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Vacuous truth

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Original article: w:Vacuous truth

수학(mathematics)과 논리학(logic)에서, 공허한 진리(vacuous truth)는 전제(antecedent)를 만족(satisfied)시킬 수 없기 때문에 참인 조건부(conditional) 또는 보편적(universal) 명제(statement) (조건부 명제로 변환될 수 있는 보편적 명제)입니다.[1] 예를 들어, "방에 있는 모든 휴대전화가 꺼져 있다"라는 문장은 방에 휴대전화가 없을 때 진리(true)가 됩니다. 이 경우에서, 그 명제 "방에 있는 모든 휴대전화가 켜져 있다"는 역시 공허하게 진리가 될 것이고, "방에 있는 모든 휴대전화는 켜져 있고 꺼져 있다"라는 둘의 논리곱(conjunction)은 마찬가지로 참이 될 것이며, 그렇지 않으면 일관성 없고 거짓일 것입니다. 그런 이유로, 때때로 명제는 그것이 실제로 어떤 것도 말하지 않기 때문에 공허하게 진리라고 말합니다.[2]

보다 공식적으로, 상대적으로 잘-정의된(well-defined) 사용법은 거짓 전제(antecedent)를 갖는 조건부 명제 (또는 보편적 조건부 명제)를 참조합니다.[1][3][2][4] 그러한 명제의 한 예제는 "만약 런던이 프랑스에 있으면, 에펠탑은 볼리비아에 있다"입니다.

그러한 명제는 공허한 진실로 고려되는데, 왜냐하면 전제가 거짓이라는 사실은 결론(consequent)의 진리 값에 대한 어떤 것도 추론하기 위해 명제를 사용하는 것을 방지하기 때문입니다. 본질적으로, 실질적 조건부(material conditional)에 기초한 조건부 명제는 전제 (예제에서 "런던은 프랑스에 있다")가 결론 (예제에서 "에펠탑은 볼리비아에 있다")이 실질적 조건부가 해당 방법에서 정의되었기 때문에 참이든 거짓이든 관계없이 거짓일 때 참입니다.

일상 연설에서 흔히 볼 수 있는 예제는 "지옥이 얼어붙을 때..." 및 "돼지가 날 수 있을 때..."와 같은 조건부 문구를 포함하며, 주어진 (불가능한) 조건이 충족되기 전에는 화자가 각각의 (전형적으로 거짓이거나 터무니없는) 제안을 수락하지 않을 것임을 나타냅니다.

순수 수학(pure mathematics)에서, 공허하게 참인 명제는 일반적으로 그 자체로는 관심이 없지만, 그것들은 수학적 귀납법(mathematical induction)에 의한 증명의 기본 경우로 자주 등장합니다.[5] 이 개념은 순수 수학(pure mathematics)뿐만 아니라 고전적 논리(classical logic)를 사용하는 임의의 다른 분야와 관련성을 가집니다.

수학 이외의, 비공식적으로 공허하게 진리처럼 특성화될 수 있는 명제는 오해의 소지가 있습니다. 그러한 명제는 실제로 존재하지 않는 한정된 대상에 대한 합리적인 주장을 만듭니다. 예를 들어, 아이가 처음부터 아이의 접시에 야채가 없었을 때 아이는 부모에게 "나는 내 접시에 있는 모든 야채를 먹었습니다"라고 진실하게 말할 수 있습니다. 이 경우에서, 그 부모는 그것이 사실이 아님에도 불구하고 아이가 실제로 야채를 먹었다고 믿을 수 있습니다. 게다가, 공허한 진리는 종종 자신있게 무언가를 주장하거나 (예를 들어, "그 개가 빨간색이었거나, 나는 원숭이 삼촌이다"는 그 개가 빨간색이었음을 강력하게 주장하기 위한 것), 의심, 풍자, 불신, 믿기-싦음 또는 분노를 표현하기 위해 (예를 들어, "그게 맞으면, 나는 영국 여왕이야"는 이전에 만들어진 명제를 동의하지 않기 위한 것) 터무니없는 명제와 함께 구어체로 사용됩니다.

