Well-defined expression

수학(mathematics)에서, 잘-정의된 표현(well-defined expression) 또는 모호하지 않은 표현(unambiguous expression)은 그것의 정의가 고유한 해석이나 값을 할당하는 표현입니다. 그렇지 않으면, 표현이 잘 정의되지 않음, 잘못 정의, 또는 모호하다고 말합니다.^[1] 함수는 만약 그것이 입력의 표시가 입력의 값의 변경없이 바뀌었을 때 같은 결과를 제공하면 잘 정의된 것입니다. 예를 들어, 만약 f가 입력으로 실수를 취하고, f(0.5)가 f(1/2)과 같지 않으면 f는 잘 정의되지 않은 것입니다 (그리고 따라서 함수가 아닙니다).^[2] 용어 잘 정의된은 역시 논리적 표현이 모호하지 않거나 모순되지 않음을 나타내기 위해 사용될 수 있습니다.

잘 정의되지 않은 함수는 정의되지 않은(undefined) 함수와 같지 않습니다. 예를 들어, 만약 f(x) = 1/x이면, f(0)가 정의되지 않는다는 사실은 f가 잘 정의되지 않았다는 의미가 아니라 0이 단순히 f의 도메인(domain)에 있지 않음을 의미합니다.

Example

$A_{0},A_{1}$ 를 집합으로 놓고, $A=A_{0}\cup A_{1}$ 라고 놓고 $f:A\rightarrow \{0,1\}$ 를 $a\in A_{0}$ 이면 $f(a)=0$ 이고 $a\in A_{1}$ 이면 $f(a)=1$ 라고 "정의합니다".

그런-다음 $f$ 는 $A_{0}\cap A_{1}=\emptyset \!$ 이면 잘 정의된 것입니다. 예를 들어, 만약 $A_{0}:=\{2,4\}$ 와 $A_{1}:=\{3,5\}$ 이면, $f(a)$ 는 잘 정의될 것이고 $\operatorname {mod} (a,2)$ 와 같을 것입니다.

어쨌든, 만약 $A_{0}\cap A_{1}\neq \emptyset$ 이면, $f$ 는 잘 정의된 것이 아닐 것인데, 왜냐하면 $f(a)$ 는 $a\in A_{0}\cap A_{1}$ 에 대해 "모호한" 것이기 때문입니다. 예를 들어, 만약 $A_{0}:=\{2\}$ 와 $A_{1}:=\{2\}$ 이면, $f(2)$ 는 0과 1 둘 다를 가져야 할 것이며, 그것을 모호하게 만듭니다. 결과로써, 후자 $f$ 는 잘 정의되지 않은 것이고 따라서 함수가 아닙니다.

"Definition" as anticipation of definition

이전의 간단한 예제에서 "정의합니다" 주위에 따옴표를 피하기 위해, $f$ 의 "정의"는 두 가지 간단한 논리적 단계로 분리될 수 있습니다:

이항 관계(binary relation)의 정의: 그 예제에서
$f:={\bigl \{}(a,i)\mid i\in \{0,1\}\wedge a\in A_{i}{\bigr \}},$
(이것은 지금까지 아무것도 아니었지만 데카르트 곱(Cartesian product) $A\times \{0,1\}$ 의 특정 부분집합입니다.)
주장: 이항 관계 $f$ 는 함수입니다; 그 예제에서
$f:A\rightarrow \{0,1\}.$

