Quadratic equation

Original article: wikipedia:Quadratic equation

This article is about algebraic equations of degree two and their solutions. For functions defined by polynomials of degree two, see Quadratic function.

The quadratic formula for the roots of the general quadratic equation

대수학(algebra)에서, 이차 방정식(quadratic equation) ("square"에 대한 라틴어 quadratus으로부터)은 다음으로 표준 형식에서 재정렬될 수 있는 임의의 방정식입니다:

$ax^{2}+bx+c=0$

여기서 x는 미지수를 나타내고, a (여기서 a ≠ 0), b, 및 c는 알려진 숫자를 나타냅니다. 만약 a = 0이면, 방정식은 이차가 아닌 선형인데, 왜냐하면 $ax^{2}$ 항이 없기 때문입니다. 숫자 a, b, 및 c는 방정식의 계수(coefficient)이고, 각각, 이차 계수(quadratic coefficient), 선형 계수(linear coefficient) 및 상수(constant) 또는 자유 항(free term)으로 그들을 부름으로써 구별될 수 있습니다.

방정식을 만족하는 x의 값은 방정식의 해(solutions), 및 왼쪽-변의 근(roots) 또는 영(zeros)이라고 불립니다. 이차 방정식은 최대 두 개의 해를 가집니다. 만약 실수(real) 해가 없으면, 두 개의 복소수(complex) 해가 있습니다. 만약 오직 하나의 해가 있으면, 우리는 그것이 이중 근(double root)이라고 말합니다. 이차 방정식은, 만약 복소수 근이 포함되고 이중 근이 두 개로 세어지면, 항상 두 개의 근을 가집니다. 이차 방정식은 다음과 같은 동등한 방정식으로 인수화될 수 있습니다:

$ax^{2}+bx+c=a(x-r)(x-s)=0$

여기서 r 및 s는 x에 대해 해입니다. 표준 형식에서 이차 방정식에 대한 제곱식을 완성(completing the square)은 결과로 이차 공식(quadratic formula)을 생성했고, 이것은 a, b, 및 c의 관점에서 해를 표현합니다. 이차 방정식의 관점으로 표현될 수 있는 문제에 대한 해법은 기원전 2000년에 이미 알려져 있었습니다.

이차 방정식은 오직 하나의 미지수를 포함하기 때문에, "일변수(univariate)"라고 불립니다. 이차 방정식은 오직 비-음의 정수를 갖는 x의 거듭제곱(powers)을 포함하고, 그러므로 그것은 하나의 다항 방정식(polynomial equation)입니다. 특히, 그것은 이차 다항 방정식(second degree polynomial equation)인데, 왜냐하면 가장 큰 거듭제곱이 2이기 때문입니다.

Solving the quadratic equation

Figure 1. Plots of quadratic function y = ax² + bx + c, varying each coefficient separately while the other coefficients are fixed (at values a = 1, b = 0, c = 0)

실수(real) 또는 복소수(complex) 계수(coefficient)를 가진 이차 방정식은, 근(root)이라고 불리는, 두 개의 해를 가집니다. 이들 두 해는 구별 또는 구별되지 않을 수 있고, 그들은 실수 또는 실수가 아닐 수 있습니다.

Factoring by inspection

곱 (px + q)(rx + s) = 0으로 이차 방정식 ax² + bx + c = 0을 표현하는 것이 가능할 수 있습니다. 일부 경우에서, 간단한 검사를 통해, 두 형식을 서로 동일하게 만들 수 있는 p, q, r, 및 s의 값을 결정할 수 있습니다. 만약 이차 방정식이 두 번째 형식으로 쓰이면, "영 인수 속성(Zero Factor Property)"은 만약 px + q = 0 또는 rx + s = 0이면 이차 방정식이 만족된다고 말합니다. 이들 두 개의 선형 방정식을 푸는 것이 이차의 근을 제공됩니다.

대부분의 학생에 대해, 검사에 의한 인수화는 현재까지 드러난 이차 방정식을 푸는 첫 번째 방법입니다. 만약 x² + bx + c = 0의 형식으로 이차 방정식이 주어지면, 찾는 인수 분해는 형태 (x + q)(x + s)를 가지고, 합이 b이고 그의 곱이 c가 되는 두 숫자 q와 s를 반드시 찾아야 합니다 (이것은 때때로 "비에타의 규칙"이라 불리고, 비에타의 공식(Vieta's formulas)과 관련됩니다). 예제처럼, x² + 5x + 6은 (x + 3)(x + 2)로 인수화됩니다. 여기서 a가 1과 같지 않은, 보다 일반적인 경우는 시행과 착오 추측-과-점검에 상당한 노력을 요구하며, 그것은 검사에 의해 모두 인수화될 수 있음을 가정합니다.

여기서 b = 0 또는 c = 0와 같은 특별한 경우를 제외하고, 검사에 의한 인수화는 유리수 근을 가지는 이차 방정식에 대해 오직 동작합니다. 이것은 실제 응용에서 발생하는 대다수의 이차 방정식은 검사에 의한 인수화로써 해결될 수 없다는 것을 의미합니다.

Completing the square

Main article: Completing the square

Figure 2. For the quadratic function y = x² − x − 2, the points where the graph crosses the x-axis, x = −1 and x = 2, are the solutions of the quadratic equation x² − x − 2 = 0.

