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Zeno's paradoxes

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(Redirected from Zeno's paradox)
Original article: w:Zeno's paradoxes
"Arrow paradox" redirects here. For other uses, see Arrow paradox (disambiguation).

제논의 역설(Zeno's paradoxes)은 일반적으로 누군가의 감각의 증거와는 반대되는, 다원성(plurality)과 변화에서 믿음은 잘못된 것이고, 특히 운동(motion)은 환상(illusion)에 불가하다는 파르마니데스(Parmenides)의 교리를 지원하기 위해 그리스(Greek) 철학자 엘레아의 제논(Zeno of Elea) (c. 490–430 BC)에 의해 고안되었던 것으로 생각되는 철학적(philosophical) 문제의 집합입니다. 그것은 보통 제논은 플라톤(Plato)의 파르메니데스(Parmenides) (128a-d)에 기반으로 이들 역설(paradox)을 만드는 프로젝트를 맡았었다고 추정되는데 왜냐하면 다른 철학자들이 파르메니데스의 견해에 반대되는 역설을 만들었기 때문입니다. 따라서 플라톤은 제논에게 역설의 목적이 "존재가 많다는 그들의 가설이, 만약 적절하게 추적된다면, 그것들이 하나라는 가설보다 여전히 더 불합리한 결과를 낳는다는 것을 보여주는 것"을 말했습니다.[1] 플라톤은 소크라테스(Socrates)에게 제논과 파르메니데스가 본질적으로 정확하게 같은 점을 논증하고 있다고 주장했습니다.[2] (아리스트테레스의 물리학[3][4] 및 심플리치오(Simplicius)의 논평에 실려서 보존된) 제논의 아홉 가지 존재하는 역설 중 일부는 본질적으로 서로 동등합니다. 아리스토텔레스는 그들 중 일부에 대한 논박을 제시했습니다.[3] 가장 강력하고 가장 유명한 세 가지—아킬레스와 거북이, 이분법(Dichotomy) 논쟁, 및 비행 중 화살의 역설—는 아래에 자세히 나와 있습니다.

제논의 논증은 역시 모순에 의한 증명(proof by contradiction)으로 알려진 레둑티오 아드 아브수르둠(reductio ad absurdum:귀류법)이라고 불리는 증명 방법의 아마도 첫 번째 예제일 것입니다. 그것들은 역시 소크라테스에 의해 사용된 변증법적(dialectic) 방법의 출처로 공인되고 있습니다.[5] 칼 보이어(Carl Boyer)와 같은 일부 수학자와 역사가들은 제논의 역설은 현대 미적분학(calculus)이 수학적 해를 제공하는 간단한 수학적 문제라고 주장합니다.[6] 일부 철학자(philosopher)는, 어쨌든, 제논의 역설과 그것들의 변형 (톰슨의 램프(Thomson's lamp)를 참조)은 관련된 형이상학적(metaphysical) 문제로 남아 있다고 말합니다.[7][8][9] 역설의 기원은 다소 불분명합니다. 제논과 그의 가르침에 대한 정보에 대해 네 번째 출처, 디오게네스 라에르티오스(Diogenes Laërtius)는 파보리누스(Favorinus)를 인용하면서 제논의 스승 파르메니데스가 처음으로 아킬레스와 거북이의 역설을 소개했다고 말했습니다. 그러나 이후의 구절에서, 라에르티오스는 역설의 기원을 제논으로 바꾸고, 파보리누스는 이에 동의하지 않는다고 설명했습니다.[10]

Paradoxes of motion

Dichotomy paradox

이동 중에 있는 것은 그것이 목적지에 도달하기 전에 중간 단계에 도달해야 합니다.

— as recounted by Aristotle, Physics VI:9, 239b10

아탈란타(Atalanta)가 경로의 끝까지 걸어가길 원한다고 가정해 보겠습니다. 그녀가 거기에 도착하기 전에, 그녀는 절반에 도착해야 합니다. 그녀가 절반에 도착하기 전에, 그녀는 거기까지 사분의 일 지점을 얻어야 합니다. 사분의 일을 여행하기 전에, 그녀는 팔분의 일을 여행해야 합니다; 팔분의 일 전에, 십육분의 일; 이런 식으로 계속됩니다.