단계 1에서 정의는 임의의 정의의 자유로 공식화되고 확실히 효과적이지만 ("잘 정의된"으로 분류할 필요없이), 단계 2에서 주장은 입증되어야 합니다. 즉, $f$ 가 함수인 것과 $A_{0}\cap A_{1}=\emptyset$ 인 것은 필요충분 조건이며, 이 경우에서 $f$ – 하나의 함수로서의 – 잘 정의됩니다. 다른 한편으로, 만약 $A_{0}\cap A_{1}\neq \emptyset$ 이면, $a\in A_{0}\cap A_{1}$ 에 대해, 우리는 $(a,0)\in f$ 그리고 $(a,1)\in f$ 임을 가질 것이며, 이것은 이항 관계 $f$ 를 (Binary relation#Special types of binary relations에서 정의된 것처럼) 함수형이 아니게 만들고 따라서 함수로 잘 정의된 것이 아닙니다. 구어체로, "함수" $f$ 는 역시 점 $a$ 에서 모호하다고 불리고 (비록 정의에 따라(per definitionem) 결코 "모호한 함수"가 존재하지 않을지라도), 원래의 "정의"는 무의미합니다. 이들 미묘한 논리적 문제에도 불구하고, 이러한 종류의 "정의"에 대해 (어포스트로피없이) 정의라는 용어를 예상대로 사용하는 것이 꽤 공통적입니다 – 그 이유는 다음 세 가지 때문입니다:

그것은 이-단계 접근 방식의 편리한 축약형을 제공합니다.
관련 수학적 추론 (즉, 단계 2)은 두 경우 모두에서 같습니다.
수학적 교과서에서, 그 주장은 "100%까지" 참입니다.

Independence of representative

함수의 잘 정의성의 문제는 함수의 정의하는 방정식이 인수 자체를 참조하는 것이 아니라, 대표(representative) 역할을 하는 인수의 원소를 (또는 인수뿐만 아니라 인수의 원소를) 참조할 때 고전적으로 발생합니다. 이것은 때때로 인수가 코셋(coset)이고 그 방정식이 코셋 대표를 참조할 때 피하기 어렵습니다. 함수 적용의 결과는 그런-다음 대표의 선택에 의존해서는 안 됩니다.

Functions with one argument

예를 들어, 다음 함수를 생각해 보십시오:

{\begin{matrix}f:&\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} &\to &\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \\&{\overline {n}}_{8}&\mapsto &{\overline {n}}_{4},\end{matrix}}

여기서 $n\in \mathbb {Z} ,m\in \{4,8\}$ 와 $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ 는 정수 모듈로 m과 n 모드 m의 합동 클래스를 나타냅니다.

주의: ${\overline {n}}_{4}$ 는 원소 $n\in {\overline {n}}_{8}$ 로의 참조이고, ${\overline {n}}_{8}$ 는 $f$ 의 인수입니다.

함수 $f$ 는 잘 정의된 것인데, 왜냐하면

n\equiv n'{\bmod {8}}\;\Leftrightarrow \;8{\text{ divides }}(n-n')\Rightarrow \;4{\text{ divides }}(n-n')\;\Leftrightarrow \;n\equiv n'{\bmod {4}}.

반대 예제로서, 다음 그것의 전환 정의는

{\begin{matrix}g:&\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} &\to &\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} \\&{\overline {n}}_{4}&\mapsto &{\overline {n}}_{8},\end{matrix}}

잘 정의된 함수로 이어지지 않는데, 왜냐하면 예를 들어 ${\overline {1}}_{4}$ 는 $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$ 에서 ${\overline {5}}_{4}$ 와 같지만, 첫 번째는 $g$ 에 의해 ${\overline {1}}_{8}$ 로 매핑될 것이고, 반면에 두 번째는 ${\overline {5}}_{8}$ 로 매핑될 것이고, ${\overline {1}}_{8}$ 와 ${\overline {5}}_{8}$ 는 $\mathbb {Z} /8\mathbb {Z}$ 에서 같지 않기 때문입니다.