제곱식을 완성하는 과정은 다음과 같은 대수적 항등식을 사용합니다:

$x^{2}+2hx+h^{2}=(x+h)^{2},$

이것은 임의의 이차 방정식을 풀기 위해 사용될 수 있는 잘-정의된 알고리듬(algorithm)을 나타냅니다. 표준 형식에서 이차 방정식을 시작합니다: ax² + bx + c = 0

1. 이차 항의 계수, a로 양쪽 변을 나눕니다.
2. 양쪽 변에서 상수항 c/a를 뺍니다.
3. 양쪽 변에 x의 계수, b/a의 절반의 제곱을 더합니다. 이것은 "제곱식을 완성"하며, 왼쪽 변을 완전 제곱식으로 변환합니다.
4. 왼쪽 변을 완전제곱식을 쓰고 만약 필요하면 오른쪽 변을 단순화하십시오.
5. 왼쪽 변의 제곱근과 오른쪽 변의 양 및 음의 제곱근과 같게 함으로써 두 선형 방정식을 생성합니다.
6. 두 개의 선형 방정식을 풉니다.

우리는 2x² + 4x − 4 = 0을 푸는 것으로, 이 알고리듬의 사용법을 설명합니다:

$1)\ x^{2}+2x-2=0$

$2)\ x^{2}+2x=2$

$3)\ x^{2}+2x+1=2+1$

$4)\ \left(x+1\right)^{2}=3$

$5)\ x+1=\pm {\sqrt {3}}$

$6)\ x=-1\pm {\sqrt {3}}$

양-음 기호 "±"(plus-minus symbol "±")는 x = −1 + √3 및 x = −1 − √3 둘 다가 이차 방정식의 해임을 나타냅니다.

Quadratic formula and its derivation

Main article: Quadratic formula

제곱식을 완성(Completing the square)은 이차 방정식을 푸는 일반적인 공식을 도출하는(derive a general formula) 것에 사용될 수 있으며, 이를 이차 공식이라고 부릅니다. 수학적 증명(mathematical proof)은 이제 간단히 요약될 것이다. 다항식 전개(polynomial expansion)에 의해, 다음 방정식이 일반적인 이차 방정식과 동등하다는 것을 쉽게 보일 수 있습니다:

$\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}.$

양쪽 변에 제곱근(square root)을 취하고, x를 분리하면, 다음을 제공합니다:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.$

일부 자료, 특히 오래된 자료는, ax² + 2bx + c = 0 또는 ax² − 2bx + c = 0 와 같은 이차 방정식의 대안적인 매개변수화를 사용하며, 여기서 b는 보다 일반적인 것의 절반의 크기를 가지고, 반대 부호를 갖는 것도 가능합니다. 이들은 해에 대해 약간 다른 형태를 갖지만, 다른 부분들은 동일합니다.

여러 가지 대안적인 유도들(alternative derivations)이 문헌에서 찾아질 수 있습니다. 이들 증명은 표준적인 제곱식을 완성 방법보다 간단하며, 대수에서 자주 사용되는 다른 기법의 흥미로운 응용을 나타내거나, 또는 수학의 다른 분야에 대한 통찰력을 제공합니다.

뮬러의 방법(Muller's method)에서 사용되는 것처럼, 덜 알려진 이차 공식은 다음 방정식을 통해 같은 근을 제공합니다:

$x={\frac {-2c}{b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}.$

이것은 비에타의 공식(Vieta's formulas)에 의해 표준 이차 공식에서 추론될 수 있으며, 이것은 근의 곱이 c/a임을 주장합니다.

이 형태의 한 가지 속성은 a = 0일 때에도 하나의 유효한 근을 생성하고, 반면에 다른 근은 영에 의한 나눗셈을 포함하는데, 왜냐하면 a = 0일 때, 이차 방정식은 선형 방정식이 되므로, 그것은 하나의 근을 가지기 때문입니다. 이와 대조적으로, 이 경우에서, 보다 공통적인 공식은 하나의 근에 대해 영에 의한 나눗셈을 가지고 다른 근에 대해 불확정 형식(indeterminate form) 0/0을 가집니다. 다른 한편으로, c = 0일 때, 보다 공통적인 공식은 두 개의 정확한 근을 산출하는 반면 이 형태는 영 근과 불확정 형식 0/0을 산출합니다.

Reduced quadratic equation

그의 선행 계수(leading coefficient:최고차항의 계수)가 일이 되도록 이차 방정식을 줄이는 것이 때때로 편리합니다. 이것은 양쪽 변을 a로 나눔으로써 수행되며, 여기서 a는 영이 아니기 때문에 항상 가능합니다. 이것은 축소된 이차 방정식(reduced quadratic equation)을 생성합니다:

$x^{2}+px+q=0,$

여기서 p = b/a 및 q = c/a입니다. 이 일계수 방정식(monic equation)은 원래의 것과 같은 해를 가집니다.

