Infinity

Original article: w:Infinity

For the symbol, see Infinity symbol.

For other uses of "Infinity" and "Infinite", see Infinity (disambiguation).

The infinity symbol

무한대(Infinity)는 경계없는 또는 끝이 없는 어떤 것을 나타내거나, 임의의 실수(real) 또는 자연수(natural number)보다 더 큰 어떤 것을 나타냅니다. 그것은 종종 여기에 표시된 무한대 기호(infinity symbol)에 의해 표시됩니다.

고대 그리스(ancient Greeks)의 시대 이래로, 무한대의 철학적 본질(philosophical nature of infinity)은 철학자들 사이에서 많은 논의의 주제였습니다. 17세기에서, 무한대 기호(infinity symbol)와 무한소 미적분학(infinitesimal calculus)의 도입과 함께, 수학자들은 무한 급수(infinite series)와 일부 수학자 (로피탈(l'Hôpital)과 베르누이(Bernoulli)를 포함)가 무한하게 작은 양이지만, 끝없는 과정과 계속해서 결합된 무한대와 관련된 것을 연구하기 시작했습니다. 수학자들이 미적분학의 토대에 어려움을 겪을 때, 무한대가 숫자 또는 크기로 여길 수 있는지, 만약 그렇다면, 이것이 어떻게 행해질 수 있는지에 대한 불분명한 상태로 남아 있었습니다. 19세기 말에, 게오르크 칸토어(Georg Cantor)는 무한 집합(infinite set)과 무한 숫자(infinite number)를 연구함으로써 무한대의 수학적 연구를 확대했으며, 그것들이 다양한 크기가 될 수 있음을 보여주었습니다. 예를 들어, 만약 직선이 모든 점의 집합으로 표시되면, 그것들의 무한한 숫자 (즉, 직선의 카디널리티(cardinality))는 정수(integer)의 숫자보다 더 큽니다. 이 사용법에서, 무한대는 수학적 개념이고, 무한한 수학적 대상(mathematical object)은 임의의 다른 수학적 대상과 마찬가지로 연구, 조작되고 사용될 수 있습니다.

무한대의 수학적 개념은, 특히 무한하게 많은 다른 크기의 무한 집합을 도입함으로써, 오래된 철학적 개념을 개선하고 확장합니다. 대부분의 현대 수학이 개발될 수 있는, 체르멜로–프렝켈 집합 이론(Zermelo–Fraenkel set theory)의 공리 중에는 무한 집합의 존재를 보장하는 무한대의 공리(axiom of infinity)가 있습니다. 무한대의 수학적 개념과 무한 집합의 조작은 수학에서 어디에나 사용되며, 심지어 그것들과 아무 관련이 없는 것처럼 보일 수 있는 조합론(combinatorics)과 같은 영역에서도 사용됩니다. 예를 들어, 페라마의 마지막 정리(Fermat's Last Theorem)의 와일스의 증명(Wiles's proof)은 초등 산술(elementary arithmetic)의 관점에서 언급되는 오랜-기간의 문제를 해결하기 위해 매우 큰 무한 집합(very large infinite sets)의 존재에 암시적으로 의존합니다.

물리학(physics)과 우주론(cosmology)에서, 우주가 무한한지 여부(whether the Universe is infinite)는 열린 질문입니다.

History

Further information: Infinity (philosophy)

고대 문화는 무한대의 본질에 대한 다양한 아이디어를 가졌습니다. 고대 인도인(ancient Indians)과 그리스인(Greeks)은 현대 수학에서 그런 것처럼 정확한 형식주의에서 무한대를 정의하지 않았고, 대신에 철학적 개념으로 무한대에 접근했습니다.

Early Greek

무한대의 최초의 기록된 아이디어는, 소크라테스-이전(pre-Socratic) 그리스 철학자 아낙시만더(Anaximander) (기원전 c. 610 – c. 546)의 그것일 것입니다. 그는 "무경계(unbounded)", "무기한(indefinite)"을 의미하는 단어 아페이론(apeiron)을 사용했고, 아마도 "무한"으로 번역될 수 있습니다.