Operations

특히, 용어 잘 정의된은 코셋 위에 (이항) 연산(operation)에 관해 사용됩니다. 이 경우에서, 우리는 연산을 두 변수의 함수로 볼 수 있고 잘 정의된 속성은 함수에 대해 속성과 같습니다. 예를 들어, 일부 n 모듈로 정수에 대한 덧셈은 정수 덧셈의 관점에서 자연스럽게 정의될 수 있습니다:

[a]\oplus [b]=[a+b]

이것이 잘 정의되어 있다는 사실은 우리가 $[a]$ 의 임의의 대표를 $a+kn$ 으로 쓸 수 있다는 사실에서 비롯되며, 여기서 $k$ 는 정수입니다. 그러므로,

[a]\oplus [b]=[a+kn]\oplus [b]=[(a+kn)+b]=[(a+b)+kn]=[a+b];

그리고 유사하게 $[b]$ 의 임의의 대표에 대해, 그것에 의하여 $[a+b]$ 를 대표의 선택에 관계없이 같게 만듭니다.

Well-defined notation

실수에 대해, 곱 $a\times b\times c$ 는 모호하지 않은데 왜냐하면 $(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$ 이기 때문입니다 (그리고 따라서 표기법이 잘 정의되었다라고 말합니다).^[1] 이 속성은, 역시 곱셈의 결합성(associativity)으로 알려져 있으며, 그 결과가 순서의 지정이 생략될 수 있도록 곱셈의 순서에 의존하지 않습니다.

뺄셈(subtraction) 연산은, 다른 한편으로, 결합적이지 않습니다. 어쨌든, $a-b-c$ 가 $(a-b)-c$ 에 대해 축약이라는 관례가 있고, 따라서 그것이 "잘 정의된" 것입니다.

나눗셈(Division)은 역시 비-결합적입니다. 어쨌든, $a/b/c$ 의 경우에서, 괄호 관례는 그렇게 잘 설립되지는 않으므로, 이 표현은 종종 나쁜 정의된 것으로 고려됩니다.

함수와 달리, 표기법적 모호성은 추가적인 정의 (예를 들어, 우선순위(precedence)의 규칙, 연산자의 결합성)를 수단으로 다소 쉽게 극복될 수 있습니다. 예를 들어, 프로그래밍 언어 C에서, 뺄셈에 대해 연산자는 왼쪽에서-오른쪽으로-결합적이며, 이것은 a-b-c가 (a-b)-c로 정의됨을 의미하고, 할당에 대해 연산자 =는 오른쪽에서-왼쪽으로-결합적이며, 이것은 a=b=c가 a=(b=c)로 정의됨을 의미합니다.^[3] 프로그래밍 언어 APL에서, 단 하나의 규칙이 있습니다: 오른쪽에서 왼쪽 결합적이지만 괄호가 항상 먼저입니다.

Other uses of the term

부분 미분 방정식(partial differential equation)에 대한 해는 만약 그것이 경계조건이 변화함에 따라 연속적인 방법에서 경계 조건에 의해 결정된다면 잘 정의된 것이라고 말합니다.^[1]

References

Notes

^ ^a ^b ^c Weisstein, Eric W. "Well-Defined". From MathWorld – A Wolfram Web Resource. Retrieved 2 January 2013.
^ Joseph J. Rotman, The Theory of Groups: an Introduction, p. 287 "... a function is "single-valued," or, as we prefer to say ... a function is well defined.", Allyn and Bacon, 1965.
^ "Operator Precedence and Associativity in C". GeeksforGeeks. 2014-02-07. Retrieved 2019-10-18.

Sources

Contemporary Abstract Algebra, Joseph A. Gallian, 6th Edition, Houghlin Mifflin, 2006, ISBN 0-618-51471-6.
Algebra: Chapter 0, Paolo Aluffi, ISBN 978-0821847817. Page 16.
Abstract Algebra, Dummit and Foote, 3rd edition, ISBN 978-0471433347. Page 1.

[MathWorld-1] Weisstein, Eric W. "Well-Defined". From MathWorld – A Wolfram Web Resource. Retrieved 2 January 2013.

[2] Joseph J. Rotman, The Theory of Groups: an Introduction, p. 287 "... a function is "single-valued," or, as we prefer to say ... a function is well defined.", Allyn and Bacon, 1965.

[3] "Operator Precedence and Associativity in C". GeeksforGeeks. 2014-02-07. Retrieved 2019-10-18.

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[2]

[3]