그의 계수의 관점에서 쓰인, 축소된 이차 방정식의 해에 대한 이차 공식은 다음입니다:

$x={\frac {1}{2}}\left(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}\right),$

또는 동등하게:

$x=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}.$

Discriminant

Figure 3. Discriminant signs

이차 공식에서, 제곱근 기호 아래의 표현은 이차 방정식의 판별식(discriminant)으로 불리고, 대문자 D 또는 대문자 그리스 델타(delta)를 사용하여 종종 나타냅니다:

$\Delta =b^{2}-4ac.$

실수(real) 계수를 가진 이차 방정식은 하나 또는 두 개의 구별되는 실근, 또는 두 개의 구별되는 복소수 근을 가질 수 있습니다. 이 경우에서, 판별식은 근의 숫자와 본성을 결정합니다. 이들은 세 가지 경우입니다:

• 만약 판별식이 양수이면, 두 개의 구별되는 근이 있습니다:

${\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}},$

두 근 모두는 실수입니다. 유리수(rational) 계수를 가진 이차 방정식에 대해, 만약 판별식이 완전 제곱수(square number)이면, 근은 유리수이며—다른 경우에서 그들은 이차 무리근(quadratic irrational)일 것입니다.

• 만약 판별식이 영이면, 정확히 하나의 실수(real) 근이 있습니다:

$-{\frac {b}{2a}},$

때때로 반복된 또는 이중 근(double root)이라고 불립니다.

• 만약 판별식이 음이면, 실근은 없습니다. 게다가, 두 개의 구별되는 (비-실수) 복소수(complex) 근을 가집니다:

${\frac {-b}{2a}}+i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {-b}{2a}}-i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}},$

근들은 서로의 복소수 컬레(complex conjugate)입니다. 이들 표현에서 i는 허수 단위(imaginary unit)입니다.

따라서 근이 구별되는 것과 판별식이 비-영인 것은 필요충분 조건이고, 근이 실수인 것과 판별식이 비-음수인 것은 필요충분 조건입니다.

Geometric interpretation

Graph of y = ax² + bx + c, where a and the discriminant b² − 4ac are positive, with

• Roots and y-intercept in red
• Vertex and axis of symmetry in blue
• Focus and directrix in pink

Visualisation of the complex roots of y = ax² + bx + c: the parabola is rotated 180° about its vertex (orange). Its x-intercepts are rotated 90° around their mid-point, and the Cartesian plane is interpreted as the complex plane (green).

함수 f(x) = ax² + bx + c는 이차 함수입니다. 임의의 이차 함수의 그래프는 같은 일반적인 모양을 가지며, 이것은 포물선(parabola)이라고 불립니다. 포물선의 위치와 크기 및 어떻게 열리는지는, a, b, 및 c의 값에 따라 다릅니다. 그림 1에서와 같이, 만약 a > 0이면, 포물선은 최솟점을 가지고 위쪽으로 열립니다. 만약 a < 0이면, 포물선은 최댓점을 가지고 아래쪽으로 열립니다. 포물선의 극점은, 최소 또는 최대의 여부에 따라, 그의 꼭짓점(vertex)에 해당합니다. 꼭짓점의 x-좌표는 $\scriptstyle x={\tfrac {-b}{2a}}$에 위치할 것이고, 꼭짓점의 y-좌표는 이 x-값을 함수에 대입함으로써 구할 수 있습니다. y-절편은 점 (0, c)에 위치합니다.

이차 방정식 ax² + bx + c = 0의 해는 함수 f(x) = ax² + bx + c의 근(roots)에 해당하는데, 왜냐하면 그것들은 f(x) = 0에 대해 x의 값이기 때문입니다. 그림 2에 보이는 것처럼, 만약 a, b, 및 c가 실수이고 f의 도메인(domain)이 실수의 집합이면, f의 근은 그래프가 x-축에 닿는 점의 정확하게 x-좌표입니다. 그림 3에서 보이는 것처럼, 만약 판별식이 양수이면, 그래프는 두 점에서 x-축에 닿습니다; 만약 영이면, 그래프는 한 점에서 닿습니다; 그리고 만약 음이면, 그래프가 x-축에 닿지 않습니다.

Quadratic factorization

항

$x-r$

은 다음 다항식의 인수인 것과

$ax^{2}+bx+c$

r이 다음 이차 방정식의 근(root)인 것은 필요충분 조건입니다:

$ax^{2}+bx+c=0.$

그것은 다음인 이차 공식에서 따릅니다:

$ax^{2}+bx+c=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right).$

특별한 경우 b² = 4ac에서, 이차 방정식은 오직 하나의 구별되는 근을 가지며 (즉, 판별식이 영입니다), 이차 다항식은 다음으로 인수화(factorization)될 수 있습니다:

$ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}.$

Graphical solution

Figure 4. Graphing calculator computation of one of the two roots of the quadratic equation 2x² + 4x − 4 = 0. Although the display shows only five significant figures of accuracy, the retrieved value of xc is 0.732050807569, accurate to twelve significant figures.

A quadratic function without real root: y = (x − 5)² + 9. The "3" is the imaginary part of the x-intercept. The real part is the x-coordinate of the vertex. Thus the roots are 5 ± 3i.

이차 방정식

$ax^{2}+bx+c=0$

의 해는 이차 함수(quadratic function)

$y=ax^{2}+bx+c$

의 그래프(graph)로부터 추론될 수 있습니다. 이차 함수의 그래프는 포물선(parabola)입니다.

