준 집합 $\left\{\mathbf {x} :q(\mathbf {x} )=1\right\}$ 의 연구뿐만 아니라 이차 형식의 연구를 상당히 단순화합니다.

이것은 부분적으로 모든 각 매끄러운 다중-변수 함수의 이차 행동이 함수의 헤세에 속하는 이차 형식으로 설명되기 때문에 중요합니다; 이것은 테일러의 정리(Taylor's theorem)의 결과입니다.

Symmetrizable matrix

$n\times n$ 행렬 $A$ 는 $A=DS$ 임을 만족하는 역-가능 대각 행렬(diagonal matrix) $D$ 와 대칭 행렬 $S$ 가 존재하면 대칭-가능(symmetrizable)이라고 말합니다.

대칭-가능 행렬의 전치는 대칭-가능인데, 왜냐하면 $A^{\mathrm {T} }=(DS)^{\mathrm {T} }=SD=D^{-1}(DSD)$ 이고 $DSD$ 가 대칭이기 때문입니다. 행렬 $A=(a_{ij})$ 이 대칭-가능인 것과 다음 조건이 충족되는 것은 필요충분 조건입니다:

$a_{ij}=0$ implies $a_{ji}=0$ for all $1\leq i\leq j\leq n.$
$a_{i_{1}i_{2}}a_{i_{2}i_{3}}\dots a_{i_{k}i_{1}}=a_{i_{2}i_{1}}a_{i_{3}i_{2}}\dots a_{i_{1}i_{k}}$ for any finite sequence $\left(i_{1},i_{2},\dots ,i_{k}\right).$

Notes

^ Jesús Rojo García (1986). Álgebra lineal (in Spanish) (2nd ed.). Editorial AC. ISBN 84-7288-120-2.
^ Horn, R.A.; Johnson, C.R. (2013). Matrix analysis (2nd ed.). Cambridge University Press. pp. 263, 278. MR 2978290.
^
See:
- Autonne, L. (1915), "Sur les matrices hypohermitiennes et sur les matrices unitaires", Ann. Univ. Lyon, 38: 1–77
- Takagi, T. (1925), "On an algebraic problem related to an analytic theorem of Carathéodory and Fejér and on an allied theorem of Landau", Jpn. J. Math., 1: 83–93, doi:10.4099/jjm1924.1.0_83
- Siegel, Carl Ludwig (1943), "Symplectic Geometry", American Journal of Mathematics, 65 (1): 1–86, doi:10.2307/2371774, JSTOR 2371774, Lemma 1, page 12
- Hua, L.-K. (1944), "On the theory of automorphic functions of a matrix variable I–geometric basis", Amer. J. Math., 66 (3): 470–488, doi:10.2307/2371910, JSTOR 2371910
- Schur, I. (1945), "Ein Satz über quadratische Formen mit komplexen Koeffizienten", Amer. J. Math., 67 (4): 472–480, doi:10.2307/2371974, JSTOR 2371974
- Benedetti, R.; Cragnolini, P. (1984), "On simultaneous diagonalization of one Hermitian and one symmetric form", Linear Algebra Appl., 57: 215–226, doi:10.1016/0024-3795(84)90189-7
^ Bosch, A. J. (1986). "The factorization of a square matrix into two symmetric matrices". American Mathematical Monthly. 93 (6): 462–464. doi:10.2307/2323471. JSTOR 2323471.
^ G.H. Golub, C.F. van Loan. (1996). Matrix Computations. The Johns Hopkins University Press, Baltimore, London.
^ Dieudonné, Jean A. (1969). Foundations of Modern Analysis (Enlarged and Corrected printing ed.). Academic Press. pp. Theorem (8.12.2), p. 180. ISBN 978-1443724265.

References

Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013), Matrix analysis (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6

External links

[1] Jesús Rojo García (1986). Álgebra lineal (in Spanish) (2nd ed.). Editorial AC. ISBN 84-7288-120-2.

[2] Horn, R.A.; Johnson, C.R. (2013). Matrix analysis (2nd ed.). Cambridge University Press. pp. 263, 278. MR 2978290.

[3] See:
Autonne, L. (1915), "Sur les matrices hypohermitiennes et sur les matrices unitaires", Ann. Univ. Lyon, 38: 1–77

Takagi, T. (1925), "On an algebraic problem related to an analytic theorem of Carathéodory and Fejér and on an allied theorem of Landau", Jpn. J. Math., 1: 83–93, doi:10.4099/jjm1924.1.0_83

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[4] Autonne, L. (1915), "Sur les matrices hypohermitiennes et sur les matrices unitaires", Ann. Univ. Lyon, 38: 1–77

[5] Takagi, T. (1925), "On an algebraic problem related to an analytic theorem of Carathéodory and Fejér and on an allied theorem of Landau", Jpn. J. Math., 1: 83–93, doi:10.4099/jjm1924.1.0_83

[6] Siegel, Carl Ludwig (1943), "Symplectic Geometry", American Journal of Mathematics, 65 (1): 1–86, doi:10.2307/2371774, JSTOR 2371774, Lemma 1, page 12

[7] Hua, L.-K. (1944), "On the theory of automorphic functions of a matrix variable I–geometric basis", Amer. J. Math., 66 (3): 470–488, doi:10.2307/2371910, JSTOR 2371910

[8] Schur, I. (1945), "Ein Satz über quadratische Formen mit komplexen Koeffizienten", Amer. J. Math., 67 (4): 472–480, doi:10.2307/2371974, JSTOR 2371974

[9] Benedetti, R.; Cragnolini, P. (1984), "On simultaneous diagonalization of one Hermitian and one symmetric form", Linear Algebra Appl., 57: 215–226, doi:10.1016/0024-3795(84)90189-7

[4] Bosch, A. J. (1986). "The factorization of a square matrix into two symmetric matrices". American Mathematical Monthly. 93 (6): 462–464. doi:10.2307/2323471. JSTOR 2323471.

[5] G.H. Golub, C.F. van Loan. (1996). Matrix Computations. The Johns Hopkins University Press, Baltimore, London.

[6] Dieudonné, Jean A. (1969). Foundations of Modern Analysis (Enlarged and Corrected printing ed.). Academic Press. pp. Theorem (8.12.2), p. 180. ISBN 978-1443724265.

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