Vieta's formulas

수학(mathematics)에서, 비에타의 공식(Vieta's formulas)은 다항식(polynomial)의 계수(coefficient)를 그의 근(roots)의 합과 곱으로 관련시키는 공식입니다. 프랑수아 비에트(François Viète)의 이름을 따서 명칭이 지어졌으며 (보다 공통적으로 그의 이름의 라틴어로된 형식, 프란키스쿠스 비에타(Franciscus Vieta)로 참조됩니다), 그 공식은 대수학(algebra)에서 특별히 사용됩니다.

Basic formulas

차수 n의 임의의 일반적인 다항식은 다음과 같습니다:

P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}

(여기서 계수는 실수 또는 복소수이고 $a n \neq 0$ 입니다.) 이 방정식은 대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)에 의해 n (구별되는 것이 요구되지 않는) 복소수 근 $r 1, r 2, ..., r n$ 을 가지는 것으로 알려집니다. 비에타의 공식은 다항식의 계수를 다음과 같은 근 $r 1, r 2, ..., r n$ 의 곱의 부호화된 합과 관련시킵니다:

{\begin{cases}r_{1}+r_{2}+\dots +r_{n-1}+r_{n}=-{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\(r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+\cdots +r_{1}r_{n})+(r_{2}r_{3}+r_{2}r_{4}+\cdots +r_{2}r_{n})+\cdots +r_{n-1}r_{n}={\dfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\{}\quad \vdots \\r_{1}r_{2}\dots r_{n}=(-1)^{n}{\dfrac {a_{0}}{a_{n}}}.\end{cases}}

비에타의 공식은 동동하게, $k = 1, 2, ..., n$ 에 대해, 다음으로 쓰일 수 있습니다:

\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}\left(\prod _{j=1}^{k}r_{i_{j}}\right)=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}

.

(여기서 인덱스 $i k$ 는 $k$ 근의 각 곱이 정확히 한 번만 사용되는 것을 보증하기 위해 증가하는 순서로 정렬됩니다.)

비에타의 공식의 왼쪽 변은 근의 기본 대칭 함수(elementary symmetric function)입니다.

Generalization to rings

비에타의 공식은 임의의 정수 도메인(integral domain) $R$ 에서 계수를 가진 다항식과 함께 자주 사용됩니다. 그런-다음, 몫 $a_{i}/a_{n}$ 은 $R$ 의 분수의 링(ring of fractions)에 속하고 (만약 $a_{n}$ 이 $R$ 에서 역-가능한 것으로 발생하면 아마도 $R$ 자체에 있는) 근 $r_{i}$ 는 대수적으로 닫힌 확장(algebraically closed extension)에서 취합니다. 전형적으로, $R$ 은 정수(integer)의 링이고, 분수의 필드는 유리수(rational number)의 필드 및 대수적으로 닫힌 필드는 복소수(complex numbers)의 필드입니다.

비에타의 공식은, 그런-다음, 사용되는데 왜냐하면 공식은 근을 계산하는 것없이 근 사이의 관계를 제공합니다.

정수 도메인이 아닌 교환 링에 걸쳐 다항식에 대해, 비에타의 공식은 $a_{n}$ 이 영-인수가 아니고 $P(x)$ 인수는 $a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\dots (x-r_{n})$ 일 때 오직 유효합니다. 예를 들어, 정수 모듈로(modulo) 8의 링에서, 다항식 $P(x)=x^{2}-1$ 은 네 근: 1, 3, 5, 및 7을 가집니다. 비에타의 공식은, 만약, 말하자면, $r_{1}=1$ 및 $r_{2}=3$ 이면, 참이 아닌데, 왜냐하면 $P(x)\neq (x-1)(x-3)$ 이기 때문입니다. 어쨌든, $P(x)$ 는 $(x-1)(x-7)$ 및 $(x-3)(x-5)$ 로 인수분해되고, 비에타의 공식은 만약 우리가 $r_{1}=1$ 와 $r_{2}=7$ 또는 $r_{1}=3$ 와 $r_{2}=5$ 중에 하나로 정하면 유지됩니다.