The dichotomy

결과 수열은 다음처럼 나타낼 수 있습니다:

이 설명은 제논이 불가능하다고 옹호하는 무한한 숫자의 임무를 완료하는 것을 요구합니다.[11]

이 수열은 역시 그것이 실행할 첫 번째 거리를 포함하지 않는다는 두 번째 문제를 상정하며, 임의의 가능한 (유한(finite)) 첫 번째 거리에 대해 절반으로 나뉘어 수 있고, 따라서 결국 첫 번째 거리가 아닙니다. 그러므로, 그 여행은 시작조차 할 수 없습니다. 역설적인 결론은 그때에 임의의 유한 거리에 걸쳐 여행은 완료도 시작도 시작도 할 수 없고, 따라서 모든 움직임은 환상일 수밖에 없다는 것입니다.[12]

이 논증은 "이분법(Dichotomy)"이라고 불리는데 왜냐하면 그것은 거리를 두 부분으로 반복적으로 분리하는 것을 포함하기 때문입니다. 원래 의미를 갖는 예제는 점근선(asymptote)에서 찾아질 수 있습니다. 그것은 역시 경주 경로(Race Course) 역설이라고 알려져 있습니다.

Achilles and the tortoise

"Achilles and the Tortoise" redirects here. For other uses, see Achilles and the Tortoise (disambiguation).
See also: Infinity § Zeno: Achilles and the tortoise
Achilles and the tortoise

경주에서, 가장 빠른 주자는 가장 느린 주자를 결코 추월할 수 없는데, 왜냐하면 느린 사람이 항상 선두를 유지하도록 추적자는 추적을 시작했던 지점에 먼저 도달해야 하기 때문입니다.

— as recounted by Aristotle, Physics VI:9, 239b15

아킬레스(Achilles)와 거북이(tortoise)의 역설에서, 아킬레스는 거북이와 달리기 시합을 합니다. 아킬레스는 예를 들어 거북이에게 100 미터의 앞선 출발(head start)을 허용합니다. 각 주자가 일정한 속력, 하나가 다른 하나보다 빠르게 달리기 시작한다고 가정해 보겠습니다. 일정 시간이 지난 후에, 아킬레스는 100미터를 달려, 거북이의 출발점에 도착합니다. 이 시간 동안, 거북이는 훨씬 짧은 거리, 말하자면 2 미터를 달렸습니다. 그런-다음 아킬레스가 해당 거리를 달리기 위해 어떤 추가적인 시간이 걸리고, 그 시간까지 거북이는 더 멀리 전진할 것입니다; 그리고 그런-다음 이 세 번째 지점에 도달하기 위해 여전히 더 시간이 필요하고, 그 동안 거북이는 앞으로 움직입니다. 따라서, 아킬레우스가 거북이가 있었던 곳에 도착할 때마다, 그가 거북이에 도달하기 전에 가야 할 거리가 있습니다. 아리스토텔레스가 지적했듯이, 이 주장은 이분법과 유사합니다.[13] 그것은, 어쨌든, 이동-결여성의 명백한 결론이 결여되어 있습니다.

Arrow paradox

The arrow
Not to be confused with other paradoxes of the same name.