아리스토텔레스 (기원전 350년)는 실제 무한대(actual infinity)로부터 잠재적 무한대를 구별했으며, 그는 그것이 생성될 것처럼 보이는 다양한 역설로 인해 불가능한 것으로 여겼습니다. 이 견해에 따라, 헬레니즘(Hellenistic) 그리스인들은 "무한의 공포(horror of the infinite)"를 가졌다고 주장되어 왔는데, 예를 들어, 왜 유클리드(Euclid) (기원전 c. 300년)가 소수의 무한대가 있다라고 말하는 것이 아니라 오히려 "소수는 임의의 할당된 소수의 다수보다 많다"라고 한 이유를 설명합니다. 역시, 이 정리(this theorem)를 증명하는 것에서, 유클리드가 "무한의 공포를 처음으로 극복했다"는 주장이 유지되어 왔습니다. 유클리드의 평행 공준(parallel postulate)에 관련하여 비슷한 논쟁이 있으며, 때때로 다음과 같이 번역되었습니다:

만약 두 개의 [다른] 직선을 가로지르는 직선이 두 직각보다 작은 [그것의 합이 자체의] 같은 변에 대한 내부 각도를 만들면, 무한대로 생성되는 두 개의 [다른] 직선이 [내부 각도의 합]이 두 직각보다 작은 [원래 직선의] 해당 변에서 만납니다.

다른 번역자들은, 어쨌든, 번역 "두 직선이, 만약 무한하게 생산된다면 ..."을 선호하고, 따라서 유클리드가 무한대의 개념에 익숙했었다는 의미를 피합니다. 마지막으로, "무한의 공포"를 이끌어내는 것과는 거리가 먼, 무한대에 대한 성찰은 초기 그리스 철학의 모두의 밑에 깔려 있었고, 아리스토텔레스의 "잠재적 무한"은 이 시기의 일반적인 경향에서 벗어난 것으로 유지되어 왔습니다.

Zeno: Achilles and the tortoise

Main article: Zeno's paradoxes § Achilles and the tortoise

엘레아의 제논(Zeno of Elea) (기원전 c. 495 – c. 430)은 무한에 관한 임의의 견해도 발전시키지 않았습니다. 그럼에도 불구하고, 그의 역설, 특히 "아킬레스와 거북이"는 대중적인 개념의 부적절함을 명확히 만들었다는 점에서 중요한 공헌이었습니다. 이 역설은 버트런드 러셀(Bertrand Russell)에 의해 "매우 미묘하고 심오한" 것으로 묘사되었습니다.

아킬레스(Achilles)는 거북이와 경주를 하며, 후자에게 먼저 출발을 제공합니다.

단계 #1: 아킬레스는 거북이가 앞으로 전진하는 동안 거북이의 출발 지점까지 달립니다.

단계 #2: 아킬레스는 거북이가 여전히 앞으로 가능 동안 거북이가 단계 #1의 끝에 있었던 곳으로 전진합니다.

단계 #3: 아킬레스는 거북이가 여전히 앞으로 가능 동안 거북이가 단계 #2의 끝에 있었던 곳으로 전진합니다.

단계 #4: 아킬레스는 거북이가 여전히 앞으로 가능 동안 거북이가 단계 #3의 끝에 있었던 곳으로 전진합니다.

기타 등등.

명백하게, 아킬레스는 결코 거북이를 추월하지 않는데, 왜냐하면 어쨌든 그가 많은 단계를 완료하더라도, 거북이가 그보다 앞서 있기 때문입니다.

제논은 무한대에 대한 관점을 만들려고 시도하지 않았습니다. 운동을 환상으로 여겼던 엘리아(Eleatic) 학파의 일원으로서, 그는 아킬레스가 조금도 달릴 수 없다고 생각하는 것을 실수로 보았습니다. 이후의 사상가들은, 이 해결책을 받아들일 수 없다는 것을 알게 되었고, 논쟁에서 다른 약점을 찾기 위해 이천년 넘게 고군분투했습니다.

마침내, 1821년에, 오귀스탱-루이 코시(Augustin-Louis Cauchy)는 극한의 만족스러운 정의와 0 < x <1에 대한 다음 증명 둘 다를 제공했습니다:

a + ax + ax² + ax³ + ax⁴ + ax⁵ + · · · = a/1−x .

아킬레스가 초당 10 미터로 달리고 있고, 거북이는 초당 0.1 미터로 걷고 있고, 후자는 100-미터 전방 출발점을 가진다고 가정해 보십시오. 추적 기간은 코시의 패턴을 a = 10초와 x = 0.01에 맞습니다. 아킬레스가 거북이를 추월합니다; 그를 데려갑니다:

10 + 0.1 + 0.001 + 0.00001 + · · · = 10/1−0.01 = 10/0.99 = 10 10/99초.