Example

비에타의 공식은 이차 및 삼차 다항식에 적용됩니다:

이차 다항식(quadratic polynomial) $P(x)=ax^{2}+bx+c$ 의 근 $r_{1},r_{2}$ 은 다음을 만족시킵니다:

r_{1}+r_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}={\frac {c}{a}}.

이들 방정식의 첫 번째는 $P$ 의 최솟값 (또는 최댓값)을 찾기 위해 사용될 수 있습니다; Quadratic equation § Vieta's formulas를 참조하십시오.

삼차 다항식(cubic polynomial) $P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ 의 근 $r_{1},r_{2},r_{3}$ 은 다음을 만족시킵니다:

r_{1}+r_{2}+r_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}={\frac {c}{a}},\quad r_{1}r_{2}r_{3}=-{\frac {d}{a}}.

Proof

비에타의 공식은 다음 상등을 전개함으로써 입증될 수 있습니다:

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n})

(이것은 참인데 왜냐하면 $r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}$ 은 이 방정식의 모든 근이기 때문입니다), 오른쪽 변에 인수를 곱하고, $x$ 의 각 거듭제곱의 계수가 서로-같음을 이용합니다.

공식적으로, 만약 우리가 $(x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n})$ 을 전개하면, 항은 정확히 $(-1)^{n-k}r_{1}^{b_{1}}\cdots r_{n}^{b_{n}}x^{k}$ 이며, 여기서 $b_{i}$ 는, $r_{i}$ 가 곱에 포함 또는 그렇지 않은지 여부에 따라, 0 또는 1 중에 하나이고 k는 제외되는 $r_{i}$ 의 숫자이므로, 곱에서 인수의 전체 숫자는 n입니다 ( $x^{k}$ 는 중복도 k로 셉니다) – n 이진 선택 ( $r_{i}$ 또는 x를 포함하는)이 있으므로, $2^{n}$ 항이 있습니다 – 기하학적으로, 이들은 하이퍼규브(초입방체)의 꼭짓점으로 이해될 수 있습니다. 이들 항을 차수에 따라 묶으면 $r_{i}$ 에서 기본 대칭 다항식을 산출합니다 – x^k에 대해, $r_{i}$ 의 모든 구별되는 k-폴드 곱(들).

History

이름에 반영된 바와 같이, 공식은, 양의 근의 경우에 대해, 16세기 프랑스 수학자 프랑수아 비에트(François Viète)에 의해 발견되었습니다.

18세기 영국 수학자 찰스 허튼(Charles Hutton)의 의견에서, 펑카우서에 의해 인용된 것처럼,^[1] (양의 실수 근에 제한되지 않는) 일반적인 원리는 17세기 프랑스 수학자 알버트 지라드(Albert Girard)에 의해 처음으로 이해되었습니다:

...[지라드는] 근과 그들의 곱의 합으로부터 거듭제곱의 계수의 형성에 대한 일반적인 정리를 이해했던 첫 번째 사람이었습니다. 그는 임의의 방정식의 근의 거듭제곱을 합하는 것에 대해 규칙을 발견한 첫 번째 사람이었습니다.

References

^ (Funkhouser 1930)

"Viète theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Funkhouser, H. Gray (1930), "A short account of the history of symmetric functions of roots of equations", American Mathematical Monthly, 37 (7), Mathematical Association of America: 357–365, doi:10.2307/2299273, JSTOR 2299273
Vinberg, E. B. (2003), A course in algebra, American Mathematical Society, Providence, R.I, ISBN 0-8218-3413-4

Djukić, Dušan; et al. (2006), The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959–2004, Springer, New York, NY, ISBN 0-387-24299-6

[1] (Funkhouser 1930)

[1]