만약 모든 것이 같은 공간을 차지할 때 해당 순간에 정지되어 있고, 운동 중인 것이 항상 어떤 순간에도 그러한 공간을 점유하고 있다면, 날아가는 화살은 따라서 해당 순간과 다음 순간에 움직이지 않지만 만약 시간의 두 순간이 같은 순간 또는 연속적인 시간의 순간으로 취해지면 그것은 움직이고 있는 것입니다.[14]

— as recounted by Aristotle, Physics VI:9, 239b5

화살 역설에서, 제논은 운동에 대해 발생하려면, 물체가 그것이 차지하는 위치를 변경해야 한다고 말합니다. 그는 날아가는 화살의 예제를 제공합니다. 그는 시간의 임의의 하나의 (지속-시간-없는) 순간에서, 화살이 그것이 있는 곳에서 움직이지 않고 그것이 없는 곳으로 움직이지 않는다고 말합니다.[15] 그것은 그것이 없는 곳으로 이동할 수 없는데, 왜냐하면 화살이 그곳으로 이동하는 데 시간이 걸리지 않기 때문입니다; 그것은 이미 있는 곳에서 움직일 수 없는데, 왜냐하면 그것이 이미 그곳에 있기 때문입니다. 다시 말해서, 매 순간마다 발생하는 운동이 없습니다. 만약 모든 것이 매 순간 움직이지 않고, 시간이 전체적으로 순간으로 구성되어 있으면, 움직임은 불가능합니다.

처음 두 역설이 공간을 나누고, 반면에 이 역설은 시간을 부분으로 나누는 것이 아니라 점으로 나누는 것으로 시작합니다.[16]

Three other paradoxes as given by Aristotle

Paradox of place

아리스토텔레스로부터:

만약 존재하는 모든 것이 장소를 가지면, 장소도 장소를 가질 것이고, 이런 식으로 무한히(ad infinitum) 계속됩니다.[17]

Paradox of the grain of millet

Routledge Dictionary of Philosophy에서 역설의 설명:

논증은 수수 한 알은 떨어질 때 소리가 나지 않지만, 천 알은 소리가 난다는 것입니다. 따라서 천 개의 없음이 어떤 것이 되는, 터무니없는 결론을 만듭니다.[18]

아리스토텔레스의 반박:

제논이 소리를 만들지 않는 부분은 없다라고 말하는 것은 잘못된 것입니다: 왜냐하면 임의의 그러한 부분이 시간의 임의의 길이에서 전체 많은 양이 떨어지는 이동에서 공기를 이동시키는 데 실패하지 않을 이유가 없기 때문입니다. 사실 그것은 이 부분이 그 자체로 움직일 수 있는 그러한 공기의 양이라도 자체로 움직이지 않습니다. 왜냐하면 잠재적인 것 외에 다른 부분은 존재하지 않기 때문입니다.[19]

Nick Huggett으로부터 설명:

이것은 사람의 청각을 신뢰할 수 없다는 파르메니데스(Parmenidean)의 주장입니다. 아리스토텔레스의 반응은 들리지 않는 소리도 들리는 소리에 더해질 수 있다는 것입니다.[20]

The moving rows (or stadium)

The moving rows

아리스토텔레스로부터:

... 두 줄의 몸체에 관하여, 각 줄은 같은 크기의 같은 수의 몸체로 구성되어 있으며, 반대 방향으로 같은 속도로 진행하면서 경주-코스에서 서로를 통과하며, 한 줄은 원래 코스의 목표와 중간 지점 사이의 공간과 중간 지점과 출발 지점 사이의 다른 공간을 차지합니다. 이것은...주어진 시간의 절반이 해당 시간의 두 배와 같다는 결론을 포함합니다.[21]

아리스토텔레스에 의해 제시된 제논의 논증의 확장된 설명에 대해, Simplicius의 주석 On Aristotle's Physics를 참조하십시오.

Proposed solutions

Diogenes the Cynic

심플리치오(Simplicius)에 따르면, 디오게네스(Diogenes)는 제논의 논증을 듣고 아무 말도 하지 않고, 제논의 결론의 거짓을 입증하기 위해 일어서서 걸어갔습니다 (solvitur ambulando을 참조하십시오). 어떤 역설이든 완전히 해결하기 위해, 어쨌든, 우리는 단지 결론이 아니라 논증에서 무엇이 잘못되었는지 보여야 합니다. 역사를 통해, 여러 해가 제안되어 왔으며, 가장 초기에 기록된 것 중에서 아리스토텔레스와 아르키메데스의 해가 있습니다.

