Underdetermined system

수학(mathematics)에서, 선형 방정식의 시스템(system of linear equations) 또는 다항 방정식의 시스템(system of polynomial equations)은, 만약 미지수보다 더 적은 방정식이 있으면, 미달-결정된(underdetermined) 것으로 여깁니다^[1] (대조적으로 초과-결정 시스템(overdetermined system)은 미지수보다 더 많은 방정식이 있습니다). 용어는 제약을 세는 것(constraint counting)의 개념을 사용하여 표현될 수 있습니다. 각 미지수(unknown)는 이용-가능한 자유도(degree of freedom)로 볼 수 있습니다. 시스템에 도입된 각 방정식은 1 자유도를 제한하는 제약(constraint)으로 보일 수 있습니다.

그러므로, (초과-결정과 미달-결정 사이의) 결정적 경우는 방정식의 숫자와 자유 변수의 숫자가 같을 때 발생합니다. 자유도를 제공하는 모든 각 변수에 대해, 자유도를 제거하는 해당하는 제약이 존재합니다. 미달-결정된(underdetermined) 경우는, 대조적으로, 시스템이 미달-제약되었을 때–즉, 미지수가 방정식의 숫자를 초과할 때 발생합니다.

Solutions of underdetermined systems

미달-결정된 선형 시스템은 해를 없는 것 또는 무수하게 많은 해 중에 하나를 가집니다.

예를 들어,

{\begin{aligned}x+y+z&=1\\x+y+z&=0\end{aligned}}

은 임의의 해가 없는 미달-결정 시스템입니다; 해를 가지지 않는 방정식의 임의의 시스템은 불일치된(inconsistent) 것이라고 말합니다. 다른 한편으로, 시스템

{\begin{aligned}x+y+z&=1\\x+y+2z&=3\end{aligned}}

은 일치된 것이고, (x, y, z) = (1, −2, 2), (2, −3, 2), 및 (3, −4, 2)와 같은, 해의 무한대를 가집니다. 이들 해의 모두는 먼저 두 번째 방정식을 첫 번째 방정식으로 빼고, 모든 해가 z=2를 만족해야 한다는 것을 보임으로써 특성화될 수 있습니다; 이것을 사용하여 두 방정식에서 y의 임의의 값은, x=–1–y과 함께, 가능한 것임을 보입니다.

보다 구체적으로, 루셰–카펠리 정리(Rouché–Capelli theorem)에 따라, (미달-결정된 또는 그렇지 않은) 선형 방정식의 임의의 시스템은 만약 증가된 행렬(augmented matrix)의 랭크(rank)가 계수 행렬(coefficient matrix)의 랭크보다 크면, 불일치된 것입니다. 만약, 다른 한편으로, 이들 두 행렬의 랭크가 같으면, 그 시스템은 적어도 하나의 해를 반드시 가집니다; 왜냐하면 미달-결정된 시스템에서 이 랭크는 반드시 미지수보다 적기 때문으로써, 사실 해의 무한대가 있으며, k 자유 매개변수를 가지는 일반적인 해이며 여기서 k는 변수의 숫자와 랭크 사이의 차이입니다.

미달-결정된 시스템이 해를 가지는지 여부를 결정하는 [[algorithm]|알고리듬(algorithm)]]이 있고, 만약 그것이 임의의 것을 가지면, 모든 해를 (위의 k와 같은) 변수 k의 선형 함수로 표현하는 것입니다. 가장 간단한 것 중 하나는 가우스 소거법(Gaussian elimination)입니다. 자세한 내용에 대해 선형 방정식 시스템(System of linear equations)을 참조하십시오.

Homogeneous case

(모든 상수 항으로 0을 갖는) 동차 미달-결정된 선형 시스템은 항상 비-자명한 해를 가집니다 (게다가 모든 미지수가 0인 자명한 해를 가집니다). 벡터 공간(vector space)을 형성하는, 그러한 해는 무한대가 있으며, 그 자원은 미지수와 시스템 행렬의 랭크(rank) 사이의 차이입니다.

Underdetermined polynomial systems

해가 없는 것 또는 무한히 많은 것 중에 하나를 가지는, 선형 미달-결정된 시스템의 주요 속성은 다음 방법으로 다항 방정식의 시스템(systems of polynomial equations)으로 확장됩니다.

미지수보다 더 적은 방정식을 갖는 다항 방정식의 시스템은 미달-결정된(underdetermined) 것이라고 말합니다. 그것은 무한히 많은 복소수 해 (또는, 보다 일반적으로, 대수적으로 닫힌 필드(algebraically closed field)의 해) 또는 불일치된 것을 가집니다. 그것이 불일치된 것과 0 = 1이 방정식의 (다항식 계수를 가진) 선형 조합인 것 (이것이 힐베르트의 영점정리(Hilbert's Nullstellensatz)입니다)은 필요충분 조건입니다. 만약 n 개의 변수에서 t 방정식의 미달-결정된 시스템 (t < n)이 해를 가지면, 모든 복소수 해의 집합은 적어도 n - t 차원(dimension)의 대수적 집합(algebraic set)입니다. 만약 미달-결정된 시스템이 무작위로 선택되면, 차원은 확률 1과 함께 n - t와 같습니다.