만약 포물선이 두 점에서 x-축과 교차하면, 두 개의 실수 근(roots)이 있으며, 그것은 이들 두 점의 x-좌표입니다 (역시 x-절편이라고 불립니다).

만약 포물선이 x-축에 접하면, 이중근이 있으며, 그것은 포물선과 x-축 사이의 만나는 점의 x-좌표입니다.

만약 포물선이 x-축과 교차하지 않으면, 두 개의 복소수 켤레(complex conjugate) 근이 있습니다. 비록 이들 근이 그래프 위에 시각화할 수 없을지라도, 그들의 실수 및 허수 부분(real and imaginary parts)은 있을 것입니다.

h와 k를 각각 포물선의 꼭짓점의 x-좌표와 y-좌표로 놓습니다 (즉, 최대 또는 최소 y-좌표를 갖는 점입니다). 이차 함수는 다음으로 쓸 수 있습니다:

$y=a(x-h)^{2}+k.$

d를 포물선의 축 위의 y-좌표 2k의 점과 같은 y-를 가진 포물선 위의 점 사이의 거리로 놓습니다 (그림을 참조하십시오; 같은 거리를 제공하는 두 개의 그런 점이 있는데, 왜냐하면 포물선의 대칭때문입니다). 그런 다음 근의 실수 부분은 h이고, 그들의 허수 부분은 ±d입니다. 즉, 근은 다음입니다:

$h+id\quad {\text{and}}\quad h-id,$

또는 그림의 예제의 경우에서, 다음입니다:

$5+3i\quad {\text{and}}\quad 5-3i.$

Avoiding loss of significance

비록 이차 공식이 정확한 해를 제공할지라도, 결과는, 보통 수치 해석학(numerical analysis)에서 처럼, 만약 실수(real number)가 계산동안 근사화되면, 여기서 실수는 부동 소수점 숫자(floating point number)로 근사화되므로 (많은 프로그래밍 언어(programming language)에서 "실수"라고 부릅니다), 정확하지 않습니다. 이러한 문맥에서, 이차 공식은 완전히 안정적(stable)이지 않습니다.

이것은 근의 다른 크기의 정도(order of magnitude)를 가질 때, 또는, 동등하게, b²와 b² − 4ac이 크기에서 비슷할 때, 발생합니다. 이 경우에서, 거의 같은 두 숫자를 빼는 것은 더 작은 근에서 유효숫자의 손실(loss of significance) 또는 치명적 취소(catastrophic cancellation)의 원인일 것입니다. 이를 피하기 위해, 크기에서 더 작은 근, r이 $(c/a)/R$으로 계산될 수 있습니다. 여기서 R은 크기가 큰 근입니다.

취소의 두 번째 형식은 판별식의 항 b²와 4ac 사이에서, 즉, 두 근이 매우 가까울 때, 발생할 수 있습니다. 이것은 근에서 정확한 유효 숫자의 최대 절반까지 손실로 이어질 수 있습니다.

Examples and applications

The trajectory of the cliff jumper is parabolic because horizontal displacement is a linear function of time $x=v_{x}t$, while vertical displacement is a quadratic function of time $y={\tfrac {1}{2}}at^{2}+v_{y}t+h$. As a result, the path follows quadratic equation $y={\tfrac {a}{2v_{x}^{2}}}x^{2}+{\tfrac {v_{y}}{v_{x}}}x+h$, where $v_{x}$ and $v_{y}$ are horizontal and vertical components of the original velocity, a is gravitational acceleration and h is original height. The a value should be considered negative here, as its direction (downwards) is opposite to the height measurement (upwards).

황금 비율(golden ratio:황금비)은 이차 방정식 $x^{2}-x-1=0$의 양의 해로 발견됩니다.

원(circle)의 방정식과 다른 원뿔 단면(conic sections)—타원(ellipse), 포물선(parabola), 및 쌍곡선(hyperbola)—은 두 변수에서 이차 방정식입니다.

각도의 코사인 또는 사인이 주어지면, 절반만큼 큰 각도(the angle that is half as large)의 코사인(cosine) 또는 사인(sine)을 찾는 것은 이차 방정식을 푸는 것을 포함합니다.

또 다른 표현의 제곱근을 포함하는 표현의 제곱근(square root of an expression involving the square root of another expression)을 포함하는 표현을 단순화하는 과정은 이차 방정식의 두 해를 찾는 것을 포함합니다.

데카르트의 정리(Descartes' theorem)는 모든 각 네 개의 접촉하는 (상호 접하는) 원에 대해, 그들의 반지름(radii)은 특정 이차 방정식을 만족시킨다고 말합니다.

이-중심 사변형(bicentric quadrilateral)의 내접원(inscribed circle)의 반지름, 그 둘레-원(circumscribed circle)의 반지름, 및 그들 원의 중심 사이의 거리 사이의 관계를 제공하는, 푸스의 정리(Fuss' theorem)에 의해 주어진 방정식은, 그들의 반지름 관점에서 두 원의 중심 사이의 거리가 해 중 하나라는 것에 대해, 이차 방정식으로 표현될 수 있습니다. 관련된 반지름 관점에서 같은 방정식의 다른 해는 외접원의 중심과 외부-접선의 사변형(ex-tangential quadrilateral)의 외접원(excircle)의 중심 사이의 거리를 제공합니다.

