Thales's theorem

기하학(geometry)에서, 탈레스의 정리는 만약 A, B, 및 C가 직선 AC가 지름(diameter)인 원(circle) 위에 구별되는 점이면, 각도(angle) ABC는 직각(right angle)이라고 말합니다. 탈레스의 정리는 내접-각 정리(inscribed angle theorem)의 특별한 경우(special case)이고 유클리드(Euclid)의 원론(Elements)의 세 번째 책에서 31번째 제안의 일부로 언급되고 입증되었습니다.^[1] 그것은 일반적으로 밀레토스의 탈레스(Thales of Miletus)로 공인되지만 때로는 피타고라스(Pythagoras)에 공인됩니다.

History

o se del mezzo cerchio faru si puote triangol sì ch'un retto non avesse.

Or if in semicircle can be made

Triangle so that it have no right angle.

Dante's Paradiso, Canto 13, lines 101–102. English translation by Henry Wadsworth Longfellow.

탈레스의 글은 현존하는 것이 없습니다; 고대 그리스(ancient Greece)에서 행해진 연구는 임의의 특정 지적 구성에 관련된 모든 개인에 대한 존중없이 지혜로운 사람들에게 기인되는 경향이 있습니다 – 이것은 특히 피타고라스의 경우에 참입니다. 귀착은 나중 시대에 발생하는 경향이 있었습니다.^[2] 탈레스에 대한 참조는 프로크로스(Proclus)와 디오게네스 라에르티오스(Diogenes Laërtius)에 의해 탈레스가 "원에서 직각 삼각형을 처음으로 내접했던 사람"이라는 파빌라(Pamphila)의 진술을 문서로 만들어졌습니다.^[3]

인도(Indian)와 바빌로니아 수학자들(Babylonian mathematician)은 탈레스가 그것을 입증하기 전에 특별한 경우에 대해 이것을 알고 있었습니다.^[4] 탈레스는 바빌론(Babylon)으로 여행하는 동안 반원(semicircle)에 내접된 각이 직각이라는 것을 배웠다고 믿어집니다.^[5] 그 정리는 이등변 삼각형(isosceles triangle)의 밑 각도가 같고, 삼각형에서 각의 합이 180°과 같다는 자신의 결과를 사용하여, 고대 자료에 의해 정리를 최초로 입증했다고 말했기 때문에 탈레스의 이름을 따서 지어졌습니다.

단테의 Paradiso (칸토 13, 101–102 행)는 연설 과정에서 탈레스의 정리를 참조합니다.

Proof

First proof

다음과 같은 사실이 사용됩니다: 삼각형(triangle)에서 각도 합은 180°와 같고 이등변 삼각형(isosceles triangle)의 밑각은 같습니다.

Provided AC is a diameter, angle at B is constant right (90°).
Figure for the proof.

OA = OB = OC이므로, ∆OBA과 ∆OBC는 이등변 삼각형이고, 이등변 삼각형의 밑각의 상등에 의해, ∠OBC = ∠OCB 및 ∠OBA = ∠OAB입니다.

α = ∠BAO 및 β = ∠OBC라고 놓습니다. ∆ABC 삼각형의 셋의 내구 각은 α, (α + β), 및 β입니다. 삼각형의 각도의 합은 180°과 같기 때문에, 우리는 다음을 가집니다:

\alpha +\left(\alpha +\beta \right)+\beta =180^{\circ }

2\alpha +2\beta =180^{\circ }

2(\alpha +\beta )=180^{\circ }

\therefore \alpha +\beta =90^{\circ }.

Q.E.D.

Second proof

그 정리는 역시 삼각법(trigonometry)을 사용하여 입증될 수 있습니다: $O=(0,0)$ , $A=(-1,0)$ , 및 $C=(1,0)$ 라고 놓습니다. 그런-다음 B는 단위 원 $(\cos \theta ,\sin \theta )$ 위의 한 점입니다. 우리는 ∆ABC가 AB와 BC가 직각(perpendicular) — 즉, 그것들의 기울기(slope)의 곱이 −1과 같음을 입증함으로써 직각을 형성함을 보일 것입니다. 우리는 AB와 BC에 대해 기울기를 계산합니다:

m_{AB}={\frac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}

및

m_{BC}={\frac {y_{B}-y_{C}}{x_{B}-x_{C}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta -1}}

그런-다음 우리는 그것들의 곱이 −1과 같음을 보입니다:

{\begin{aligned}&m_{AB}\cdot m_{BC}\\[8pt]={}&{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\cdot {\frac {\sin \theta }{\cos \theta -1}}\\[8pt]={}&{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta -1}}\\[8pt]={}&{\frac {\sin ^{2}\theta }{-\sin ^{2}\theta }}\\[8pt]={}&{-1}\end{aligned}}

피타고라스 삼각 항등식(Pythagorean trigonometric identity) $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$ 의 사용을 주목하십시오.