Aristotle

아리스토텔레스(Aristotle) (기원전 384–기원전 322)는 거리가 줄어들수록, 그 거리를 걸어가는 데 필요한 시간도 감소하므로 필요한 시간도 더욱 더 작게 된다고 논평했습니다.[22][not in citation given][23] 아리스토텔레스는 역시 "나눔가능성에 관해 무한한 것" (예를 들어 공간적으로 같게 유지하면서 정신적으로 훨씬 더 작은 단위로 나뉠 수 있는 공간의 단위)을 ("그것들의 극단에 관해") 확장에서 무한한 것 (또는 거리)과 구별했습니다.[24] 화살 역설에 대한 아리스토텔레스의 반대는 "임의의 다른 크기도 쪼개질 수 없는 것으로 구성되어 있는 것처럼 시간은 쪼개질 수 없는 지금으로 구성되어 있지 않습니다"라는 것이었습니다.[25]

Archimedes

기원전 212년 이전에, 아르키메데스(Archimedes)는 점점 더 작아지게 되는 무한하게 많은 항의 합에 대해 유한 답을 도출하기 위한 방법을 개발해 왔었습니다. (참조: 기하 급수(Geometric series), 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · ·, The Quadrature of the Parabola.) 문제에서 무한 합이 특정 정사각형의 넓이와 같음을 입증하기 위해의 소진의 방법(method of exhaustion)을 적용한 그의 논증은 대체로 기하학적이지만 매우 엄격합니다. 오늘날의 해석학(analysis)은 극한(limits)을 사용하여 같은 결과를 달성합니다 (수렴 급수(convergent series)를 참조하십시오). 이들 방법은 제논에 의해 규정된 조건, 즉, 각 단계에서 소요되는 총양이 기하학적으로 감소하는 조건을 기반으로 해의 구성을 허용합니다.[6][26]

Thomas Aquinas

토마스 아퀴나스(Thomas Aquinas)는, 아리스토텔레스의 반대에 대해 논평하면서, 다음과 같이 썼습니다: "순간은 시간의 일부가 아니며, 우리가 이미 입증했듯이 크기가 점으로 구성되는 것처럼 시간은 순간으로 구성되지 않기 때문입니다. 따라서 사물이 주어진 시간에 움직이지 않는다고 해서 그 시간의 어떤 순간에도 움직이지 않는다는 것은 아닙니다."[27]

Bertrand Russell

버트런드 러셀(Bertrand Russell)은 "at-at 운동의 이론"으로 알려진 것을 제안했습니다. 그것은 지속되지 않는 순간 "동안" 움직임이 있을 수 없다는 데 동의하고, 움직임에 요구된 모든 것은 화살이 한 번에 한 지점에, 또 다른 시점에 또 다른 지점에, 그리고 중간 시간에 대해 그들 두 지점 사이의 적절한 지점에 있어야 한다고 주장합니다. 이 관점에서 운동은 시간 경과에 따른 위치의 변화일 뿐입니다.[28][29]

Hermann Weyl

또 다른 제안된 해는 제논이 자신의 역설 (특히 이분법)에서 사용한 가정 중 하나에 의문을 제기하는 것입니다. 즉, 공간 (또는 시간)의 임의의 다른 두 지점 사이에는 항상 다른 지점이 있습니다. 이 가정없이, 두 점 사이에 오직 유한 숫자의 거리가 있고, 따라서 무한 이동의 수열이 없고, 그 역설이 해결됩니다. 허르만 바일(Hermann Weyl)에 따르면, 공간이 유한하고 이산 단위로 구성되어 있다는 가정은 "타일 논증(tile argument)" 또는 "거리 함수 문제"에 의해 주어진 추가 문제에 대한 주제입니다.[30][31] 이에 따르면, 이산화된 공간에서 직각 삼각형의 빗변의 길이는 기하학과 대조적으로 항상 두 변 중 하나의 길이와 같습니다. 진 폴 반 벤데겜(Jean Paul Van Bendegem)은 타일 논증이 해결될 수 있고, 따라서 이산화가 역설을 제거할 수 있다고 주장했습니다.[6][32]