History

기원전 2000년 만큼 일찍, 바빌로니아 수학자(Babylonian mathematicians)는 (구 바빌로니아(Old Babylonian) 점토 태블릿(clay tablet)에 표시된) 사각형의 넓이와 변과 관련된 문제를 해결할 수 있었습니다. 신-수메르 제국(Third Dynasty of Ur)까지 거슬러 올라가도 이 알고리듬에 대한 기록된 증거가 있습니다. 현대 표기법에서, 그 문제는 전형적으로 다음과 같은 형식의 연립 방정식을 푸는 것과 관련됩니다:

$x+y=p,\ \ xy=q,$

이것은 x와 y가 다음 방정식의 근이라는 명제와 동등합니다:

$z^{2}+q=pz.$

위의 직사각형 문제를 해결하기 위해 바빌로니아 학자에 의해, x와 y의 관점에서, 제시된 단계는 다음과 같습니다:

1. p의 절반을 계산하십시오.
2. 결과를 제곱하십시오.
3. q를 빼십시오.
4. 제곱의 테이블을 사용하여 (양의) 제곱근을 찾으십시오.
5. 단계 (1)과 (4)의 결과를 더해서 x를 구하십시오.

현대의 표기법에서 이것은 $x={\frac {p}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}$을 계산했다는 의미입니다.

기하학적 방법은 바빌로니아, 이집트, 그리스, 중국 및 인도에서 이차 방정식을 풀기 위해 사용되었습니다. 중세 왕국(Middle Kingdom) (기원전 2050년에서 기원전 1650년)으로 거슬러 올라가는, 이집트 베를린 파피루스(Berlin Papyrus)는 이-항 이차 방정식에 대한 해를 포함합니다. 기원전 약 400년으로부터 바빌로니아 수학자와 기원전 약 200년으로부터 중국 수학자(Chinese mathematicians)는 양의 근을 가진 이차 방정식을 풀기 위해 해부체의 기하학적 방법(geometric methods of dissection)을 사용했습니다. 이차 방정식에 대해 규칙은, 수학에 관한 중국 논문, The Nine Chapters on the Mathematical Art에서 제공되었습니다. 이들 초기 기하 방법은 일반적인 공식을 가졌었던 것은 보이지 않습니다. 그리스 수학자(Greek mathematician), 유클리드(Euclid)는 기원전 약 300년에 보다 추상적 기하학적 방법을 만들었습니다. 순전히 기하학적 방법과 함께 피타고라스(Pythagoras)와 유클리드는 이차 방정식의 해를 찾기 위한 일반적인 절차를 만들었습니다. 그의 작품 Arithmetica에서, 그리스 수학자 디오판토스(Diophantus)는 이차 방정식을 풀었지만, 오직 하나의 근을 제공했으며, 심지어 두 근이 양수일 때도 그랬습니다.

기원후 628년에서, 인도의 수학자(Indian mathematician) 브라마굽타(Brahmagupta)는 다음으로 이차 방정식 ax² + bx = c의 첫 번째 명시적 (비록 여전히 완전하게 일반적은 아닐지라도) 해를 제공했습니다: "절대 숫자에 제곱[의 계수]의 네 배를 곱한 후에, 중간 항[의 계수]의 제곱을 더합니다; 그 숫자의 제곱근, 중간 항[의 계수]을 빼십시오, 제곱[의 계수] 두 배를 나누면 그 값입니다." (Brahmasphutasiddhanta, 콜브룩 번역, 1817, 페이지 346) 이것은 다음과 동등합니다:

$x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}.$

기원후 7세기에 인도에서 쓰인 Bakhshali Manuscript는 이차 방정식과 이차 불확정 방정식(indeterminate equation) (원래 ax/c = y의 방정식)을 푸는 대수적 공식을 포함했습니다. 브라마굽타에게서 영감을 얻은 무하마드 이븐 무사 알-콰리즈미(Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī) (페르시아(Persia), 9세기)는 양의 해에 대해 동작하는 일련의 공식을 개발했습니다. 알-콰리즈미는 나아가서 일반적인 이차 방정식에 대한 완전한 해를 제공했으며, 모든 각 이차 방정식에 대해 하나 또는 두 개의 숫자의 답을 받아들이면서, 과정에서 기하학적 증명(proofs)을 제공했습니다. 그는 제곱식 완성의 방법을 역시 설명하고 판별식(discriminant)이 반드시 양이어야 함을 인식했으며, 이것은 현대의 압드 알-하미드 이븐 터크('Abd al-Hamīd ibn Turk) (중앙 아시아, 9세기)에 의해 입증되었는데, 그는 만약 판별식이 음이면, 이차 방정식은 해를 가지지 않음을 입증하기 위해 기하학적 그림을 제공했습니다. 알-콰리즈미 자신은 음의 해를 받아들이지 않았지만, 나중에 그를 계승한 이슬람 수학자들(Islamic mathematicians)은 음의 해, 마찬가지로 해로 무리수(irrational number)를 받아들였습니다. 아부 카밀 쇼하 이븐 아슬람(Abū Kāmil Shujā ibn Aslam) (이집트, 10세기)은 특히 이차 방정식에 대한 해 또는 방정식에서 계수(coefficient)로 (종종 제곱근(square root), 세제곱근(cube root) 또는 네 번째 근(fourth root)의 형태에서) 무리수를 처음으로 받아들였습니다. 9세기 인도의 수학자 스리다라(Sridhara)는 이차 방정식을 풀기 위한 규칙을 썼었습니다.