Early Indian

자이나 수학(Jain mathematical) 교재 슈리야 프라즈냅티(Surya Prajnapti) (c. 4th–3rd century BCE)는 모든 숫자를 세 집합: 열거-가능(enumerable), 셀-수-없는, 및 무한으로 분류합니다. 이것들의 각각은 세 가지 차례로 더 작게 다시 나눕니다:

• 열거-가능: 최저, 중간, 및 최고
• 셀-수-없는: 거의 셀 수 없는(nearly innumerable), 정말로 셀 수 없는(truly innumerable), 및 무수히 셀 수 없는(innumerably innumerable)
• 무한: 거의 무한(nearly infinite), 정말로 무한(truly infinite), 및 무한하게 무한(infinitely infinite)

17th century

17세기에서, 유럽의 수학자들은 시스템적 유행에서 무한 숫자와 무한 표현을 사용하기 시작했습니다. 1655년에서, 존 월리스(John Wallis)는 그의 De sectionibus conicis에서 그러한 숫자에 대해 표기법 $\infty$를 처음으로 사용했고, 그것을 넓이 계산에서 ${\tfrac {1}{\infty }}$의 정도로 폭의 무한소(infinitesimal) 조각으로 영역을 나눔으로써 활용했습니다. 그러나 (역시 1655년에) Arithmetica infinitorum에서, 그는 몇 가지 항 또는 인수를 써 내려간 후에 "&c"를 덧붙임으로써, "1, 6, 12, 18, 24, &c"에서 처럼, 무한 급수, 무한 곱과 무한 연속된 분수를 나타내었습니다.

1699년에서, 아이작 뉴턴(Isaac Newton)은 그의 연구 De analysi per aequationes numero terminorum infinitas에서 항의 무한 숫자를 갖는 방정식에 대해 썼습니다.

Mathematics

허르만 바일(Hermann Weyl)은 1930년에 다음과 같이 주어진 수학-철학적 연설을 열었습니다:

수학은 무한의 과학이다.

Symbol

Main article: Infinity symbol

무한대 기호 $\infty$ (때때로 렘니스케이트(lemniscate)라고 불림)는 무한대의 개념을 나타내는 수학적 기호입니다. 그 기호는 유니코드(Unicode)에서 U+221E ∞ INFINITY (&infin;) 및 레이텍(LaTeX)에서 \infty로 인코딩됩니다.

그것은 1655년에 존 월리스(John Wallis)에 의해 도입되었고, 그것의 도입 이래로, 그것은 역시 현대 신비주의와 문학적 상징(symbology)에서 수학 외부에서 사용되어 왔습니다.

Calculus

무한소 미적분학(infinitesimal calculus)의 공동-발명자 중 한 사람, 고트프리트 라이프니츠(Gottfried Leibniz)는 무한 숫자와 수학에서의 그것들의 사용에 대해 광범위하게 추측했습니다. 라이프니츠에게, 무한소 양과 무한한 양 둘 다는 이상적인 실체였으며, 인식할 수 있는 양과 같은 본질이 아니라, 연속성의 법칙(Law of Continuity)에 따라 같은 속성을 누리고 있었습니다.

Real analysis

실수 해석학(real analysis)에서, 기호 $\infty$는, "무한대"로 불리며, 무경계진 극한(limit)을 나타내기 위해 사용됩니다. 표기법 $x\rightarrow \infty$은 $x$가 경계없이 증가함을 의미하고, $x\to -\infty$는 $x$가 경계없이 감소함을 의미합니다. 예를 들어, 만약 모든 각 $t$에 대해 $f(t)\geq 0$이면,

• $\int _{a}^{b}f(t)\,dt=\infty$는 $f(t)$가 $a$에서 $b$까지 유한 넓이로 경계지지 않았음을 의미합니다.
• $\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\infty$는 $f(t)$ 아래의 넓이가 무한임을 의미합니다.
• $\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=a$는 $f(t)$ 아래의 전체 넓이가 유한이고, $a$와 같음을 의미합니다.

무한대는 역시 다음처럼 무한 급수(infinite series)를 설명하기 위해 사용될 수 있습니다:

• $\sum _{i=0}^{\infty }f(i)=a$는 무한 급수의 합이 어떤 실수 값 $a$로 수렴함(converges)을 의미합니다.
• $\sum _{i=0}^{\infty }f(i)=\infty$는 무한 급수의 합이 부분 합이 경계없이 증가한다는 의미에서 정확히 발산함(diverges)을 의미합니다.

