Zero to the power of zero

영에 영의 거듭제곱(Zero to the power of zero)은, $00$ 에 의해 표시되며, 의견-일치된 값(value)을 갖지 않는 수학적 표현(mathematical expression)입니다. 가장 공통적인 가능성은 문맥에 따라 각각에 대한 정당성과 함께, 1 또는 비정의된 표현으로 남겨두는 것입니다.

대수학(algebra)과 조합론(combinatorics)에서, 일반적으로 의견-일치된 값은 $00 = 1$ 이고, 반면에 수학적 해석학(mathematical analysis)에서는, 표현은 때때로 비-정의된 채로 남겨집니다. 컴퓨터 프로그래밍 언어와 소프트웨어는 역시 이 표현을 다루는 다른 방법을 가집니다.

Discrete exponents

자연수(natural-number) 지수를 포함하는 널리 사용되는 많은 공식은 $00$ 을 $1$ 로 정의되는 것을 요구합니다. 예를 들어, $b 0$ 의 다음 세 가지 해석은 $b = 0$ 에 대해 양의 정수 $b$ 에 대해 행하는 것과 똑같은 의미를 만듭니다:

빈 곱(empty product)으로 $b 0$ 의 해석은 그것을 값 $1$ 로 할당합니다.
$b 0$ 의 조합론적 해석(combinatorial interpretation)은 $b$ -원소 집합에서 0-튜플(0-tuples) 원소의 개수입니다.
$b 0$ 의 집합-이론적 해석(set-theoretic interpretation)은 빈 집합(empty set)에서 $b$ -원소 집합으로의 함수의 개수입니다; 정확하게 하나의 그러한 함수, 즉, 빈 함수(empty function)가 있습니다.^[1]

이들 셋의 모두는 $00 = 1$ 을 제공하기 위해 전문화합니다.

Polynomials and power series

다항식(polynomial)과 함께 사용할 때, 모든 평가 맵에 대해 링 준동형(ring homomorphism)이 되기 위해, 이제 설명할 것처럼, $00 = 1$ 을 정의할 필요가 있습니다. 다항식은 형식 $a 0 x 0 + \cdot\cdot\cdot + a n x n$ 의 표현이며, 여기서 $x$ 는 불확정수이고, 계수 $a n$ 은 실수입니다. 보통 덧셈과 곱셈을 갖는 모든 그러한 다항식의 집합은 다항식 링(polynomial ring) $R [x]$ 입니다. $R [x]$ 의 곱셈의 항등원(multiplicative identity)은 $x 0$ 인데, 왜냐하면 $x 0$ 곱하기 임의의 다항식 $p (x)$ 는 단지 $p (x)$ 이기 때문입니다.^[2] 각 고정된 실수 $r$ 에 대해, 각 다항식 $a 0 x 0 + \cdot\cdot\cdot + a n x n$ 을 $r$ 에서 그것의 값 $a 0 r 0 + \cdot\cdot\cdot + a n r n$ 으로 보내는 평가 맵 $R [x] \to R$ 은 링 준동형이어야 하지만, 그것은 곱셈의 항등원 $x 0$ 을 $r 0$ 에 매핑하므로, $r 0$ 은 $1$ 이어야 합니다. 특별한 경우 $r = 0$ 은 $00 = 1$ 을 제공합니다. 같은 인수가 $R$ 을 임의의 링(ring)으로 대체하여 적용됩니다.^[3]

$00 = 1$ 로 정의하는 것은 많은 다항 항등식에 필요합니다. 예를 들어, 이항 정리(binomial theorem) $(1 + x) n = \sum n k =0 (n k) x k$ 는 오직 $00 = 1$ 이면 $x = 0$ 에 대해 유지됩니다.^[4]

유사하게, 거듭제곱 급수(power series)의 링은 $x 0$ 을 $x$ 의 모든 전문화에 대해 1로 정의하는 것을 요구합니다. 예를 들어, $1 / 1- x = \sum \infty n =0 x n$ 및 $e x = \sum \infty n =0 x n / n!$ 와 같은 항등식은 오직 $00 = 1$ 이면 $x = 0$ 에 대해 유지됩니다.^[5]

미적분(calculus)에서, 거듭제곱 규칙(power rule) $d / dx x n = nx n -1$ 은 오직 $00 = 1$ 이면 $x = 0$ 에서 $n = 1$ 에 대해 유지됩니다.