Henri Bergson

앙리 베르그손(Henri Bergson)에 의한 그의 1896년 책 Matter and Memory에서 제안되었던 대안적인 결론은, 경로가 나뉠 수 있지만, 그 운동은 그렇지 않다는 것입니다.[33] 이 논증에서, 시간에서 순간과 순간의 크기는 물리적으로 존재하지 않습니다. 상대 운동 중인 물체는 순간적이거나 결정된 상대 위치를 가질 수 없고, 따라서 그것의 운동을 부분적으로 절개할 수 없습니다.

Peter Lynds

2003년에, 피터 린즈(Peter Lynds)는 매우 유사한 주장을 내놓았습니다: 제논의 모든 운동 역설은 시간에서 순간과 순간의 크기가 물리적으로 존재하지 않는다는 결론에 의해 해결됩니다.[34][35][36][37] 린즈는 상대 운동에서 물체가 순간적이거나 결정된 상대 위치를 가질 수 없고 (만약 그렇다면, 그것은 운동을 할 수 없기 때문에), 따라서 역설에 의해 가정된 것처럼 운동이 마치 움직이는 것처럼 그것의 운동을 부분적으로 절개할 수 없다고 주장합니다. 속력과 위치 둘 다를 아는 것이 불가능에 대한 자세한 내용에 대해, 하이젠베르크 불확정성 원리(Heisenberg uncertainty principle)를 참조하십시오.

Nick Huggett

닉 허겟(Nick Huggett)은 제논이 정지해 있는 것과 같은 공간을 차지하는 물체도 정지해 있어야 한다고 말할 때 결론을 가정하고 있다고 주장합니다.[16]

Paradoxes in modern times

무한 과정은 19세기 후반까지 수학에서 이론적으로 골칫거리로 남아있었습니다. 극한(limit)의 엡실론-델타(epsilon-delta) 정의와 함께, 바이어슈트라스(Karl Weierstrass)와 코시(Cauchy)는 관련된 논리와 미적분의 엄격한 공식화를 개발했습니다. 이들 연구는 무한 과정을 포함하는 수학을 해결했습니다.[38][39]

수학은 움직이는 아킬레스가 제논의 역설의 거북이를 어디에서 언제 추월할지 계산할 수 있지만, 케빈 브라운(Kevin Brown)과[7] 프란시스 무크로프트(Francis Moorcroft)와[8] 같은 철학자는 수학은 제논의 논증에서 중심 점을 다루지 않고, 수학적 문제를 해결하는 것이 역설이 제기하는 모든 각 문제를 해결하는 것은 아니라고 주장합니다.

대중 문학은 종종 제논의 논증을 잘못 표현합니다. 예를 들어, 제논은 종종 무한 수의 항의 합은 자체로 무한이어야 한다고 주장해 왔다고 말합니다–그 결과 시간뿐만 아니라 이동되었던 거리도 무한이 된다고 합니다.[40] 어쨌든, 원래의 고대 출처 중 어느 것도 제논이 임의의 무한 급수의 합을 논의한다고 한 적이 없습니다. 심플리치오(Simplicius)는 제논에게 "유한 시간에 무한 숫자의 것을 횡단하는 것은 불가능하다"라고 말했습니다. 이것은 합을 찾는 것이 아니라 무한 숫자의 단계로 임무를 완료하는 것에 대한 제논의 문제를 나타냅니다: 만약 (비-순간) 사건의 무한 숫자가 B에 도착하기 전에 필요하다고 식별될 수 있고, 우리가 "마지막 사건"의 시작에도 도달할 수 없다면, 어떻게 A에서 B로 갈 수 있겠습니까?[7][8][9][41]

유머러스한 원고가 톰 스토파드(Tom Stoppard)에 의한 그의 1972년 희곡 Jumpers에서 제공되었으며, 이것에서 주요 주인공, 철학 교수 조지 무어(George Moore)는 제논의 역설에 따르면, 화살에 맞아 순교한 3세기 기독교 성인 성 세바스티안(Saint Sebastian)은 공포에 질려 세상을 떠났다고 제안합니다.