극한을 정의하는 것 외에, 무한대는 역시 확장된 실수 시스템에서 값으로 사용될 수 있습니다. $+\infty$와 $-\infty$로 이름 붙여진 점은 실수의 토폴로지적 공간(topological space)에 더해질 수 있으며, 실수의 두-점 컴팩트화(compactification)를 생성합니다. 이것을 대수적 속성에 더하면 확장된 실수(extended real number)를 제공합니다. 우리는 역시 $+\infty$와 $-\infty$을 같은 것으로 취급할 수 있으며, 실수의 한-점 컴팩트화(one-point compactification)로 이어지며, 이것은 실수 투영 직선(real projective line)입니다. 투영 기하학(Projective geometry)은 역시 평면 기하학에서 무한대에서 직선(line at infinity), 삼-차원 공간에서 무한대에서 평면(plane at infinity), 일반적인 차원(dimensions)에 대해 무한대에서 초평면(hyperplane at infinity)으로 참조하며, 각각은 무한대에서 점(points at infinity)으로 구성합니다.

Complex analysis

By stereographic projection, the complex plane can be "wrapped" onto a sphere, with the top point of the sphere corresponding to infinity. This is called the Riemann sphere.

복소 해석학(complex analysis)에서, 기호 $\infty$는, "무한대"로 불리며, 비-부화화된 무한 극한(limit)을 나타냅니다. $x\rightarrow \infty$는 $x$의 크기 $|x|$가 임의의 할당된 값 이상으로 성장함을 의미합니다. $\infty$로 이름 붙인 점(point labeled $\infty$)은 복소 평면의 한-점 컴팩트화(one-point compactification)를 제공하는 토폴로지적 공간(topological space)으로 복소 평면에 더해질 수 있습니다. 이것이 행해질 때, 결과 공간은 확장된 복소 평면 또는 리만 구(Riemann sphere)로 불리며 일-차원 복소 매니폴드(complex manifold), 또는 리만 표면(Riemann surface)입니다. 확장된 실수에 대해 주어진 산술 연산과 비슷한 그것들은 역시 정의될 수 있지만, 부호에서 구별이 없습니다 (이것은 무한대가 자체로 더해질 수 없다는 단 하나의 예외로 이어집니다). 다른 한편으로, 이런 종류의 무한대는 영에 의한 나눗셈(division by zero), 즉 임의의 비-영 복소수 $z$에 대해 $z/0=\infty$를 활성화합니다. 이 문맥에서, 유리형 함수(meromorphic function)를 극에서 $\infty$의 값을 취하는 리만 구로 매핑하는 것으로 생각하는 것이 종종 유용합니다. 복소-값 함수의 도메인은 마찬가지로 무한대에서 점을 포함하기 위해 확장될 수 있습니다. 그러한 함수의 하나의 중요한 예제는 뫼비우스 변환(Möbius transformation)의 그룹입니다 (뫼비우스 변환 & 개요(Möbius transformation § Overview)를 참조하십시오).

Nonstandard analysis

Infinitesimals (ε) and infinities (ω) on the hyperreal number line (1/ε = ω/1)

아이작 뉴턴(Isaac Newton)과 고트프리트 라이프니츠(Gottfried Leibniz)에 의한 무한소 미적분(infinitesimal calculus)의 원래 공식화는 무한소(infinitesimal) 양을 사용했습니다. 20세기에서, 이 처리가 매끄러운 무한소 해석학(smooth infinitesimal analysis)과 비표준 해석학(nonstandard analysis)을 포함하여 다양한 논리적 시스템(logical system)을 통해 엄격한 기반에 놓일 수 있음이 입증되었습니다. 후자에서, 무한소는 역-가능이고, 그것들의 역은 무한한 숫자입니다. 이러한 의미에서 무한대는 초실수 필드(hyperreal field)의 일부입니다; 칸토어의 초월유한(transfinites)과 그것들 사이에는 동등성이 없습니다. 예를 들어, 만약 H가 이런 의미에서 무한한 숫자이면, H + H = 2H 및 H + 1은 구별되는 무한 숫자입니다. 비-표준 미적분(non-standard calculus)에 대한 이러한 접근 방식은 Keisler (1986)에서 완전히 개발되었습니다.

Set theory

Main articles: Cardinality and Ordinal number

One-to-one correspondence between an infinite set and its proper subset

"무한대"의 다른 형식은 집합 이론–게오르크 칸토어(Georg Cantor)에 의해 처음 개발된 초월유한 숫자(transfinite number)의 시스템–의 순서(ordinal)와 세는(cardinal) 무한대입니다. 이 시스템에서, 첫 번째 초월유한 세는 숫자는 알레프-영(aleph-null) (ℵ₀), 자연수(natural number)의 집합의 카디널리티입니다. 양적 무한의 이 현대 수학적 개념은 19세기 후반에 칸토어(Cantor), 고틀로프 프레게(Gottlob Frege), 리하르트 데데킨트(Richard Dedekind) 등의 연구에서 모음 또는 집합의 아이디어를 사용하여 개발되었습니다.