유대인 수학자 아브라함 바르 히야 하-나시(Abraham bar Hiyya Ha-Nasi) (12세기, 스페인)는 일반적인 이차 방정식에 대한 완전한 해를 포함하는 최초의 유럽 책을 저술했습니다. 그의 해는 알-콰리즈미의 연구에 주로 기반을 두었습니다. 중국의 수학자 양 휘(Yang Hui) (기원후 1238–1298)의 글은, 비록 그가 이것을 이전의 Liu Yi에 공한한 것으로 여길지라도, 'x'의 음의 계수를 가진 이차 방정식이 나타나는 최초의 것으로 알려져 있습니다. 1545년 제롤라모 카르다노(Gerolamo Cardano)는 이차 방정식과 관련된 연구를 정리했습니다. 모든 경우를 포괄하는 이차 공식은 1594년에 시몬 스테빈(Simon Stevin)에 의해 처음으로 획득되었습니다. 1637년에서 르네 데카르트(René Descartes)는 우리가 오늘날 아는 형태에서 이차 공식을 포함하는 La Géométrie를 출판했습니다. 현대 수학 문헌에서 일반적인 해의 최초의 등장은 헨리 히튼(Henry Heaton)의 1896년 논문에 나타났습니다.

Advanced topics

Alternative methods of root calculation

Vieta's formulas

Main article: Vieta's formulas

Figure 5. Graph of the difference between Vieta's approximation for the smaller of the two roots of the quadratic equation x² + bx + c = 0 compared with the value calculated using the quadratic formula. Vieta's approximation is inaccurate for small b but is accurate for large b. The direct evaluation using the quadratic formula is accurate for small b with roots of comparable value but experiences loss of significance errors for large b and widely spaced roots. The difference between Vieta's approximation versus the direct computation reaches a minimum at the large dots, and rounding causes squiggles in the curves beyond this minimum.

비에타의 공식은 다항식의 근과 계수 사이의 간단한 관계를 제공합니다. 이차 다항식의 경우에서, 그들은 다음 형식을 취합니다:

$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}$

및

$x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}.$

이들 결과는 다음 관계로부터 즉시 따릅니다:

$\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)=x^{2}-\left(x_{1}+x_{2}\right)x+x_{1}x_{2}=0,$

이것은 다음과 항별로 비교될 수 있습니다:

$x^{2}+(b/a)x+c/a=0.$

위의 첫 번째 공식은 이차 함수를 그래프로 그릴 때 편리한 표현을 제공합니다. 그래프는 꼭짓점(vertex)을 통과하는 수직 직선에 관해서 대칭이므로, 두 실수 근이 있을 때, 꼭짓점의 x-좌표는 근 (또는 절편)의 평균에 위치됩니다. 따라서 꼭짓점의 x-좌표는 다음 표현으로 제공됩니다:

$x_{V}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}=-{\frac {b}{2a}}.$

y-좌표는 위의 결과를 주어진 이차 방정식으로 대입함으로써 얻어질 수 있습니다:

$y_{V}=-{\frac {b^{2}}{4a}}+c=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}.$

실질적인 문제에서 처럼, 비에타의 공식은 하나의 근이 다른 근보다 훨씬 작은 경우에서 이차의 근을 찾는 것에 대해 유용한 방법을 제공합니다. 만약 | x ₂| << | x ₁|이면, x ₁ + x ₂ ≈ x ₁이고, 우리는 다음 추정을 가집니다:

$x_{1}\approx -{\frac {b}{a}}.$

두 번째 비에타의 공식은 그런 다음 다음을 제공합니다:

$x_{2}={\frac {c}{ax_{1}}}\approx -{\frac {c}{b}}.$

이들 공식은 하나의 큰 근과 하나의 작은 근의 조건 아래에서 이차 공식보다 평가하는 것이 훨씬 더 쉬운데, 왜냐하면 이차 공식은 작은 근을 (큰 b의 경우에서) 두 개의 거의 같은 숫자의 차이로 평가하기 때문으로써, 이것은 수치적 평가에서 반올림 오차(round-off error)의 원인이 됩니다. 그림 5는 (i) 이차 공식을 사용하여 직접 평가 (근은 값에서 서로 가까울 때 정확합니다) 및 (ii) 위의 비에타의 공식의 근사를 기초로 한 평가 (근이 넓게 띄워져 있을 때 정확합니다) 사이의 차이를 보여줍니다. ). 선형 계수 b가 증가함에 따라, 초기의 이차 공식이 정확하고, 근사 공식은 정확도를 개선시키며, b가 증가함에 따라 방법들 사이의 더 작은 차이를 이끕니다. 어쨌든, 어떤 점에서 이차 공식은 반올림 오차로 인해 정확도가 떨어지기 시작하지만, 반면에 근사 방법은 개선이 계속 이어집니다. 결과적으로, 방법들 사이의 차이는 증가하기 시작하는데 왜냐하면 이차 공식은 점점 더 나빠지기 때문입니다.