제논의 역설이 해결되었는지 여부에 대한 논쟁이 계속되고 있습니다. The History of Mathematics: An Introduction (2010)에서 버튼(Burton)은 "비록 제논의 논증이 동시대 사람들을 혼란스럽게 했지만, 만족스러운 설명에는 지금-익숙한 아이디어, '수렴 무한 급수'의 개념을 포함하고 있습니다."[42]

버트런드 러셀(Bertrand Russell)은 게오르크 칸토어(Georg Cantor)의 연구를 기반으로 역설에 대한 "해"를 제시했지만,[43] 브라운(Brown)은 "아리스토텔레스 이후 '최종 해결'의 역사를 고려할 때, 우리가 끝에 도달했다고 생각하는 것은 아마도 어리석은 일입니다. 운동에 대한 제논의 논증은 단순함과 보편성 때문에 사람들이 (만약 그것들이 어떤 것을 가졌다면) 가장 근본적인 현상학적 관심을 투영할 수 있는 일종의 '로르샤흐 상상(Rorschach image)'으로 항상 작용할 것입니다"라고 결론지었습니다.[7]

A similar ancient Chinese philosophic consideration

중국 전국 시대 (기원전 479-221년)에 묵가 학파의 고대 중국 철학자들은 제논의 역설 중 일부와 동등한 것을 발전시켰습니다.[44] 과학자이자 역사가인 조지프 니드햄 경(Sir Joseph Needham)은 그의 저서 Science and Civilisation in China에서, 의고체(archaic) 고대 중국 스크립트에서, "한 발의 막대기를, 매일 반씩 가져가도, 만세에도 그것을 다 소모하지 않을 것입니다"라고 말하는 논리의 실존하는 묵가 학파 책에서 고대 중국 역설을 설명합니다. 이 철학적 학파 (더 정확하게는, 운동)에서 몇 가지 다른 역설이 알려져 있지만, 그것들의 현대적 해석은 더 추측적입니다.

Quantum Zeno effect

Main article: Quantum Zeno effect

1977년에,[45] 물리학자 에나칼 찬디 조지 수다르샨(E. C. George Sudarshan)과 B. Misra는 양자 시스템의 동역학적 진화 (운동)은 그 시스템의 관찰을 통해 방해 (또는 억제)될 수 있음을 발견했습니다.[46] 이 효과는 제논의 화살 역설을 강하게 연상시키기 때문에 보통 "양자 제논 효과"라고 불립니다. 이 효과는 1958년에 처음으로 이론화되었습니다.[47]

Zeno behaviour

시간 제한(timed)과 하이브리드 시스템(hybrid system)의 검증과 설계의 분야에서, 그 시스템 행위는 만약 그것이 유한 시간의 총양에서 무한 숫자의 이산 단계를 포함하면 제논이라고 불립니다.[48] 일부 형식적 검증(formal verification) 기술은 만약 그것들이 비-제논 행위와 동등하지 않으면 해석학에서 이들 행위를 제외합니다.[49][50] 시스템 설계(systems design)에서, 이들 행위는 디지털 제어기로 구현될 수 없기 때문에 종종 시스템 모델에서 제외될 것입니다.[51]

Lewis Carroll and Douglas Hofstadter

What the Tortoise Said to Achilles는,[52] 1895년 루이스 캐럴(Lewis Carroll)에 의해 쓰였으며, 순수 논리의 영역에서 유사한 역설을 드러내려는 시도였습니다. 만약 캐럴의 논증이 타당하다면, 그 의미는 운동의 제논의 역설이 본질적으로 공간과 시간의 문제가 아니라, 추론 자체의 핵심으로 바로 간다는 것입니다. 더글러스 호프스태터(Douglas Hofstadter)는 캐럴의 기사를 그의 책 Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid의 중심으로 삼았고, 그의 논증을 설명하기 위해 아킬레스와 거북이 사이의 더 많은 대화를 썼습니다. 호프스태터는 제논의 역설을 괴델의 불완전성 정리(Gödel's incompleteness theorem)와 연결하여 제논에 의해 제기된 문제가 형식적 시스템 이론, 컴퓨팅과 마음의 철학에 널리 퍼져 있음을 시연하기 위한 시도였습니다.