데데킨트의 접근 방식은 본질적으로 세트의 크기를 비교하는 표준으로 일-대-일 대응(one-to-one correspondence)의 아이디어를 채택하고, 전체가 부분과 같은 크기일 수 없다는 갈릴레오 (유클리드(Euclid)에서 파생)의 견해를 거부하는 것이었습니다 (어쨌든, 그는 양의 제곱 정수(square integers)는 양의 정수와 같은 크기의 것이라는 결론을 내린 갈릴레오의 역설(Galileo's paradox)을 참조하십시오.) 무한 집합은 적절한(proper) 부분 중 적어도 하나와 같은 크기를 갖는 것으로 간단히 정의될 수 있습니다; 이 무한대의 개념은 데데킨트 무한(Dedekind infinite)이라고 불립니다. 오른쪽의 다이어그램은 예제를 제공합니다: 직선을 무한 점의 집합으로 보고, 아래쪽 파란색 선의 왼쪽 절반은 일-대-일 방식 (녹색 대응)으로 위쪽 파란색 선, 그리고, 차례로, 전체 아래쪽 파란색 선 (빨간색 대응)에 매핑될 수 있습니다; 그러므로 전체 아래쪽 파란색 선과 왼쪽 절반은 같은 카디널리티, 즉, "크기"를 가집니다.

칸토어는 두 종류의 무한 숫자: 순서-숫자(ordinal number)과 세는-숫자(cardinal number)를 정의했습니다. 순서-숫자는 바른-순서화(well-ordered) 집합, 또는 무한 숫자가 이미 세어진 후의 점을 포함하여 임의의 중지하는 점으로 이월되는 셈을 특징으로 합니다. 양의 정수(integers)에서 매핑되는 유한과 (보통의) 무한 수열(sequence)을 일반화하면 순서-숫자에서 초월-유한 수열로의 매핑(mappings)으로 이어집니다. 세는-숫자는 그것들이 얼마나 많은 숫자를 포함하는지를 의미하는, 집합의 크기를 정의하고, 해당 크기의 세는 숫자를 나타내기 위한 특정 크기의 첫 번째 순서-숫자를 선택함으로써 표준화될 수 있습니다. 가장 작은 순서 무한대는 양의 정수의 무한대이고, 정수의 카디널리티를 가진 임의의 집합은 셀-수-있는 무한(countably infinite)입니다. 만약 집합이 너무 커서 양의 정수와 일-대-일 대응에 넣을 수 없으면, 그것은 셀-수-없음(uncountable)이라고 불립니다. 칸토어의 견해가 널리 퍼졌고 현대 수학은 철처하고 일관된 이론의 일부로 실제 무한대를 받아들입니다. 초실수와 같은, 특정 확장된 숫자 시스템이 보통의 (유한) 숫자와 다른 크기의 무한 숫자를 통합합니다.

Cardinality of the continuum

Main article: Cardinality of the continuum

칸토어의 가장 중요한 결과 중 하나는 연속체의 카디널리티 $\mathbf {c}$가 자연수의 카디널리티 ${\aleph _{0}}$보다 더 크다는 것입니다; 즉, 자연수 N보다 실수 R이 더 많습니다. 즉, 칸토어는 $\mathbf {c} =2^{\aleph _{0}}>{\aleph _{0}}$임을 보였습니다 (칸토어의 대각선 논증(Cantor's diagonal argument) 또는 칸토어의 첫 번째 셀-수-없음-속성 증명(Cantor's first uncountability proof)를 참조하십시오).

연속체 가설(continuum hypothesis)은 실수의 카디널리티와 자연수의 카디널리티 사이에 세는 숫자(cardinal number)가 없다, 즉, $\mathbf {c} =\aleph _{1}=\beth _{1}$라고 말합니다 (베트 일(Beth one)을 참조하십시오). 이 가설은 널리 받아들여지는 체르멜로–프렝켈 집합 이론(Zermelo–Fraenkel set theory) 내에서, 심지어 선택의 공리(Axiom of Choice)를 가정하여 입증될 수 없거나 입증되지 않을 수 없습니다.

세는 산술(Cardinal arithmetic)은 실수 직선(real number line)에서 점들의 숫자가 해당 직선의 임의의 선분(segment)에 있는 점들의 숫자와 같을뿐만 아니라, 이것이 평면 위의, 사실, 임의의 유한-차원(finite-dimensional) 공간에서 점들의 숫자와 같다는 것을 보여주기 위해 사용될 수 있습니다.