이 상황은 증폭기 설계에서 공통적으로 발생하는데, 여기서 넓게 분리된 근은 안정적인 동작을 보장하기 위해 강력하게 요구됩니다. (계단 응답(step response)을 참조하십시오).

Trigonometric solution

계산기를 사용하기 전에서, 사람들은 계산을 단순화하고 속도를 높이기 위해 수학 테이블(mathematical table)–다양한 인수를 가진 계산의 결과를 보여주는 숫자의 목록–을 사용했을 것입니다. 로그 및 삼각함수의 테이블은 수학 및 과학 교과서에서 공통이었습니다. 전문화된 테이블은 천문학, 천체 항법 및 통계와 같은 응용에 대해 출판되었습니다. 곱셈과 거듭제곱 및 근을 취하는 것과 같은 시간-소비 연산에 대한 지름길을 제공했던, 프로스타페레시스(prosthaphaeresis)라고 불리는, 수치적 근사의 방법이 존재했습니다. 천문학자들은, 특히, 천체 역학(celestial mechanics) 계산에서 관련된 일련의 긴 계산의 속도를 높일 수 있는 방법에 관심이 있었습니다.

이러한 문맥 안에서 우리는 삼각 치환의 도움에 의해 이차 방정식을 푸는 방법의 개발을 이해할 것입니다. 다음 이차 방정식의 대안적인 형식을 생각해 보십시오:

[1]   $ax^{2}+bx\pm c=0,$

여기서 ± 기호의 부호는 선택되므로 a와 c가 둘 다 양수가 될 것입니다. 표현에 다음을 대입하고

[2]   $x={\sqrt {c/a}}\tan \theta$

그런 다음 양쪽 변에 cos²θ을 곱함으로써, 우리는 다음을 획득합니다:

[3]   $\sin ^{2}\theta +{\frac {b}{\sqrt {ac}}}\sin \theta \cos \theta \pm \cos ^{2}\theta =0.$

2θ의 함수를 도입하고 다시-정렬하면, 다음을 획득합니다:

[4]   $\tan 2\theta _{n}=+2{\frac {\sqrt {ac}}{b}},$

[5]   $\sin 2\theta _{p}=-2{\frac {\sqrt {ac}}{b}},$

여기서 아래첨자 n과 p는 각각 식 [1]의 음 또는 양의 부호의 사용에 해당합니다. 방정식 [4] 또는 [5]에서 찾은 θ_n 또는 θ_p의 두 값을 [2]로 대체하면 [1]의 요구된 근을 제공합니다. 복소수 근은, 만약 sin 2θ_p의 절댓값이 단위(1)를 초과하면 방정식 [5]을 근거로 해에서 발생합니다. 이 혼합된 삼각법과 지수 테이블 찾기 전략을 사용하여 이차 방정식을 푸는 데 드는 노력의 양은 오직 대수 테이블을 사용하는 노력의 2/3였습니다. 복소수 근을 계산하는 것은 다른 삼각법 형식을 사용하는 것이 요구될 것입니다.

설명하기 위해, 우리는 일곱-자리 로그 및 삼각 테이블을 사용할 수 있고, 여섯-유효숫자 정확도로 다음을 풀기를 원한다는 가정을 놓습니다:

$4.16130x^{2}+9.15933x-11.4207=0$

1. 일곱-자리 찾기 테이블은 오직 100,000 엔트리를 가질 것이고, 일곱 자리에 대한 중간 결과를 계산하려면 일반적으로 인접한 엔트리 사이의 보간이 필요할 것입니다.
2. $\log a=0.6192290,\log b=0.9618637,\log c=1.0576927$
3. $2{\sqrt {ac}}/b=2\times 10^{(0.6192290+1.0576927)/2-0.9618637}=1.505314$
4. $\theta =(\tan ^{-1}1.505314)/2=28.20169^{\circ }{\text{ or }}-61.79831^{\circ }$
5. $\log |\tan \theta |=-0.2706462{\text{ or }}0.2706462$
6. $\log {\sqrt {c/a}}=(1.0576927-0.6192290)/2=0.2192318$
7. $x_{1}=10^{0.2192318-0.2706462}=0.888353$ (여섯 유효숫자에 대해 반올림됩니다)

$x_{2}=-10^{0.2192318+0.2706462}=-3.08943$

Solution for complex roots in polar coordinates

만약 실수 계수를 가진 이차 방정식 $ax^{2}+bx+c=0$이 두 복소수 근을 가지면—a와 c가 서로 같은 부호를 가지는 것이 요구되는, $b^{2}-4ac<0$인 경우이면—근에 대해 해는 극 형식에서 다음으로 표현될 수 있습니다:

$x_{1},\,x_{2}=r(\cos \theta \pm i\sin \theta ),$

여기서 $r={\sqrt {\tfrac {c}{a}}}$ and $\theta =\cos ^{-1}\left({\tfrac {-b}{2{\sqrt {ac}}}}\right)$입니다.

