Expression (mathematics)

수학(mathematics)에서, 표현(expression) 또는 수학적 표현(mathematical expression)은 문맥에 의존하는 규칙에 따라 잘-형성된(well-formed) 기호(symbol)들의 유한 조합입니다. 수학적 기호는 숫자 (상수(constants)), 변수(variables), 연산(operations), 함수(functions), 괄호(brackets), 구두점, 및 연산의 순서(order of operations) 결정을 돕기 위한 그룹화, 및 논리적 구문(logical syntax)의 다른 측면을 지정할 수 있습니다.

많은 저자들이 수식(formula)으로부터 표현을 구별하며, 전자는 수학적 대상을 나타내고, 후자는 수학적 대상에 대한 명제를 나타냅니다.^{[citation needed]} 예를 들어, $8x-5$ 는 표현이지만, $8x-5\geq 5x-8$ 은 수식입니다. 어쨌든, 현대 수학, 특히 컴퓨터 대수(computer algebra)에서, 수식은 표현에서 발생하는 변수에 주어진 값에 따라 참 또는 거짓으로 평가될 수 있는 표현으로 보입니다. 예를 들어 $8x-5\geq 5x-8$ 은 만약 $x$ 가 –1보다 작은 값이 주어지면 값 거짓을 취하고, 그렇지 않으면 값 참을 취합니다.

Examples

표현의 사용은 다음과 같은 간단한 것에서:

3+8

8x-5

(선형 다항식)

7{{x}^{2}}+4x-10

(이차 다항식)

{\frac {x-1}{{{x}^{2}}+12}}

(유리 분수)

다음과 같은 복잡한 것으로 다양합니다:

f(a)+\sum _{k=1}^{n}\left.{\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}}{dt^{k}}}\right|_{t=0}f(u(t))+\int _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{n}}{n!}}{\frac {d^{n+1}}{dt^{n+1}}}f(u(t))\,dt.

Syntax versus semantics

Syntax

표현은 구문적 구조입니다. 그것은 잘-형성된(well-formed) 것이어야 합니다: 허용된 연산자(operator)는 올바른 위치에서 정확한 숫자의 입력을 가져야 하며, 이들 입력을 구성하는 문자는 유효해야 하며, 명확한 연산의 순서(order of operations)를 가져야 하며, 기타 등등. 구문의 규칙을 위반하는 기호의 문자열은 잘-형성된 것이 아니고 유효한 수학적 표현이 아닙니다.

예를 들어, 산술(arithmetic)의 보통 표기법(usual notation)에서, 표현 1 + 2 × 3는 잘-형성된 것이지만, 다음 표현은 그렇지 않습니다:

\times 4)x+,/y

.

Semantics

의미론은 의미의 연구입니다. 형식적 의미론은 표현에 의미를 부여하는 것입니다.

대수학(algebra)에서, 표현은 표현에서 발생하는 변수(variable)에 할당된 값에 따라 달라질 수 있는 값을 지정하기 위해 사용될 수 있습니다. 이 값의 결정은 표현의 기호에 첨부된 의미론(semantics)에 따라 다릅니다. 의미론의 선택은 표현의 문맥에 따라 다릅니다. 같은 구문적 표현 1 + 2 × 3은 문맥에 내포된 연산의 순서(order of operations)에 따라 다른 값 (수학적으로 7이지만, 역시 9)을 가질 수 있습니다 (연산 § 계산기를 참조하십시오).

의미론적 규칙은 특정 표현이 임의의 값을 지정하지 않는다고 선언 할 수 있습니다 (예를 들어 그것들이 0에 의한 나눗셈을 포함할 때); 그러한 표현은 비-정의된 값을 가진다고 말해지지만, 그것들은 그럼에도 불구하고 잘-형성된 표현입니다. 일반적으로 표현의 의미는 값을 지정하는 것에 국한되지 않습니다; 예를 들어, 표현은 풀어야 할 조건 또는 방정식(equation)을 지정할 수 있는 것, 또는 그것이 특정 규칙에 따라 조작될 수 있는 그것의 자체 권한의 대상으로 보일 수 있습니다. 값을 동시에 지정하는 특정 표현은 유지되는 것으로 여겨지는 조건을 표현하며, 예를 들어 그것들은 내부 직접 합(direct sum)을 지정하기 위해 연산자 $\oplus$ 를 포함합니다.

Formal languages and lambda calculus

형식적 언어는 잘-형성된 표현의 개념을 형식화(formalizing)하는 것을 허용합니다.

1930년대에서, 람다 표현(lambda expressions)이라고 불리는, 표현의 새로운 형식이 알론조 처치(Alonzo Church)와 스티븐 클레이니(Stephen Kleene)에 의해 함수(function)와 그것들의 평가를 공식화하는 것에 대해 도입되었습니다. 그들은 람다 계산법(lambda calculus), 수학적 논리(mathematical logic)와 프로그래밍 언어의 이론(theory of programming languages)에 사용되는 형식적 시스템(formal system)의 기초를 형성합니다.

두 람다 표현의 동등성은 비-결정가능(undecidable)입니다. 이것은 역시 산술 연산, 로그과 지수 (리처드슨의 정리(Richardson's theorem))를 사용함으로써 정수로 구성된 실수를 나타내는 표현에 대해 경우입니다.

Variables

많은 수학적 표현은 변수(variable)를 포함합니다. 임의의 변수는 자유 변수(free variable) 또는 경계 변수(bound variable)로 분류될 수 있습니다.

자유 변수에 대해 값의 주어진 조합에 대해, 비록 자유 변수의 값의 일부 조합에 대해, 표현의 값이 비-정의될 수 있을지라도, 표현이 평가될 수 있습니다. 따라서 표현은 그것의 입력이 자유 변수에 할당된 값이고 그것의 출력이 표현의 결과 값인 함수(function)를 나타냅니다.^{[citation needed]}

예를 들어, x = 10, y = 5에 대해 평가된 다음 표현은

x/y

2를 제공할 것입니다; 그러나 그거슨 y = 0에 대해 비-정의된(undefined) 것입니다.

표현의 평가는 수학적 연산자의 정의와 그것의 문맥인 값의 시스템에 따라 달라집니다.

두 표현은 만약, 자유 변수에 대해 값의 각 조합에 대해, 그것들이 같은 출력을 가지면, 즉 그것들이 같은 함수를 나타내면 동등한 것이라고 말합니다. 예제:

다음 표현은

\sum _{n=1}^{3}(2nx)

자유 변수 x, 경계 변수 n, 상수 1, 2, 및 3, 암시적 곱셈 연산자의 두 발생, 및 합 연산자를 가집니다. 표현은 더 단순한 표현 12x와 동등합니다. x = 3에 대해 값은 36입니다.

Notes

References

Redden, John (2011). "Elementary Algebra". Flat World Knowledge.