The first three steps of a fractal construction whose limit is a space-filling curve, showing that there are as many points in a one-dimensional line as in a two-dimensional square.

이들 결과 중 첫 번째는, 예를 들어, 구간(interval) (−π/2, π/2) 및 R 사이의 일-대-일 대응(one-to-one correspondence)을 제공하는 탄젠트(tangent) 함수를 고려함으로써 분명합니다 (역시 그랜드 호텔의 힐베르트의 역설(Hilbert's paradox of the Grand Hotel)을 참조하십시오). 두 번째 결과는 1878년에 칸토어에 의해 입증되었지만, 주세페 페아노(Giuseppe Peano)가 공간-채우는 곡선(space-filling curve), 임의의 정사각형, 또는 큐브(cube), 또는 초-입방체(hypercube), 또는 유한-차원 공간의 전체를 채울만큼 충분히 비틀리고 회전하는 구부러진 선을 도입할 때, 1890년에야 직관적으로 분명해졌습니다. 이들 곡선은 정사각형의 한변 위에 점과 정사각형 안에 점 사이의 일-대-일 대응을 정의하기 위해 사용될 수 있습니다.

Geometry

19세기 말까지, 무한대는 임의의 극한없이 계속될 수 있는 과정의 맥락을 제외하고는 기하학(geometry)에서 거의 논의되지 않았습니다. 예를 들어, 직선(line)은 우리가 원하는 만큼 연장할 수 있다는 조건과 함께, 지금 선분(line segment)이라고 불리는 것입니다; 그러나 그것을 무한하게 확장하는 것은 의문의 여지가 없습니다. 유사하게, 직선은 보통 무한하게 많은 점으로 구성된 것으로 고려되지 않지만, 점이 배치될 수 있는 위치였습니다. 심지어 무한하게 많은 가능한 위치가 있을지라도, 오직 점들의 유한한 숫자가 직선 위에 배치될 수 있습니다. 이것의 증거는 "일부 속성을 만족시키는 한 점의 자취(locus)" (단수)라는 표현으로, 여기서 현대 수학자들은 일반적으로 "속성을 가지는 그 점들의 집합" (복수)이라고 말합니다.

실제 무한대(actual infinity)와 관련된 수학적 개념의 드문 예외 중 하나는 투영 기하학(projective geometry)이며, 여기서 무한대에서 점(points at infinity)은 "무한대에서" 교차하는 평행 직선(parallel lines)을 보여주는 원근(perspective) 효과를 모델링하기 위해 유클리드 공간(Euclidean space)에 더합니다. 수학적으로, 무한대에서 점은 일부 특별한 경우를 고려하지 않는 것을 허용하는 이점을 가집니다. 예를 들어, 투영 평면(projective plane)에서, 둘의 구별되는 직선(lines)이 정확히 한 점에서 교차하지만, 무한대에서 점없이, 평행 직선에 대해 교차점이 없습니다. 따라서, 평행과 비-평행 직선은 고전 기하학에서 개별적으로 연구해야 했지만, 그것들은 투영 기하학에서 구별할 필요가 없습니다.

수학의 기초(foundation of mathematics)에 대해 집합 이론(set theory)의 사용 전에, 점과 직선은 구별되는 엔트리로 보여졌고, 점은 직선 위에 위치될 수 있었습니다. 수학에서 집합 이론을 보편적으로 사용함에 따라, 관점이 극적으로 변경되었습니다: 직선은 이제 그것의 점의 집합으로 여겨지고, 우리는 점이 직선에 위치된다 대신에 직선에 속한다고 말합니다 (어쨌든, 후자의 문구는 여전히 사용됩니다).

특히, 현대 수학에서, 직선은 무한 집합입니다.

Infinite dimension

고전 기하학(geometry)에서 발생하는 벡터 공간(vector space)은 항상 유한 차원, 일반적으로 이 또는 삼차원을 가집니다. 어쨌든, 이것은 벡터 공간의 추상적 정의에 의해 암시되지 않고, 무한 차원의 벡터 공간이 고려될 수 있습니다. 이것은 전형적으로 함수형 해석학(functional analysis)에서 경우이며 여기서 함수 공간(function space)이 일반적으로 무한 차원의 벡터 공간입니다.

토폴로지에서, 일부 구성은 무한 차원의 토폴로지적 공간(topological space)을 생성할 수 있습니다. 특히, 이것은 반복된 고리 공간(iterated loop space)의 경우입니다.