Continuous exponents

Plot of $z = x y$ . The red curves (with $z$ constant) yield different limits as $(x, y)$ approaches $(0, 0)$ . The green curves (of finite constant slope, $y = ax$ ) all yield a limit of $1$ .

대수적 연산을 포함하는 극한은 종종 부분표현을 그것들의 극한으로 대체함으로써 평가될 수 있습니다; 만약 결과 표현이 원래 극한을 결정하지 않으면, 그 표현은 불확정 형식(indeterminate form)으로 알려져 있습니다.^[6] 표현 $00$ 은 불확정 형식입니다: (각 관련된 변 위에) $f (t) > 0$ 을 갖는 ( $t$ 가, 한 변 또는 양쪽 변에서, 실수 또는 $\pm\infty$ 로 접근할 때) 0에 접근하는 실수-값 함수 $f (t)$ 와 $g (t)$ 가 주어지면, $f (t) g (t)$ 의 극한은 임의의 비-음의 실수 또는 $+\infty$ 일 수 있거나, 그것은 $f$ 와 $g$ 에 따라 발산(diverge)할 수 있습니다. 예를 들어, 아래의 각 극한은 $t \to 0 +$ 일 때 (한쪽 극한(one-sided limit)) $f (t), g (t) \to 0$ 을 갖는 함수 $f (t) g (t)$ 를 포함하지만, 그것들의 값은 다릅니다:

\lim _{t\to 0^{+}}{t}^{t}=1,

\lim _{t\to 0^{+}}\left(e^{-1/t^{2}}\right)^{t}=0,

\lim _{t\to 0^{+}}\left(e^{-1/t^{2}}\right)^{-t}=+\infty ,

\lim _{t\to 0^{+}}\left(e^{-1/t}\right)^{at}=e^{-a}.

따라서, 두 변수 함수 $x y$ 는, 비록 집합 ${(x, y) : x > 0}$ 위에 연속적이지만, ${(x, y) : x > 0} \cup {(0, 0)}$ 위에 연속 함수(continuous function)로 절대 확장될 수 없으며, 우리가 $00$ 을 어떻게 정의하든 상관없습니다.^[7]

다른 한편으로, 만약 $f$ 와 $g$ 가 숫자 $c$ 의 열린 이웃 위에 둘 다 해석적 함수(analytic functions)이면, $f$ 가 양수인 것 위에 임의의 쪽에서 $t$ 가 $c$ 에 접근할 때 $f (t) g (t) \to 1$ 입니다.^[8]

Complex exponents

복소 도메인(complex domain)에서, 함수 $z w$ 는 $log z$ 의 가지(branch)를 선택하고 $z w$ 를 $e w log z$ 로 정의함으로써 비-영 $z$ 에 대해 정의될 수 있습니다. 이것은 $0 w$ 를 정의하지 않는데 왜냐하면 $0$ 의 이웃에서 고사하고, $z = 0$ 에서 정의된 $log z$ 의 가지가 없기 때문입니다.^[9]^[10]^[11]

History

As a value

1752년에, 오일러(Euler)는 Introductio in analysin infinitorum에서 $a 0 = 1$ 라고 썼고,^[12] 명시적으로 $00 = 1$ 임을 언급했습니다.^[13] 오일러의 저서 Institutiones calculi differentialis의^[14] 1787년 판에서 마스케로니(Mascheroni)에 기인된 주석은^[15] 또 다른 보다 관련있는 정당화와 마찬가지로 다음의 "정당화"를 제공했습니다:

0^{0}=(a-a)^{n-n}={\frac {(a-a)^{n}}{(a-a)^{n}}}=1

.

