Weak solution

수학(mathematics)에서, 보통의 미분 방정식 또는 부분 미분 방정식(partial differential equation)에 대한 약한 해(weak solution, 역시 일반화된 해라고 불림)는 도함수가 모두 존재하지 않을 수 있지만 그럼에도 불구하고 정확하게 정의된 의미에서 방정식을 만족시키는 것으로 여겨지는 함수(function)입니다. 다양한 방정식의 클래스에 적합한 약한 해의 많은 다른 정의가 있습니다. 가장 중요한 것 중 하나는 분포(distributions)의 개념을 기반으로 합니다.

분포의 언어를 피하여, 미분 방정식으로 시작하여 방정식 해의 도함수가 표시되지 않는 방법으로 그것을 다시 씁니다 (새로운 형식은 약한 형식화(weak formulation)라고 불리고, 그에 대한 해는 약한 해라고 불립니다). 다소 놀랍게도, 미분 방정식은 미분-가능(differentiable)이 아닌 해를 가질 수 있습니다; 그리고 약한 형식화는 그러한 해를 찾는 것을 허용합니다.

약한 해는 중요한데 왜냐하면 실제 현상을 모델링할 때 접하는 많은 미분 방정식은 충분하게 매끄러운 해를 허용하지 않고, 그러한 방정식을 푸는 유일한 방법은 약한 형식화를 사용하는 것이기 때문입니다. 심지어 방정식이 미분-가능 해를 가지는 상황에서, 먼저 약한 해의 존재를 입증하고 나중에 해당 해가 실제로 충분히 매끄럽다는 것을 보여주는 것이 편리한 경우가 있습니다.

A concrete example

개념을 설명하기 위해, 일-차 파동 방정식(wave equation)을 생각해 보십시오:

{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial u}{\partial x}}=0

(1)

여기서 u = u(t, x)는 두 실수(real) 변수의 함수입니다. 가능한 해 u의 속성을 간접적으로 조사하기 위해, 다음을 취하여, 테스트 함수로 알려진 컴팩트 지원(compact support)의 임의적인 매끄러운 함수(smooth function) $\varphi \,\!$ 에 대해 적분합니다:

\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(t,x)\,\varphi (t,x)\,dx\,dt

예를 들어, $\varphi$ 가 점 $(t,x)=(t_{\circ },x_{\circ })$ 근처에 집중된 매끄러운 확률 분포이면, 적분은 근사적으로 $u(t_{\circ },x_{\circ })$ 입니다. 적분은 $-\infty$ 에서 $-\infty$ 로 이동하지만, 그것들은 필연적으로 $\varphi$ 가 비-영인 유한 상자에 걸쳐 있음을 주목하십시오.

따라서, 해 u가 유클리드 공간 R² 위에 연속적으로 미분-가능이라고 가정하고, 방정식 (1)에 테스트 함수 $\varphi$ (컴팩트 지원의 매끄러움)를 곱하고, 적분합니다:

\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u(t,x)}{\partial t}}\varphi (t,x)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x+\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u(t,x)}{\partial x}}\varphi (t,x)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x=0.

적분의 순서와 부분에 의한 적분 (첫 번째 항에 대해 t에서, 두 번째 항에 대해 x에서)을 교환할 수 있는 푸비니의 정리(Fubini's theorem)를 사용하여, 이 방정식은 다음이 됩니다:

-\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(t,x){\frac {\partial \varphi (t,x)}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x-\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(t,x){\frac {\partial \varphi (t,x)}{\partial x}}\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x=0.

(2)

( $\varphi$ 가 유한 상자 외부에서 영이기 때문에 경계 항은 사라집니다.) 우리는 방정식 (1)이 u가 연속적으로 미분-가능인 한 방정식 (2)를 의미함을 보여주었습니다.

약해 해의 개념에 대한 핵심은 임의의 $\varphi$ 에 대해 방정식 (2)를 만족시키는 함수 u가 존재하지만, 그러한 u는 미분-가능이지 않을 수 있고 따라서 방정식 (1)을 만족시킬 수 없다는 것입니다. 예제는 u(t, x) = |t − x|인데, 왜냐하면 u가 매끄러운 영역 x ≥ t와 x ≤ t에 걸쳐 적분을 분할하고, 부분에 의한 적분을 사용하여 위의 계산을 반대로 함으로써 확인할 수 있습니다. 방정식 (1)의 약한 해는 모든 테스트 함수 $\varphi$ 에 걸쳐 방정식 (2)의 임의의 해 u를 의미합니다.

General case

이 예제에서 따르는 일반적인 아이디어는 u에서 미분 방정식을 풀 때, u에서 어떤 도함수가 방정식에 나타나더라도, 그것들이 $\varphi$ 에 대한 부분에 의한 적분을 통해 "전송"되어, u의 도함수 없는 방정식을 초래함을 만족하는 테스트 함수(test function) $\varphi$ 를 사용하여 다시 쓸 수 있다는 것입니다. 이 새로운 방정식은 반드시 미분-가능이지는 않은 해를 포함하기 위해 원래 방정식을 일반화합니다.