Fractals

프랙탈(fractal) 대상의 구조는 그것의 확대에서 반복됩니다. 프랙털은 그것들의 구조를 잃지 않고 "부드럽게" 되지 않고 무한정으로 확대될 수 있습니다; 그것들은 무한한 둘레를 가지고, 무한한 또는 유한한 넓이를 가질 수 있습니다. 무한한 둘레와 유한한 넓이를 가진 하나의 그러한 프랙탈 곡선(fractal curve)은 코크 눈송이(Koch snowflake)입니다.

Mathematics without infinity

레오폴트 크로네커(Leopold Kronecker)는 무한의 개념과 그의 동료 수학자들이 1870년대와 1880년대에 그것을 어떻게 사용했는지에 대해 회의적이었습니다. 이 회의론은 구성주의(constructivism)와 직관주의(intuitionism)의 일반적인 철학과 수학적 학교에서 극단적인 형식의 수학적 철학, 유한주의(finitism)라고 불리는 수학의 철학(philosophy of mathematics)에서 발전했습니다.

Physics

물리학(physics)에서, 실수(real number)의 근사는 연속(continuous) 측정에 사용되고 자연수(natural number)는 이산(discrete) 측정 (즉, 세는 것)에 사용됩니다. 무한 평면 파동(plane wave)과 같은 무한의 것의 개념이 존재하지만, 그것들을 생성하기 위한 실험적 수단은 없습니다.

Cosmology

우주가 무한하다는 최초의 발표된 제안은 1576년에 토마스 디익스(Thomas Digges)에서 나왔습니다. 8년 후, 1584년에서, 이탈리아의 철학자이자 천문학자 지르다노 브루노(Giordano Bruno)는 On the Infinite Universe and Worlds에서 무-경계진 우주를 제안했습니다: "수많은 태양이 존재합니다; 무수한 지구는 일곱 행성이 우리 태양을 중심으로 회전하는 방식과 유사한 방식으로 이들 태양을 중심으로 회전합니다. 살아있는 존재는 이들 세계에 살고 있습니다."

우주학자들(Cosmologists)은 무한대가 우리의 물리적 우주에 존재하는지 여부를 오랫동안 알아내려고 노력해 왔습니다: 무한한 숫자의 별이 있습니까? 우주는 무한한 부피를 가집니까? 공간이 "영원히 계속"됩니까? 이것은 우주론(cosmology)의 열린 질문입니다. 무한인 것의 질문은 경계를 갖는 질문과 논리적으로 분리되어 있습니다. 지구의 이-차원 표면은, 예를 들어, 유한하지만 가장자리를 가지지 않습니다. 지구의 곡률에 관한 직선으로 여행함으로써 우리는 결국 시작된 정확한 지점으로 돌아갈 것입니다. 우주는, 적어도 원칙적으로, 비슷한 토폴로지(topology)를 가질 수 있습니다. 만약 그렇다면, 우리는 우주를 일직선으로 충분히 오랫동안 여행 한 후에 결국 출발점으로 돌아갈 수 있습니다.

우주의 곡률은 우주 배경 방사(cosmic background radiation)의 스펙트럼에서 다극 모멘트(multipole moments)를 통해 측정될 수 있습니다. 현재까지, WMAP 우주선에 의해 기록된 방사 패턴의 분석은 우주가 평평한 토폴로지를 가지고 있음을 암시합니다. 이것은 무한한 물리적 우주와 일치할 것입니다.

어쨌든, 우주는 심지어 그것의 곡률이 평평하더라도 유한일 수 있습니다. 이것을 이해하는 쉬운 방법은 화면의 한쪽 가장자리를 떠나는 항목이 다른 쪽 가장자리에 다시 나타나는 비디오 게임과 같은 이-차원 예제를 고려하는 것입니다. 그러한 게임의 토폴로지는 토러스적(toroidal)이고 기하학은 플랫입니다. 많은 가능한 경계진, 플랫 가능성이 역시 삼-차원 공간에 대해 존재합니다.

무한대의 개념은 역시 미치오 카쿠(Michio Kaku)와 같은 천체물리학자에 의해 설명될 때 우주의 무한한 숫자와 다양한 것이 있다고 가정하는 다중우주(multiverse) 가설로 확장됩니다.

Logic

논리(logic)에서, 무한 회귀(infinite regress) 논증은 "(형식 A) 그러한 급수가 존재하지 않거나 (형식 B) 그것이 존재하는 것일 때, 그것이 무한 급수를 생성하기 때문에 논문에 결함이 있음을 보여주기 위한 고유한 철학적 논증의 일종이며, 논문은 그것이 수행해야 할 역할 (예를 들어 정당화)이 부족할 것입니다."