1830년대에, 리브리(Libri)는^[16]^[15] $00 = 1$ 이라는 주장을 정당화하기 위해 몇 가지 추가적인 주장을 발표했지만, 이것들은 당시의 엄격함의 표준에 의해서도 설득력이 없었습니다.^[17]

As a limiting form

오일러는, $00 = 1$ 을 설정할 때, 결과적으로 함수 $0 x$ 의 값은 "거대한 점프", $x < 0$ 에 대해 $\infty$ 에서, $x = 0$ 에서 $1$ 로, $x > 0$ 에 대해 $0$ 으로 취해진다고 언급했습니다.^[12] 1814년에, 파프(Pfaff)는 $x \to 0 +$ 일 때 $x x \to 1$ 임을 입증하기 위해 조임 정리(Squeeze theorem) 논증을 사용했습니다.^[8]

다른 한편으로, 1821년에 코시(Cauchy)는^[18] 일부 고정된 관계에 의해 제약을 받으면서 양수 $x$ 와 $y$ 가 $0$ 에 접근할 때 $x y$ 의 극한이 적절하게 관계를 선택함으로써 $0$ 과 $\infty$ 사이의 임의의 값을 가정하도록 만들 수 있는 이유를 설명했습니다. 그는 지정된 제약없이 완전한 2-변수 함수 $x y$ 의 극한이 "불확정"이라고 추론했습니다. 이 정당화와 함께, 그는 불확정 형식의 테이블(table of indeterminate forms)에 $0 / 0$ 과 같은 표현과 함께 $00$ 을 나열했습니다.

분명하게 코시의 연구를 모르고 있던, 뫼비우스(Möbius)는^[8] 1834년에, 파르의 논증을 기반으로 하여, $x$ 가 $c$ 에 접근할 때 $f (x), g (x) \to 0$ 일 때마다 $f (x) g (x) \to 1$ 라고 잘못 주장했습니다 (추측하건대 $f$ 는 $c$ 에서 멀리 떨어진 양수로 가정됩니다). 뫼비우스는 경우 $c = 0$ 으로 축소했지만, 그때에 $f$ 와 $g$ 의 각각이 $0$ 에서 사라지지 않는 일부 연속 함수 $P$ 와 일부 비-음의 정수 $n$ 에 대해 형식 $Px n$ 에서 표현될 수 있다고 가정하는 실수를 저질렀으며, 이것은 해석적 함수에 대해 참이지만, 일반적으로 그렇지 않습니다. 익명의 주석자는 정당하지 않은 단계를 지적했습니다;^[19] 그때에 단순히 "S"라고 이름을 붙인 또 다른 주석자는 명백한 반대예제 $x \to 0 +$ 일 때 $(e -1/ x) x \to e -1$ 및 $(e -1/ x) 2 x \to e -2$ 을 제공했고 " $00$ 은 많은 다른 값을 가질 수 있다"라고 적음으로써 상황을 표현했습니다.^[19]

Current situation

일부 저자는 $00$ 을 $1$ 로 정의하는데 왜냐하면 그것이 많은 정리 명제를 단순화하기 때문입니다. 벤슨(Benson) (1999)에 따르면, " $00$ 을 정의할지 여부의 선택은 정확성이 아닌 편의성에 기반합니다. 만약 우리가 $00$ 을 정의하는 것을 억제하면, 특정 주장이 불필요하게 어색하게 됩니다. [...] 의견-일치는 $00 = 1$ 정의를 사용하는 것이지만, $00$ 을 정의하는 것을 억제하는 교과서가 있습니다."^[20] 커누스(Knuth) (1992)는 $00$ 이 "1이어야 한다"고 더 강력하게 주장합니다; 그는 값 $00$ , 이것은 1과 같아야 하며, 및 극한하는 형식 $00$ (극한에 대해 $f (t) g (t)$ 의 약어 여기서 $f (t), g (t) \to 0$ ), 이것은 불확정 형식 사이의 구별을 그렸습니다: "코시와 리브리 모두 옳았었지만, 리브리와 그의 옹호자들은 왜 진실이 그들의 편인지 이해하지 못했습니다."^[17]
다른 저자는 $00$ 를 정의되지 않은체 남겨 두는데 왜냐하면 $00$ 는 불확정 형식이기 때문입니다: $f (t), g (t) \to 0$ 가 $f (t) g (t) \to 0$ 를 의미하지 않습니다.^[21]^[22]