Third proof

$ABC$ 를 원에서 삼각형으로 놓으며 여기서 $AB$ 는 해당 원에서 지름입니다. 그런-다음 직선 $AB$ 에 걸쳐 삼각형 $ABC$ 를 거울같이 비추고 그것을 다시 한번 원의 중심을 통과하는 다음 원의 중심을 통과하는 $AB$ 에 수직인 직선에 걸쳐 거울같이 비춤으로써 새로운 삼각형 $ABD$ 를 구성하십시오. 직선 $AC$ 와 $BD$ 는 평행(parallel)이고, 마찬가지로 $AD$ 와 $CB$ 도 평행이므로, 사변형(quadrilateral) $ACBD$ 는 평행사변형(parallelogram)입니다. 직선 $AB$ 와 $CD$ 은 둘 다 원의 지름이고 따라서 같은 길이이므로, 평행사변형은 직사각형이어야 합니다. 직사각형에서 모든 각도는 직각입니다.

Converse

임의의 삼각형과, 특히 직각 삼각형에 대해, 삼각형의 모든 세 꼭짓점을 포함하는 정확히 하나의 원이 있습니다. (증명의 스케치. 둘의 주어진 점에서 같은-거리에 있는 점의 궤적은 점을 연결하는 선분의 수직 이등분선이라고 불리는 직선입니다. 삼각형의 임의의 두 변의 수직 이등분선은 정확히 한 점에서 교차합니다. 이 점은 삼각형의 꼭짓점에서 같은-거리에 있어야 합니다.) 이 원은 삼각형의 둘레-원(circumcircle)이라고 불립니다.

탈레스의 정리를 공식화하는 한 가지 방법은 다음입니다:

만약 삼각형의 둘레-원의 중심이 삼각형 위에 놓이면, 삼각형은 직각이고, 그것의 둘레-원의 중심은 그것의 빗변 위에 놓입니다.

탈레스의 정리의 전환은 그때에 다음입니다:

직각 삼각형의 둘레-원의 중심은 그것의 빗변 위에 놓입니다. (동등하게, 직각 삼각형의 빗변은 그것의 둘레-원의 지름입니다.)

Proof of the converse using geometry

이 증명은 직사각형(rectangle)을 형성하기 위해 직각 삼각형을 '완성'하고 해당 직사각형의 중심이 꼭짓점에서 같은-거리에 있고 따라서 원래 삼각형의 둘레-접하는 원의 중심임을 인식하는 것으로 구성되며, 다음 두 가지 사실을 활용합니다:

평행사변형(parallelogram)에서 인접한 각도는 보충입니다 (합해서 180°) 그리고,
직사각형의 대각선이 같고 그것들의 중앙 점에서 서로 교차합니다.

직각 ∠ABC, r A를 지나가는 BC와 평행한 직선과 s C를 지나가는 AB와 평행한 직선이 있다고 놓습니다. D를 직선 r과 s의 교차점으로 놓습니다 (D가 원 위에 놓임은 입증되지 않았음을 주목하십시오)

사변형 ABCD는 구성에 따라 평행사변형을 형성합니다 (왜냐하면 반대쪽 변이 평행하기 때문입니다). 평행사변형에서 인접 각도는 보충 (합해서 180°)이고 ∠ABC는 직각 (90°)이므로, 각도 ∠BAD, ∠BCD 및 ∠ADC는 역시 직각 (90°)입니다; 결과적으로 ABCD는 직사각형입니다.

O를 대각선 AC와 BD의 교차점으로 놓습니다. 그런-다음 점 O는, 위의 두 번째 사실에 의해, A, B, 및 C에서 같은-거리에 있습니다. 그리고 따라서 O는 둘레-접하는 원의 중심이고, 삼각형의 빗변 (AC)은 원의 지름입니다.

Alternate proof of the converse using geometry

빗변 $AC$ 를 갖는 직각 삼각형 $ABC$ 가 주어지면, 지름이 $AC$ 인 원 Ω을 구성하십시오. $O$ 를 Ω의 중심으로 놓습니다. $D$ 를 Ω과 반직선 $OB$ 의 교차점으로 놓습니다. 탈레스의 정리에 의해, ∠ $ADC$ 가 직각입니다. 그러나 그때에 $D$ 는 $B$ 와 같아야 합니다. (만약 $D$ 가 ∆ $ABC$ 안에 놓이면, ∠ $ADC$ 는 둔각이고, $D$ 가 ∆ $ABC$ 밖에 놓이면, ∠ $ADC$ 는 예각입니다.)

Proof of the converse using linear algebra

이 증명은 다음 두 사실을 활용합니다:

두 직선이 직각을 형성하는 것과 그것들의 방향 벡터(vector)의 점 곱(dot product)이 영인 것은 필요충분 조건입니다, 그리고
벡터의 길이의 제곱은 벡터와 그 자체의 점 곱에 의해 제공됩니다.