See also

Notes

  1. ^ Parmenides 128d
  2. ^ Parmenides 128a–b
  3. ^ a b Aristotle's Physics "Physics" by Aristotle translated by R. P. Hardie and R. K. Gaye
  4. ^ "Greek text of "Physics" by Aristotle (refer to §4 at the top of the visible screen area)". Archived from the original on 2008-05-16.
  5. ^ ([fragment 65], Diogenes Laërtius. IX Archived 2010-12-12 at the Wayback Machine 25ff and VIII 57).
  6. ^ a b c Boyer, Carl (1959). The History of the Calculus and Its Conceptual Development. Dover Publications. p. 295. ISBN 978-0-486-60509-8. Retrieved 2010-02-26. If the paradoxes are thus stated in the precise mathematical terminology of continuous variables (...) the seeming contradictions resolve themselves.
  7. ^ a b c d Brown, Kevin. "Zeno and the Paradox of Motion". Reflections on Relativity. Archived from the original on 2012-12-05. Retrieved 2010-06-06.
  8. ^ a b c Moorcroft, Francis. "Zeno's Paradox". Archived from the original on 2010-04-18.
  9. ^ a b Papa-Grimaldi, Alba (1996). "Why Mathematical Solutions of Zeno's Paradoxes Miss the Point: Zeno's One and Many Relation and Parmenides' Prohibition" (PDF). The Review of Metaphysics. 50: 299–314.
  10. ^ Diogenes Laërtius, Lives, 9.23 and 9.29.
  11. ^ Lindberg, David (2007). The Beginnings of Western Science (2nd ed.). University of Chicago Press. p. 33. ISBN 978-0-226-48205-7.
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  14. ^ Aristotle. "Physics". The Internet Classics Archive. Zeno's reasoning, however, is fallacious, when he says that if everything when it occupies an equal space is at rest, and if that which is in locomotion is always occupying such a space at any moment, the flying arrow is therefore motionless. This is false, for time is not composed of indivisible moments any more than any other magnitude is composed of indivisibles.
  15. ^ Laërtius, Diogenes (c. 230). "Pyrrho". Lives and Opinions of Eminent Philosophers. Vol. IX. passage 72. ISBN 1-116-71900-2.
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  20. ^ Huggett, Nick, "Zeno's Paradoxes", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2010 Edition), Edward N. Zalta (ed.), http://plato.stanford.edu/entries/paradox-zeno/#GraMil
  21. ^ Aristotle Physics VI:9, 239b33
  22. ^ Aristotle. Physics 6.9
  23. ^ Aristotle's observation that the fractional times also get shorter does not guarantee, in every case, that the task can be completed. One case in which it does not hold is that in which the fractional times decrease in a harmonic series, while the distances decrease geometrically, such as: 1/2 s for 1/2 m gain, 1/3 s for next 1/4 m gain, 1/4 s for next 1/8 m gain, 1/5 s for next 1/16 m gain, 1/6 s for next 1/32 m gain, etc. In this case, the distances form a convergent series, but the times form a divergent series, the sum of which has no limit. [original research?] Archimedes developed a more explicitly mathematical approach than Aristotle.
  24. ^ Aristotle. Physics 6.9; 6.2, 233a21-31
  25. ^ Aristotle. Physics. Vol. VI. Part 9 verse: 239b5. ISBN 0-585-09205-2.
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  27. ^ Aquinas. Commentary on Aristotle's Physics, Book 6.861
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