$00$ 에 1이 아닌 특정 값을 할당하는 어떤 저자는 없는 것 같습니다.^[20]

Treatment on computers

IEEE floating-point standard

IEEE 754-2008 부동-점 표준은 대부분의 부동-점 라이브러리 설계에 사용됩니다. 그것은 거듭제곱 계산을 위해 다음과 같은 여러 연산을 권장합니다:^[23]

pow는 $00$ 을 $1$ 로 취급합니다. 만약 거듭제곱이 정확한 정수이면, 그 결과는 pown에 대한 결과 같고, 그렇지 않으면 그 결과는 (일부 예외 경우를 제외하고) powr에 대한 것과 같습니다.
pown는 $00$ 을 $1$ 로 취급합니다. 거듭제곱은 정확한 정수여야 합니다. 그 값은 음의 밑수에 대해 정의됩니다; 예를 들어, pown(-3,5)는 $-243$ 입니다.
powr는 $00$ 을 NaN (Not-a-Number – 비정의됨)으로 취급합니다. 그 값은 역시 powr(-3,2)와 같은 경우에 대해 NaN이며 여기서 밑수는 영보다 작습니다. powr( $x$ , $y$ )의 값은 $e y ln(x)$ 에 의해 정의됩니다.

pow 변형은 주로 호환성을 위해 C99에서 pow 함수에서 영감을 받았습니다.^[24] 그것은 단일 거듭제곱 함수를 가진 언어에 주로 유용합니다. pown와 powr 변형은 거듭제곱 함수의 사용과 (위에서 언급한 것처럼) 다른 관점의 충돌로 인해 도입되었습니다.^[25]

Programming languages

C와 C++ 표준은 $00$ 의 결과를 지정하지 않습니다 (도메인 오류가 발생할 수 있습니다). 그러나 C에 대해, C99 이래로, 만약 규범적(normative) 부가물 F가 지원되면, 실수 부동-점 유형에 대해 그 결과는 1임을 요구하는데 왜냐하면 이 값이 NaN보다 (예를 들어, 이산 지수를 갖는) 더 유용한 중요한 응용 프로그램이 있기 때문입니다;^[26] 심지어 정보 부가물 G가 지원되더라도, 복소 유형에 대한 결과는 지정되지 않습니다. 자바(Java) 표준,^[27] .NET Framework 메서드(method) System.Math.Pow,^[28] 줄리아(Julia), 및 파이썬(Python)은^[29]^[30] 역시 $00$ 을 1로 취급합니다. 일부 언어는 그것들의 지수 연산이 C 수학 라이브러리(C mathematical library)에서 pow 함수에 해당한다고 설명합니다; 이것은 Lua과^[31] 펄(Perl)의 ** 연산자의^[32] 경우입니다 (여기서 0**0의 결과는 플랫폼-종속적임을 명시적으로 언급됩니다).

Mathematical and scientific software

APL^{[citation needed]}, R,^[33] Stata, SageMath,^[34] Matlab, Magma, GAP, Singular, PARI/GP,^[35] 및 GNU Octave는 x⁰을 $1$ 로 평가합니다. Mathematica^[36]와 Macsyma는 심지어 어떤 제약이 x에 놓이지 않아도 x⁰을 1로 단순화합니다; 어쨌든, 만약 0⁰이 직접 입력되면, 그것은 오류 또는 불확정으로 취급됩니다. SageMath는 0^x를 단순화하지 않습니다. Maple, Mathematica^[36] 및 PARI/GP^[35]^[37]는 정수와 부동-점 값 사이를 더 나아가서 구분합니다: 만약 지수가 정수 유형의 영이면, 그것들은 밑수의 유형의 $1$ 을 반환합니다; 값 영의 부동-점 지수를 갖는 지수화는 비-정의됨, 불확정 또는 오류로 처리됩니다.

References

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External links

sci.math FAQ: What is $00$ ?
What does $00$ (zero to the zeroth power) equal? on AskAMathematician.com

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