Geometric solution

Figure 6. Geometric solution of ax² + bx + c = 0 using Lill's method. Solutions are −AX1/SA, −AX2/SA

이차 방정식은 여러가지 방법에서 기하학적으로 해결될 수 있습니다. 한 가지 방법은 릴의 방법(Lill's method)을 통한 것입니다. 세 개의 계수 a, b, c는 그림 6에서 SA, AB, 및 BC에서 처럼 그들 사이에 직각으로 그려집니다. 원은 지름으로 SC의 시작점과 끝점을 갖도록 그려집니다. 만약 이것이 세 개 중의 중간 직선 AB를 절단하면 방정식은 해를 가지고, 해는 A로부터 이 직선을 따른 거리를 첫 번째 계수 a 또는 SA로 나눈 것의 음의 값으로 제공됩니다. 만약 a가 1이면 계수를 직접 읽을 수 있습니다. 따라서 그림에서 해는 −AX1/SA 및 −AX2/SA입니다.

Carlyle circle of the quadratic equation x² − sx + p = 0.

토머스 칼라일(Thomas Carlyle)의 이름을 딴, 칼라일 원(Carlyle circle)은 이차 방정식의 해가 원과 수평 축(horizontal axis)의 교점의 수평 좌표라는 속성을 가집니다. 칼라일 원은 정다각형(regular polygon)의 직선자-와-컴퍼스 구성(ruler-and-compass construction)을 개발하기 위해 사용되어 왔습니다.

Generalization of quadratic equation

만약 계수 a, b 및 c가 복소수, 또는 보다 일반적으로 특성(characteristic)이 2가 아닌 임의의 필드(field)의 구성원이면, 공식과 그의 파생은 옳은 것으로 남습니다. (특성 2의 필드에서, 원소 2a는 0이고 그것은 그것에 의해 나누어지는 것은 불가능입니다.)

공식에서 기호

$\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}$

는 "만약 그런 원소가 존재하다면, 제곱이 b² − 4ac인 두 원소 중 하나"로 이해되어야 합니다. 일부 필드에서, 일부 원소는 제곱근을 가지지 않고 일부는 두 개를 가집니다; 특성 2의 필드를 제외하고, 오직 영이 하나의 제곱근을 가집니다. 비록 필드가 어떤 숫자의 제곱근을 포함하지 않더라도, 항상 이차 확장 필드(extension field)가 있으므로, 이차 공식은 해당 확장 필드에서 공식으로 항상 의미를 가질 것입니다.

Characteristic 2

특성 2의 필드에서, 단위(unit)가 되는 것이 2에 의존하는 이차 공식은 유지되지 않습니다. 특성 2의 필드에 걸쳐 다음 일계수(monic) 이차 다항식을 생각해 보십시오:

$x^{2}+bx+c$.

만약 b = 0이면, 해는 제곱근을 추출하는 것으로 감소하므로, 해는 다음입니다:

$x={\sqrt {c}}$

그리고 오직 하나의 해가 있는데 왜냐하면

$-{\sqrt {c}}=-{\sqrt {c}}+2{\sqrt {c}}={\sqrt {c}}.$

요약해서,

$\displaystyle x^{2}+c=(x+{\sqrt {c}})^{2}.$

유한 필드에서 제곱근 추출에 대한 자세한 정보에 대해 이차 잔여(quadratic residue)를 참조하십시오.

b ≠ 0인 경우에서, 두 개의 구별되는 근이 있지만, 만약 다항식이 기약(irreducible)이면, 그들은 계수 필드에서 숫자의 제곱근의 관점으로 절대 표현될 수 없습니다. 대신에, c의 2-제곱근 R(c)를 다항식 x² + x + c의 근, 해당 다항식의 분할 필드(splitting field)의 원소임을 정의합니다. 그러면, R(c) + 1이 역시 근임을 확인합니다. 2-제곱근 연산의 관점에서, (비-일계수) 이차 ax² + bx + c의 두 근은 다음입니다:

${\frac {b}{a}}R\left({\frac {ac}{b^{2}}}\right)$

및

${\frac {b}{a}}\left(R\left({\frac {ac}{b^{2}}}\right)+1\right).$

예를 들어, a를, 차수 4의 갈루아 필드(Galois field), F₄의 단위의 원소의 생성기를 나타내는 것으로 놓습니다. 따라서 a와 a + 1는 F₄에 걸쳐 x² + x + 1의 근입니다. 왜냐하면 (a + 1)² = a이기 때문에, a + 1은 이차 방정식 x² + a = 0의 유일한 해입니다. 다른 한편으로, 다항식 x² + ax + 1은 F₄에 걸쳐 기약이지만, 그것은 F₁₆으로 분할되며, 여기서 그것은 두 근 ab 및 ab + a를 가지며, 여기서 b는 F₁₆에서 x² + x + a의 근입니다.

이것은 아르틴–슈라이어 이론(Artin–Schreier theory)의 특별한 경우입니다.

See also

• Chakravala method
• Completing the square
• Cubic function
• Fundamental theorem of algebra
• Linear equation
• Parabola
• Periodic points of complex quadratic mappings
• Quadratic function
• Quadratic polynomial
• Quartic function
• Quintic function
• Solving quadratic equations with continued fractions

External links

• "Quadratic equation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Quadratic equations". MathWorld.
• 101 uses of a quadratic equation
• 101 uses of a quadratic equation: Part II