Scope of the concept

명제 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle S} 는 만약 그것이 전제(antecedent) Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle P} 가 거짓인 것으로 알려져 있는 실질적 조건부material conditional) 명제 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle P \Rightarrow Q} 와 닮았으면 "공허하게 진리"입니다.[1][3][2]

이 기본 형식 (실질적 조건부)으로 (적절한 변환과 함께) 줄어들 수 있는 공허하게 진리 명제는 다음 보편적으로 한정된(universally quantified) 명제를 포함합니다:

  • Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \forall x: P(x) \Rightarrow Q(x)} , 여기서 그것은 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \forall x: \neg P(x)} 이라는 경우입니다.[4]
  • Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \forall x \in A: Q(x)} , 여기서 집합(set) Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle A} 는 빈(empty) 것입니다.
    • 이 논리적 형식 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \forall x \in A: Q(x)} 은 전제(antecedent)를 쉽게 식별하기 위해 실질적 조건부 형식으로 변환될 수 있습니다. 위의 예제 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle S} "방에 있는 모든 휴대전화가 꺼져 있다"에 대해 그것은 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \forall x \in A: Q(x)} 로 형식적으로 쓰일 수 있으며 여기서 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle A} 는 방에 있는 모든 휴대전화의 집합이고 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle Q(x)} 는 "Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle x} 는 꺼져 있다"입니다. 이것은 실질적 조건부 명제 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \forall x \in B: P(x) \Rightarrow Q(x)} 로 쓰일 수 있으며 여기서 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle B} 는 (방에 존재하면 휴대전화를 포함하여) 방에 있는 모든 물건의 집합이며, 전제 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle P(x)} 는 "Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle x} 는 휴대전화이다"이고, 결론(consequent) Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle Q(x)} 는 "Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle x} 는 꺼져 있다"입니다.
  • Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \forall \xi: Q(\xi)} , 여기서 기호 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle \xi} 는 대표를 가지지 않는 유형(type)으로 제한됩니다.

공허한 진리는 둘의 진리 값을 갖는 고전적 논리(classical logic)에서 가장 공통적으로 나타납니다. 어쨌든, 공허한 진리는 역시, 예를 들어, 위에서 주어진 것과 같은 상황에서, 직관론적 논리(intuitionistic logic)에서 나타날 수 있습니다. 실제로, 만약 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle P} 가 거짓이면, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle P \Rightarrow Q} 는 실질적 조건부(material conditional)를 사용하는 임의의 논리에서 공허한 진리를 산출할 것입니다; 만약 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle P} 가 필요 허위(necessary falsehood)이면, 그것은 역시 엄격한 조건부(strict conditional) 아래에서 공허한 진실을 산출할 것입니다.

관련성 논리(relevance logic)와 같은 다른 비-고전적 논리는 대안적인 조건부 (예를 들어 역설적 조건부(counterfactual conditional))을 사용함으로써 공허한 진리를 피하려고 시도할 수 있습니다.

In computer programming

자바스크립트에서, 배열 메소드 every는 배열에 존재하는 각 원소에 대해 제공된 콜백 함수를 한 번 실행하고, 콜백 함수가 false를 반환하는 원소를 찾은 경우에 오직 중지합니다. 특히, 빈 배열에서 every 메서드를 호출하면 임의의 조건에 대해 true를 반환할 것입니다.[6]

Examples

하나는 수학에서, 다른 하나는 자연 언어(natural language)에서 가져온 이들 예제는 공허한 진리의 개념을 묘사합니다:

  • "임의의 정수 x에 대해, 만약 x > 5이면 x > 3입니다."[7] – 이 명제는 비-공허하게 참(true)이지만 (왜냐하면 일부 정수(integer)는 실제로 5보다 크기 때문임), 그 의미 중 일부는 단지 공허하게 참입니다: 예를 들어, x가 정수 2일 때, 그 명제는 "만약 2 > 5이면 2 > 3이다"라는 공허한 진리를 의미합니다.
  • "모든 내 자식은 염소다"는 자식이 없는 어떤 사람이 말할 때 공허한 진실입니다. 유사하게, "내 아이들 중 누구도 염소가 아니다"는 같은 사람이 말할 때 역시 공허한 진실이 될 것입니다.

See also

References

  1. ^ a b c "Vacuously true". web.cse.ohio-state.edu. Retrieved 2019-12-15.
  2. ^ a b c "Vacuously true - CS2800 wiki". courses.cs.cornell.edu. Retrieved 2019-12-15.
  3. ^ a b "Definition:Vacuous Truth - ProofWiki". proofwiki.org. Retrieved 2019-12-15.
  4. ^ a b Edwards, C. H. (January 18, 1998). "Vacuously True" (PDF). swarthmore.edu. Retrieved 2019-12-14.
  5. ^ Baldwin, Douglas L.; Scragg, Greg W. (2011), Algorithms and Data Structures: The Science of Computing, Cengage Learning, p. 261, ISBN 978-1-285-22512-8.
  6. ^ Mozilla Developer Network: Array.prototype.every()
  7. ^ "What precisely is a vacuous truth?".

Bibliography

External links

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