Transfinite number

수학(mathematics)에서, 초월유한 숫자는 그것들이 모든 유한(finite) 숫자보다 크지만 반드시 절대적으로 무한(absolutely infinite)인 것은 아니라는 점에서 "무한(infinite)" 숫자입니다. 이것들은 무한 집합의 크기를 정량화하기 위해 사용되는 세는 숫자(cardinal number)인 초월유한 세는 숫자와 무한 집합의 순서화를 제공하기 위해 사용되는 순서 숫자(ordinal number)인 초월유한 순서 숫자를 포함합니다.^[1]^[2]^[3] 용어 transfinite는 1915년에 게오르크 칸토어(Georg Cantor)에 의해 만들어졌으며,^[4] 그는 유한이 아닌 이들 대상과 연결에서, 그럼에도 불구하고, 단어 무한의 함축의 일부를 피하기를 원했습니다. 현대 작가들은 이들 욕구를 거의 공유하지 않습니다; 이제 초월유한 세는 숫자(cardinals)와 순서 숫자(ordinals)를 "무한"으로 참조하기 위한 사용법을 허용합니다. 그럼에도 불구하고, 용어 "transfinite"는 역시 사용에서 남아 있습니다.

Definition

임의의 유한 숫자는 순서 숫자와 세는 숫자의 적어도 두 가지 방법으로 사용될 수 있습니다. 세는 숫자는 집합의 크기 (예를 들어, 다섯 구슬의 가방)를 지정하고, 반면에 순서 숫자는 순서화된 집합 (예를 들어, "왼쪽에서 세 번째 남자" 또는 "1월의 27번째 날짜") 안에서 구성원의 순서를 지정합니다.^[5] 초월유한 숫자로 확장될 때, 이들 두 개념이 구별됩니다. 초월유한 세는 숫자는 무한하게 큰 집합의 크기를 설명하기 위해 사용되고,^[3] 반면에 초월유한 순서 숫자는 순서화된 것인 무한하게 큰 집합 안의 위치를 설명하기 위해 사용됩니다.^[5] 가장 주목할만한 순서 숫자와 세는 숫자는 각각 다음과 같습니다:

$\omega$ (오메가(Omega)): 가장 작은 초월유한 순서 숫자. 그것은 역시 그것들의 보통의 선형 순서화 아래에서 자연수(natural number)의 순서 유형(order type)입니다.
$\aleph _{0}$ (알레프-영(Aleph-null)): 최초의 초월유한 세는 숫자. 그것은 역시 자연수의 무한 집합(infinite set)의 카디널리티(cardinality)입니다. 만약 선택의 공리(axiom of choice)가 유지되면, 다음의 더 높은 세는 숫자는 알레프-일(aleph-one), $\aleph _{1}$ 입니다. 그렇지 않으면, 알레프-일과 호환되지 않고 알레프-영보다 더 큰 다른 세는 숫자일 것입니다. 어느 쪽이든, 알레프-영과 알레프-일 사이의 세는 숫자가 없습니다.

연속체 가설(continuum hypothesis)은 $\aleph _{0}$ 과 연속체의 카디널리티(cardinality of the continuum) (실수(real number)의 집합의 카디널리티) 사이의 중간 세는 숫자가 없다: 또는 동등하게 $\aleph _{1}$ 이 실수의 집합의 카디널리티라는 명제입니다. 체르멜로–프렝켈 집합 이론(Zermelo–Fraenkel set theory)에서, 연속체 가설 또는 그것의 부정은 일관성의 위반없이 입증될 수 없습니다.

슈페이스(P. Suppes)와 루빈(J. Rubin)을 포함한 일부 저자는 "무한 세는 숫자"와 동등한 것이 아닐 수 있는 문맥에서; 즉, 셀-수-있는 선택의 공리(axiom of countable choice)가 가정되지 않거나 유지하는 것이 알려지지 않은 문맥에서 데데킨트-무한 집합(Dedekind-infinite set)의 카디널리티를 참조하기 위해 용어 초월유한 세는 숫자를 사용합니다. 이 정의가 주어지면, 다음은 모두 동등합니다:

${\mathfrak {m}}$ 는 초월유한 세는 숫자입니다. 즉, $A$ 의 카디널리티가 ${\mathfrak {m}}$ 임을 만족하는 데데킨트 무한 집합 $A$ 가 존재합니다.
${\mathfrak {m}}+1={\mathfrak {m}}.$
$\aleph _{0}\leq {\mathfrak {m}}.$
$\aleph _{0}+{\mathfrak {n}}={\mathfrak {m}}$ 를 만족하는 세는 숫자 ${\mathfrak {n}}$ 가 있습니다.

References

^ "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Infinite". Math Vault. 2019-08-01. Retrieved 2019-12-04.
^ "Definition of transfinite number | Dictionary.com". www.dictionary.com. Retrieved 2019-12-04.
^ ^a ^b "Transfinite Numbers and Set Theory". www.math.utah.edu. Retrieved 2019-12-04.
^ "Georg Cantor | Biography, Contributions, Books, & Facts". Encyclopedia Britannica. Retrieved 2019-12-04.
^ ^a ^b Weisstein, Eric W. "Ordinal Number". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-12-04.

Bibliography

Levy, Azriel, 2002 (1978) Basic Set Theory. Dover Publications. ISBN 0-486-42079-5
O'Connor, J. J. and E. F. Robertson (1998) "Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor," MacTutor History of Mathematics archive.
Rubin, Jean E., 1967. "Set Theory for the Mathematician". San Francisco: Holden-Day. Grounded in Morse–Kelley set theory.
Rudy Rucker, 2005 (1982) Infinity and the Mind. Princeton Univ. Press. Primarily an exploration of the philosophical implications of Cantor's paradise. ISBN 978-0-691-00172-2.
Patrick Suppes, 1972 (1960) "Axiomatic Set Theory". Dover. ISBN 0-486-61630-4. Grounded in ZFC.

[1] "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Infinite". Math Vault. 2019-08-01. Retrieved 2019-12-04.

[2] "Definition of transfinite number | Dictionary.com". www.dictionary.com. Retrieved 2019-12-04.

[:0-3] "Transfinite Numbers and Set Theory". www.math.utah.edu. Retrieved 2019-12-04.

[4] "Georg Cantor | Biography, Contributions, Books, & Facts". Encyclopedia Britannica. Retrieved 2019-12-04.

[:1-5] Weisstein, Eric W. "Ordinal Number". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-12-04.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Definition

See also

References

Bibliography