직각 ∠ABC와 AC를 지름으로 갖는 원 M이 있다고 놓습니다. M'의 중심이, 더 쉬운 계산을 위해, 원점 위에 놓인다고 놓습니다. 그런-다음 우리는 다음을 압니다:

A = − C인데, 왜냐하면 원점에 중심을 둔 원은 AC를 지름으로 갖기 때문이고,
(A − B) · (B − C) = 0인데, 왜냐하면 ∠ABC는 직각이기 때문입니다.

그것은 다음임을 따릅니다:

0 = (A − B) · (B − C) = (A − B) · (B + A) = |A|² − |B|².

따라서:

|A| = |B|.

이것은 A와 B는 원점, 즉, M의 중심에서 같은-거리에 있음을 의미합니다. A가 M 위에 놓이므로, B도 그렇고, 원 M은 따라서 삼각형의 둘레-원입니다.

위의 계산은 실제로 탈레스의 정리의 두 방향이 임의의 안의 곱 공간(inner product space)에서 유효함을 설립합니다.

Generalizations and related results

탈레스의 정리는 다음 정리의 특별한 경우입니다:

중심 O를 갖는 원 위의 셋의 점 A, B, 및 C가 주어지면, 각도 ∠AOC는 각도 ∠ABC의 두 배만큼 큽니다. 내접 각(inscribed angle)을 참조하여, 이 정리의 증명은 위에서 주어진 탈레스의 증명과 꽤 유사합니다.

탈레스의 정리에 대한 관련된 결과는 다음입니다:

만약 AC가 원의 지름이면, 다음입니다:

만약 B가 원 내부에 있으면, ∠ABC > 90°입니다.
만약 B가 원 위에 있으면, ∠ABC = 90°입니다.
만약 B가 원 밖에 있으면, ∠ABC < 90°입니다.

Application

탈레스의 정리는 주어진 점을 통과하는 주어진 원에 대한 접선(tangent)을 구성하기 위해 사용될 수 있습니다. 오른쪽 그림에서, 중심 O를 갖는 원 k와 k 외부의 점 P가 주어지면, H에서 OP를 이등분하고 중심 H를 갖는 반지름 OH의 원을 그립니다. OP는 이 원의 지름이므로, OP를 원이 교차하는 점 T와 T′에 연결하는 삼각형은 둘 다 직각 삼각형입니다.

탈레스의 정리는 역시 원보다 더 큰 삼각자(set square) 또는 직사각형 종이의 조각과 같은 직각을 가진 대상을 사용하여 원의 중심을 찾기 위해 사용될 수 있습니다.^[6] 각도는 그것의 둘레 어디든 배치됩니다 (그림 1). 둘레를 갖는 두 변의 교차점은 지름을 정의합니다 (그림 2). 다른 교차의 집합으로 이것을 반복하면 또 다른 지름이 생성됩니다 (그림 3). 중심은 지름의 교차점에 있습니다.

Notes

^ Heath, Thomas L. (1956). The thirteen books of Euclid's elements. New York, NY [u.a.]: Dover Publ. p. 61. ISBN 0486600890.
^ Allen, G. Donald (2000). "Thales of Miletus" (PDF). Retrieved 2012-02-12.
^ Patronis, T.; Patsopoulos, D. The Theorem of Thales: A Study of the naming of theorems in school Geometry textbooks. Patras University. Retrieved 2012-02-12.
^ de Laet, Siegfried J. (1996). History of Humanity: Scientific and Cultural Development. UNESCO, Volume 3, p. 14. ISBN 92-3-102812-X
^ Boyer, Carl B. and Merzbach, Uta C. (2010). A History of Mathematics. John Wiley and Sons, Chapter IV. ISBN 0-470-63056-6
^ Resources for Teaching Mathematics: 14–16 Colin Foster

References

Agricola, Ilka; Friedrich, Thomas (2008). Elementary Geometry. AMS. p. 50. ISBN 978-0-8218-4347-5. (restricted online copy, p. 50, at Google Books)
Heath, T.L. (1921). A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid. Vol. I. Oxford. pp. 131ff.

External links

Weisstein, Eric W. "Thales' Theorem". MathWorld.
Munching on Inscribed Angles
Thales's theorem explained, with interactive animation
Demos of Thales's theorem by Michael Schreiber, The Wolfram Demonstrations Project.

[1] Heath, Thomas L. (1956). The thirteen books of Euclid's elements. New York, NY [u.a.]: Dover Publ. p. 61. ISBN 0486600890.

[2] Allen, G. Donald (2000). "Thales of Miletus" (PDF). Retrieved 2012-02-12.

[Poetics-3] Patronis, T.; Patsopoulos, D. The Theorem of Thales: A Study of the naming of theorems in school Geometry textbooks. Patras University. Retrieved 2012-02-12.

[4] Laet, Siegfried J. (1996). History of Humanity: Scientific and Cultural Development. UNESCO, Volume 3, p. 14. ISBN 92-3-102812-X

[5] Boyer, Carl B. and Merzbach, Uta C. (2010). A History of Mathematics. John Wiley and Sons, Chapter IV. ISBN 0-470-63056-6

[6] Resources for Teaching Mathematics: 14–16 Colin Foster

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