Computing

IEEE 부동-점(IEEE floating-point) 표준 (IEEE 754)은 양과 음의 무한대 값 (및 비-정의(indefinite) 값)을 지정합니다. 이것들은 산술 오버플로(arithmetic overflow), 영에 의한 나눗셈(division by zero), 및 기타 예외적인 연산의 결과로 정의됩니다.

자바(Java) 및 J와 같은 일부 프로그래밍 언어(programming language)는 프로그래머에게 언어 상수로 양과 음의 무한대 값에 명시적으로 접근하는 것을 허용합니다. 이것들은 최대 및 최소 원소로 사용될 수 있는데, 왜냐하면 그것들은 모든 다른 값보다 (각각) 크거나 작은 것을 비교하기 때문입니다. 그것들은 정렬(sorting), 검색(searching) 또는 윈도우(windowing)와 관련된 알고리듬(algorithm)에서 표시 값(sentinel value)으로 사용되어 왔습니다.

최대와 최소 원소를 가지지 않지만, 관계 연산자(relational operator)의 오버로딩(overloading)을 허용하는 언어에서, 프로그래머에 대해 최대와 최소 원소를 만드는 것이 가능합니다. 프로그램의 초기 상태에서 그러한 값에 대한 명시적 접근을 제공하지 않지만, 부동-점 데이터 유형(data type)을 구현하는 언어에서, 무한대 값은 특정 연산의 결과로 여전히 접근될 수 있고 사용될 수 있습니다.

프로그래밍에서 무한 루프(infinite loop)는 그것의 종료 조건이 만족시키지 않아서, 따라서 무기한 실행되는 루프(loop)입니다.

Arts, games, and cognitive sciences

원근(Perspective) 삽화는 관찰자로부터 무한 거리에 위치된, 수학적 무한대에서 점(points at infinity)에 대략적으로 대응하는, 사라지는 점(vanishing point)의 개념을 활용합니다. 이것은 예술가에게 공간, 거리, 및 형식을 사실적으로 랜더링하는 그림을 생성하는 것을 허용합니다. 예술가 마우리츠 코르넬리스 에셔(M.C. Escher)는 그의 작품에서 이것과 다른 방법으로 무한의 개념을 사용한 것으로 특히 유명합니다.

비-경계진 판에서 플레이되는 다양한 체스(chess)는 무한 체스(infinite chess)라고 불립니다.

인지 과학자(Cognitive scientist) 조지 레이코프(George Lakoff)는 수학과 과학에서 무한대의 개념을 은유로 고려합니다. 이 원근법은 계속 증가하는 수열 <1,2,3,...>로 정의된, 무한대 (BMI)의 기본 은유를 기반으로 합니다.

그 기호는 종종 영원한 사랑을 나타내기 위해 낭만적으로 사용됩니다. 여러 종류의 보석이 이것을 위해 무한대 모양으로 만들어집니다.

See also

• 0.999...
• Aleph number
• Ananta
• Exponentiation
• Indeterminate form
• Infinite monkey theorem
• Infinite set
• Infinitesimal
• Paradoxes of infinity
• Supertask
• Surreal number

External links

• "The Infinite". Internet Encyclopedia of Philosophy.
• Infinity on In Our Time at the BBC
• A Crash Course in the Mathematics of Infinite Sets, by Peter Suber. From the St. John's Review, XLIV, 2 (1998) 1–59. The stand-alone appendix to Infinite Reflections, below. A concise introduction to Cantor's mathematics of infinite sets.
• Infinite Reflections, by Peter Suber. How Cantor's mathematics of the infinite solves a handful of ancient philosophical problems of the infinite. From the St. John's Review, XLIV, 2 (1998) 1–59.
• Grime, James. "Infinity is bigger than you think". Numberphile. Brady Haran. Archived from the original on 2017-10-22. Retrieved 2013-04-06.
• Hotel Infinity
• John J. O'Connor and Edmund F. Robertson (1998). 'Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor', MacTutor History of Mathematics archive.
• John J. O'Connor and Edmund F. Robertson (2000). 'Jaina mathematics', MacTutor History of Mathematics archive.
• Ian Pearce (2002). 'Jainism', MacTutor History of Mathematics archive.
• Source page on medieval and modern writing on Infinity
• The Mystery Of The Aleph: Mathematics, the Kabbalah, and the Search for Infinity
• Dictionary of the Infinite (compilation of articles about infinity in physics, mathematics, and philosophy)